Образовательный портал

Учебно-методическое пособие

Активизация деятельности обучающихся по математике в  процессе самостоятельного приобретения знаний

(на примере темы курса алгебры 7 кл. «Разложение многочленов на множители»)

 

Зубова  Наталья  Олеговна,
учитель  математики ГБОУ СОШ№323
Невского  района  Санкт-Петербурга

 

Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью

 (Л.Н.Толстой)

Общеизвестно, что учащиеся прочно усваивают только то, что «прошло» через их самостоятельную деятельность и потребовало иногда значительных усилий. Проблема самостоятельности учащихся при обучении математике не является новой, но остаётся актуальной и сейчас,  при  введении  новых  ФГОС. В наше время, в условиях развития рыночной экономики, когда наблюдаются небывалый рост объёма информации, от каждого человека требуются такие качества, как предприимчивость, способность ориентироваться, быстро и безошибочно принимать решения, а это невозможно без умения работать самостоятельно. Если в недавнем прошлом основной задачей, стоящей перед педагогами, была задача передачи школьникам определённой суммы знаний, то в настоящее время на первый план выдвинулись задачи развития учащихся в процессе обучения, формирования у школьников активного отношения к учению.

Математика является тем предметом, на материале которого возможно проводить целенаправленную работу по развитию самостоятельности учащихся, их творческих способностей. Этому способствует логическое построение предмета, чёткая система упражнений для закрепления полученных знаний и абстрактный язык математики. Понимая актуальность этой проблемы для школы, было  создано  данное  учебно-методическое  пособие.

Воспитание самостоятельности у учащихся происходит в течение всего периода обучения и связано с развитием умений выделять главное, существенное, рассуждать, доказывать, находить рациональные пути выполнения заданий, делать соответствующие выводы, обобщать и применять их при решении конкретных вопросов. Стихийно указанные умения не формируются, поэтому необходима специальная целенаправленная работа по формированию у учащихся умений изучать математику самостоятельно и творчески, умений организовывать свою познавательную деятельность.

Развитие активности, самостоятельности, инициативы, творческого отношения к делу – это требования самой жизни, определяющие во многом то направление, в котором следует совершенствовать учебно-воспитательный процесс. Процессы развития общества неразрывно связаны с активизацией человеческого фактора, развитием творческой активности людей во всех сферах общественной и производственной деятельности. Поэтому развитие общеобразовательной школы предполагает ориентацию образования не только на усвоение знаний, умений и навыков, но и на развитие личности, её познавательных способностей. Без развития познавательной активности, умения самостоятельно пополнять свои знания, нельзя решить задачи по формированию нового человека.

Таким  образом,  вопросы активизации учения учащихся относятся к числу наиболее актуальных проблем современной педагогической науки и практики.Реализация принципа активности в обучении имеет определенное значение, т.к. обучение и развитие носят деятельностный характер, и от качества учения как деятельности зависит результат обучения, развития и воспитания учащихся,  особенно  в  условиях  реализации  новых  ФГОС. Ключевой проблемой в решении задачи повышения эффективности и качества учебного процесса является активизация учения учащихся. Ее особая значимость состоит в том, что учение, являясь отражательно преобразующей деятельностью, направлено не только на восприятие учебного материала, но и на формирование отношения учащихся к самой познавательной деятельности. Деятельность протекает более эффективно и дает более качественные результаты, если у учащихся имеются сильные, яркие и глубокие мотивы, вызывающие желание действовать активно, преодолевать неизбежные затруднения, настойчиво продвигаясь к намеченной цели. Учебная деятельность идет более успешно, если у учеников сформировано положительное отношение к учению, есть познавательный интерес и потребность в познавательной деятельности, а также, если у них воспитаны чувства ответственности и обязательности. Очень важно, чтобы вступая в сложный взрослый мир, ученик имел такие качества личности, как умение анализировать, решать проблемы, умение самостоятельно принимать решения, применять знания в своей практике, творить. И данное  учебно-методическое  пособие как  раз  направлено  на  то, чтобы развивать у учащихся познавательный интерес, творческое отношение к делу, стремление к самостоятельному добыванию знаний и умений, применения их в своей практической деятельности.

