Методическая разработка
Подготовка к ЕГЭ (базовый уровень).
Задачи на признаки делимости
Лобанова Галина Павловна,
учитель математики, методист
ГБОУ СПО «СПб УОР №2 (техникум)»
С этого учебного года в ЕГЭ по математике входят задания на признаки делимости. В связи с тем, что в программе 10 и 11 классов нет задач на эту тему, и материал изучался давно, необходимо выделить время на повторение признаков делимости и решение типовых задач, предлагаемых в экзаменационных вариантах.
Ученики хорошо помнят признаки делимости на 2, на 5.
Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра в записи числа 0, 2, 4, 6 или 8.
Натуральное число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра в записи числа 0 или 5.
Признаки деления на 3 и на 9 необходимо напомнить.
На 3 или на 9 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится соответственно на 3 или на 9.
Признаки делимости на 4, на 8, на 11 и на 25 практически никто не помнит. Их необходимо записать в тетрадях и показать на примерах, как их можно применять при выполнении различных упражнений.
На 4 или 25 делятся те, и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 4 или 25.
Например, число 12675 делится на 25, но не делится на 4; число 5510224 делится на 4, но не делится на 25.
- В число 4 587 94* вставьте вместо звездочки цифру так, чтобы число делилось на 4.
- В число 124 587 9 * * вставьте вместо звездочек цифры так, чтобы число делилось а) на 4 и на 5; в) на 4 и на 25; с) на 25 и на 3.
Натуральное число делится на 8 тогда и только тогда, когда последние три его цифры образуют число, делящееся на 8.
- Из чисел 654560, 54326, 6440, 441216, 567487, 456700.456032 выпишите числа, кратные 8
- Выпиши все натуральные числа, которые делятся на 8 и расположены между числами 125 100 и 125 120.
Натуральное число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой его цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на 11.
Например: число 120 340 528 делится на 11, т.к. 1+0+4+5+8=18, 2+3+0+2=7, а 18-7=11 и 11 делится на 11.
В числа 7 405 *31, 8683*5, 1*8556 вставьте вместо звездочки цифру так, чтобы число делилось на 11.
Для решения заданий, предлагаемых в вариантах ЕГЭ базового уровня необходимо разобрать общий признак делимости на составное число: Пусть a – составное число, являющееся произведением двух взаимно простых чисел b и с: а = bс. Тогда число n делится на а тогда и только тогда, когда n делится и на b, и на с.
Отсюда следует, что на 12 делятся те и только те числа, которые делятся и на 3 и на 4 (но не на 2 и на 6, так как 2 и 6 не взаимно простые числа).
Примеры заданий на признаки делимости чисел из вариантов, представленных на различных сайтах.
- Вычеркните в числе 23462141 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите ровно одно получившееся число. Ответ: 24624
- Вычеркните в числе 191284734 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите ровно одно получившееся число. Ответ: 191844
- Вычеркните в числе 51488704 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся число. Ответ: 54870
- Вычеркните в числе 58521304 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся число. Ответ: 58530
- Вычеркните в числе 58521314 две цифры так, чтобы получившееся число делилось на 11. В ответе укажите ровно одно получившееся число. Ответ: 585211
- Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение цифр которого равно 10. В ответе укажите ровно одно такое число. Ответ: 5112
- Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение цифр которого больше 25, но меньше 30. В ответе укажите ровно одно такое число. Ответ: 7212
- Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 15, произведение цифр которого больше 35, но меньше 45. В ответе укажите ровно одно такое число. Ответ: 4215
- Приведите пример трёхзначного натурального числа, кратного 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число. Ответ: 132
- Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 72. В ответе укажите ровно одно такое число. Ответ:221112 (Применить признаки делимости на 9 и на 8)
- Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 24. В ответе укажите ровно одно такое число. Ответ:202200 (Применить признаки делимости на 4 и на 8)
- Приведите пример трёхзначного числа А, обладающего следующими свойствами: 1) сумма цифр числа А делится на 6; 2) сумма цифр числа А+3 также делится на 6; 3) число А больше 350 и меньше 400. В ответе укажите ровно одно такое число. Ответ: 369
- Приведите пример четырёхзначного числа А, обладающего следующими свойствами: 1) сумма цифр числа А делится на 8; 2) сумма цифр числа А+2 также делится на 8; 3) число А меньше 3000. В ответе укажите ровно одно такое число. Ответ: 2499
