Применение тригонометрии в решении задач

Методическая разработка урока

Применение тригонометрии в решении задач

Коркина Елена Григорьевна

Цель урока:

• Образовательная.

Показать взаимосвязь различных разделов математики на примере применения тригонометрии в решении нестандартных задач.

• Развивающая.

Развитие логического мышления учащихся, исследовательского подхода учащихся при поиске решения задач, элементы внутренней дифференциации в д/з.

Краткая аннотация:

Урок связан с ОЭР учителей, апробацией идеи комплексного подхода, решения задач в курсе математики (алгебры и геометрии). Урок направлен на применение базовых знаний в решении нестандартных конкурсных задач, на развитие логического мышления учащихся, творческое применение знаний. Урок содержит элементы математического моделирования.

Ход урока:

Устная работа с основными понятиями и формулами;
Математический диктант «Простейшие тригонометрические уравнения»;
Применение тригонометрии в решении геометрической задачи с элементами математического моделирования;
Анализ и оценка математического диктанта;
Решение на доске и в тетрадях уравнения;
С использованием специальной замены переменной;
Подведение итогов урока;
Домашнее задание.

I. Вступительное слово учителя;

II. Математический диктант.

Решить уравнение:

I вариант

cosx = 0
sinx = 1
tgx = -1
cosx = √2/2
sinx = π

IIвариант

sinx = 0
cos x = -1
tgx = 1
sin x = 1/2
cos x= 2 π

Ответы:

I вариант

x = π/2 + πk , kЄz
x = π/2 + 2πk , kЄz
x = 3π/4 + πk , kЄz
x = ± π/4 + 2πk , kЄz
решений нет

II вариант

x = πk , kЄz
x = π + 2πk , kЄz
x = π/4 + πk , kЄz
x = π/6 + 2 πk , kЄz

x = π/2 + 2πk , kЄz

5. решений нет

Дежурный стер некоторые части формул, записанные на доске. Восстановите их:

1 – cost = 2…

2cos²t – 1 = cos…

= … sin t/2

sin (x + y) = sinx … + siny …

sin α – sin β = 2 …(α-β)/2* …(α+β)/2

Ответы:

1 – cost = 2sin²t/2

2cos²t – 1 = cos2t

= Ι sin t/2 Ι

sin (x + y) = sinx cosy + siny cosx

sinα – sinβ = 2 sin (α-β)/2*cos (α+β)/2

Исправьте ошибки:

sin²α/2 = (1+cosα)/2

sin x sin y = 1/4 (cos (x-y) + cos (x+y))*cosα + cosβ = -2

cos(α+β)/2*cos(α-β)/2

Найти на единичной окружности точку, соответствующую числу: 1, -2, π/4, -2π/3, 3,14

Указать несколько чисел вида

α = π /4+ 2πk , kЄz

β = π /6+ πk , kЄz

Ответы:

(- 7π/4; π/4; 9 π/4)

(-5 π/6; π/6; 7π/6)

Указать несколько чисел, принадлежащих отрезку [0;π]

t = 3π /10 +4 π k/5, kЄz

Ответы:

k=0 t = 3π/10 Є [0;π]

k= -1 t= - π/2 Є [0;π]

k=1 t = 11π/10 Є [0;π]

t = -π /6 +4 πk/3, kЄz

Ответы:

k=0 t = -π/6 Є [0;π]

k=1 t = 7π/6 Є [0;π]

Задача:

трапеция.png
В трапеции ABCDс основанием ADи ВС известно, что AC=AD, AB=CD и угол CADравен углу CDM, где M– середина BC. Чему равны углы трапеции?

Дано:
ABCD – трапеция
AD, BC – основания трапеции
AB=CD
AC=AD
Угол CAD = угол CDM
MЄ BC, BM=MC

Найти: углы трапеции.

Ответ:

Углы при большем основании равны 75 ˚, углы при меньшем основании равны 105˚

Ввели обозначение (параметр, неизвестную величину), т.е. подготовили задачу к переводу на язык формул;
Составили уравнение, т.е. составили математическую (точнее аналитическую) модель заданной ситуации;
Решили уравнение (разобрались с составленной моделью);
С помощью решенного уравнения ответили на вопрос задачи, т.е. интерпретировали результат решения уравнения применительно к заданной в условии геометрической задаче.

Все перечисленные этапы составляют классическую схему математического моделирования для изучения реальных ситуаций:

Сначала ситуация формализуется, т.е. вводятся переменные и составляется математическая модель (функция, уравнение, система уравнений, неравенство);

Затем составленная математическая модель решается;

Полученный результат интерпретируется применительно к исходной ситуации.

Домашнее задание:

Задание 1. Решить уравнение

= 4^x3-3x