Проведение работы по формированию у учащихся умений самостоятельно изучать математику сопровождается некоторыми трудностями. Приходя в школу, дети, естественно, не умеют ставить цель деятельности, направленной на получение новых знаний (не умеют формулировать соответствующие учебные задачи), не могут самостоятельно отбирать (а иногда и выполнять) действия, связанные с достижением цели.

Не случайно перед учителем встаёт задача: каким- либо образом познакомить учащихся с процессом самостоятельного приобретения знаний, начать работу по формированию умений, связанных с самостоятельной организацией своей познавательной деятельности. И сразу же возникла ещё одна проблема. Для многих школьников, учение и весь процесс познания превращается в простое заучивание материала; учащиеся не хотят овладевать новыми способами анализа, преобразования материала, то есть для них характерна ориентация только на достижение результата учения (например, отметки учителя). Некоторых не привлекает сам предмет математики, они характеризуются следующим: у них возникает желание что-либо познавать, если они осознают, зачем это будет нужно. Поскольку учитель - организатор учебной работы учащихся, то именно он имеет возможность создать условия, в которых у учащихся появится интерес к предмету, познавательная потребность, конкретным проявлением которой будет служить сформированный познавательный мотив.

Обратившись к методической литературе, было выяснено, что на формирование этого мотива должны быть направлены приёмы и средства активизации деятельности учащихся, что активизация учителем (или учащимся) познавательной деятельности в определённом смысле может способствовать созданию условий для формирования у учащихся умения самостоятельно организовывать свою учебную и познавательную деятельность. Встали вопросы: Каковы направления работы по активизации познавательной деятельности учащихся, как их реализовать в процессе обучения? С помощью чего?

В учебно-методическом  пособии делается попытка на эти вопросы ответить и ставится  следующаяцель:разработать методику работы, направленной на активизацию деятельности учащихся по самостоятельной организации процесса приобретения знаний.

Достижение цели   связано с решением следующихзадач:

1)раскрыть смысл, который вкладывается в понятие « активизация деятельности учащихся», и выделить направления работы по активизации познавательной деятельности учащихся;

2)   установить методическую схему, в соответствии с которой возможно реализовать эти направления;

3)   предложить характеристику тех приёмов активизации деятельности учащихся, которые возможно использовать при внедрении схемы в практику;

4)   отобрать из множества приёмов активизации те, которые целесообразно использовать при изучении с учащимися определённого класса конкретного учебного материала. Для этого предварительно провести анализ учебного материала, на котором проводится исследование, и анализ уровня готовности к изучению этого материала учащихся;

5)   разработать методику работы, направленной на активизацию деятельности учащихся при изучении определённого отрезка учебного

материала ( в качестве такого отрезка была  выделена  тема «Разложение

многочленов на множители» курса алгебры 7 класса).

1. НАПРАВЛЕНИЯ РАБОТЫ ПО АКТИВИЗАЦИИ ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ

Процесс познания немыслим без совершения различных мыслительных операций. Поэтому в учебно-методическом  пособии отождествляем понятия познавательной и мыслительной деятельности учащихся.

При этом, оперируя термином «познавательная деятельность», имеем в виду «соединение» учебной деятельности школьников (в которой формируются учебные и собственно математические знания и умения) с их познава­тельной деятельностью (обращающейся к различным познавательным источникам таким, например, как решение задач, и оперирующей различными методами познания );  его в методике обучения математике принято выражать термином учебно-познавательная деятельность. Существенным признаком познавательной деятельности является творческий характер. Творить - это созидать что-то новое, т.е. действовать самостоятельно. Что значит - самостоятельно? В психолого-педагогической литературесамостоятельностьобычно понимается как способность личности к деятельности, совершаемой без вмешательства со стороны. Мы обращаемся к познавательной самостоятельности, которую трактуем как готовность школьника (т.е способность и стремление) своими силами вести целенаправленную поисково-познавательную деятельность.

Познавательная самостоятельность - необходимое условие успешности учения школьника; это подчеркивают и учителя, и методисты. Необходимые знания по математике, умения и навыки учащиеся приобретают только путем самостоятельных интеллектуальных усилий.

Учитель, помогая школьнику в его усилиях, организует учебный процесс с помощью различных методов, средств, приемов, направляя деятельность учащихся, то есть создаёт условия, в которых ученик получает возможность не только включиться в самостоятельную поисково-познавательную деятельность, но и выйти на стадию самостоятельных действий. Совместную деятельность учителя и учащихся по созданию и реализации условий для того, чтобы ученик был готов осознанно что-то познавать, мы будем называтьактивизацией познавательной деятельности учащихся.Активизация невозможна без учета структуры процесса самостоятельного приобретения знаний. В этом процессе выделяются следующие компоненты, каждый из которых соответствует определенному этапу познавательной деятельности [№1,3,8]:

1)постановка цели деятельности, направленной на усвоение нового знания;

2)поиск   необходимой информациидля реализации цели; выбор направления, по которому будет осуществляться поиск плана деятельности;

3)разработка          подробного плана деятельности,необходимой для достижения цели;

4)выполнение   деятельностив соответствии с планом;

5)самоанализ    и самооценкавыполненной деятельности.

Активизация процесса приобретения знаний в целом предполагает активизацию каждого из перечисленных этапов, и через каждый этап ученик должен «пройти». Это - одно из основных требований к организации активной познавательной деятельности учащихся. Чтобы сформулировать другие требования обратимся к анализу двух аспектов познавательной деятельности. Психологи выделяют внутренний (психолого-педагогический) и внешний (организационный) аспекты. Согласно первому, познавательная деятельность ученика должна удовлетворять ряду параметров: основываться на интересе к учению, к познанию, характеризоваться инициативностью, быть самостоятельной (ученику должна быть присуща познавательная самостоятельность). Значит, необходимым условием организации активной познавательной деятельности учащегося является развитие указанных параметров у каждого ученика.

Анализ второго аспекта приводит к выводу, что в познавательную деятельность необходимо вовлечь всех учащихся коллектива, и в то же время каждого из них. В условиях классно-урочной системы этого можно достичь за счет умелого сочетания фронтальной, групповой и индивидуальной работы с учащимися.

С чем может быть связана реализация выделенных требований к организации познавательной деятельности учащихся и, как следствие, создание условий, в которых у учащихся формируются умения самостоятельно организовывать, планировать свою деятельность.

Каждый учитель знает, что если ученик не имеет потребности в знаниях, то задача, связанная с его переходом на стадию самостоятельных действий, оказывается бессмысленной. «Для того чтобы мыслительный процесс совершался, нужны какие-то мотивы, побуждающие человека думать» [№4, стр. 5].

Таким образом, для организации деятельности учащихся учителю следует позаботиться о мотивах, обеспечивающих принятие учениками планируемых знаний и умений.

Мотивы - основа для формулирования цели деятельности. Их отсутствие часто является причиной того, что ученик не может (даже с помощью учителя) поставить, осознать цель изучения материала, а поскольку «не пройден» первый этап познавательной деятельности, «деформируется и весь процесс усвоения знаний, умений» [№3 , стр.23].

Мотивацию и целеполагание мы считаем основой, на которой формируется умение самостоятельно организовывать свою познавательную деятельность, основой целенаправленной познавательной активности. Согласно Н.Ф.Талызиной, мотивы делятся на внешние и внутренние. Внешние мотивы не связаны с усваиваемыми знаниями и выполняемой деятельностью. При внутренней мотивации мотивом служит познавате­льный интерес к предмету; получение знаний выступает не как средство достижения каких-то других целей, а как цель деятельности учащегося. Познавательный интерес как мотив учения побуждает ученика к самостоятельной деятельности, при наличии интереса процесс овладе­ния знаниями становится более активным, творческим.

Таким образом, создание условий, в которых у учащихся формируется умение самостоятельно осуществлять познавательную деятельность, мы связываем с работой по формированию у школьников внутренней мотивации учения.

Для самостоятельной организации познавательной деятельности учащемуся необходимо умение самостоятельно приобретать знания, т.е. умение без посторонней помощи реализовать систему действий, необхо­димых для анализа, сравнения и сопоставления объектов и явлений, обобщения и систематизации фактов и понятий. Заметим, что успешная реализация указанной системы действий невозможна без умений проводить анализ, оценку выполняемой деятельности. Поэтому создание условий для формирования у учащихся умений самостоятельно организовывать свою познавательную деятельность также связывается с работой по формированию у школьников умений выполнять действия (общие и специфические, предметные) по решению задач (как познавательных, так и предметных), с работой по организации контроль- оценочного компонента деятельности учащихся.

Итак, выделеныдва направления работы по активизации

познавательной деятельности учащихся: формированиевнутренней мотивации учения,формирование у школьников умений осуществлять деятельность по решению поставленных перед ними задач.

Как реализовать эти направления? Есть ли условные схемы, которые при этом может использовать учитель? Попытаемся ответить на эти вопросы в следующем параграфе. Но предварительно заметим, что, выделяя указанные направления, мы в большей степени учитывали общие психолого-педагогические требования к организации активной познавательной деятельности учащихся. Учет остальных требований возможен при условии, если есть данные об учащихся, познавательная деятельность которых организуется, а также о том материале, который они будут изучать.

2. СХЕМА ОРГАНИЗАЦИИ АКТИВНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

УЧАЩИХСЯ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ

Анализ литературы, посвященной проблеме активизации познавательной деятельности школьников (в том числе - при обучении математике) [№2,5,6,7] позволил выделить две группы публикаций.

Публикации первой группы обращаются к отдельным средствам, приемам активизации, применение которых преследует какую-то частную цель (например: привлечь внимание к способу решения некоторой задачи). Особенно выделяются в этой группе публикации, рассматривающие специальные задания (задачи) как средство активизации и направленные на построение систем заданий, выявление возможностей этих систем для формирования общих учебных умений учащихся . Авторы публикаций второй группы говорят о системах средств, приемов, применение которых направлено на активизацию познавательной деятельности школьников в процессе обучения. Реализация таких систем средств, приемов активизации происходит в соответствии с определенными схемами.

Коднойизтаких схеммыи обратимся.Это - схема организации деятель­ности учащихся, направленной на решение познавательных задач; она отражает изменения характера деятельности, которую при этом осуществляет ученик, а именно: алгоритмическая деятельность- алгоритмическая деятельность с элементами эвристики- эвристико- алгоритмическая деятельность.

Алгоритмическая деятельность - деятельность, направленная на решение познавательной задачи, осуществляемая в соответствии с некоторым алгоритмом (правилом, схемой). Под эвристической деятельностью понимают, во-первых, деятельность, приводящую к решению познавательной задачи, и, во-вторых, деятельность по самостоятельному установлению различных связей и отношений между объектами, получению выводов и обобщений на основе наблюдаемых или сообщаемых фактов и явлений.

Отметим, что в общем случае функционирование предложенной схемы предполагает:

1)                 принятие задания, направленного на овладение новым знанием, мотивацию деятельности, связанной с усвоением нового знания;

2)     осознание знания и его применение в типичных (стандартных) ситуациях;

3)     применение знания в нестандартных (иногда - проблемных) ситуациях.

Мы различаем два вида стандартных ситуаций применения нового знания. Будем говорить, что ученик сталкивается со стандартной ситуацией в «узком» смысле, если указание о целесообразности применения этого знания непосредственно «прочитывается» в задании, в «широком» - если такое указание «завуалировано» в тексте (или в формулировке) задания. Под нестандартной ситуацией мы понимаем такую ситуацию, применение нового знания в которой предполагает выполнение эвристической деятельности. Чаще всего обучаемый оказывается в нестандартной ситуации, если с предложенной ему задачей (которая, возможно, и имеет несложное решение) он сталкивается впервые. Уровень проблемности ситуации зависит от знаний обучаемых, учебной ситуации, в которой вопрос или задача ставятся.

Можно указать несколько этапов в реализации выделенной схемы:

на первом этапе учащимся предлагаются задания, которые требуют не только воспроизведения полученных ранее знаний, не только применения некоторых умений на более высоком уровне (для установления различных связей, выводов и обобщений), но и осознания недостаточности их для выполнения задания;

на втором  этапе  учащиеся ставятся в ситуацию, когда от них требуется самостоятельно «открывать» новое знание (факт, способ решения задачи);

третий этап – этап овладения умением применять новое знание в ситуациях «по образцу» (с соответствующими ситуациями учащиеся знакомятся самостоятельно, анализируя учебные пособия, либо их характеристику предлагает учитель); 

на  четвертом этапе первоначально деятельность учащихся чаще алгоритмическая. Затем предлагаются задания, требующие поиска решения. В этом случае деятельность носит смешанный характер: и эвристический, и алгоритмический.

Таким образом, на первом и втором этапах средства и приемы активизации воздействуют на мотивационный компонент,на третьем - на содержательно-операционный, на четвертом - на все компоненты учебной деятельности.

То есть эта схема учитывает структуру процесса самостоятельного приобретения знаний;её использование дает возможностьреализовать выделенные выше направления работы по активизации деятельности учащегося в процессе обучения.

Внедрение схемы предполагает отбор тех средств, конкретных приёмов, с помощью которых учитель сможет организовать познавательную деятельность учащегося, активизировать каждый её этап, создать условия для осознания учащимися структуры процесса приобретения знаний. В следующем параграфе обратимся к характеристике некото­рых приемов активизации деятельности учащегося при обучении математике.

3. ХАРАКТЕРИСТИКА ПРИЁМОВ АКТИВИЗАЦИИ

ДЕЯТЕЛЬНОСТИ   УЧАЩИХСЯ  ПРИ ОБУЧЕНИИ

МАТЕМАТИКЕ.

В параграфе 1  было  отмечена необходимость активизации познавательной деятельности учащихся на каждом из этапов процесса самостоятельного приобретения знаний. Поэтому возникает потребность в выделении приёмов активизации, которые «проявляются» и в деятельности учителя, и в деятельности ученика. Заметим, что все приемы выделить невозможно, поскольку чаще всего они являются проявлением творчества учителя. Имея в виду анализ психолого- педагогической литературы, обратимся к группам приёмов активизации в соответствии с выбранными направлениями по активизации познавательной деятельности учащихся. Охарактеризуем каждую группу, указав ряд конкретных приемов, которые в нее входят.

1) Приемы, направленные на формирование у учащихся внутренней мотивации учения

Для реализации цели  данного  учебно-методического  пособия необходимо создавать ситуации, побуждающие учащихся к самостоятельной деятельности по открытию новых для них фактов, способов решения задач. Известно, что человек активно мыслит только тогда, когда сталкивается с условиями, в которых не может реализовать известные ему способы решения задач. Поэтому обращаемся к приёмам, которые использует учитель с целью создания таких проблемных для учащихся ситуаций. Именно проблемные ситуации способствуют осознанию учащимися целей предстоящей деятельности. Принятие этих целей - условие формирования мотивов дальнейшей деятельности учащегося, выражающихся в том, что школьникам хочется поставить перед собой вопрос «Как (почему) это делается?». Одно из средств создания проблемных ситуаций - задачи. Но не всякая задача создает такую ситуацию. Исходя из анализа психолого-педагогической литературы, можно утверждать, что задача становится познавательной проблемой, если она удовлетворяет следующим требованиям:

а)  вызывает познавательный интерес;

б)  ее решение опирается на предыдущий опыт и знания учащихся. Проблемные ситуации можно создать, используя различные приёмы. Выделим следующие:

1.1 Постановка такой задачи (возможно, задачи практического характера), способ решения которой ученик пока не может обосновать. Приём заключается в том, что учитель формулирует конкретную задачу, объясняет, как она решается, выделяет вместе с учащимися основные «шаги» решения и просит учащихся, используя известные им факты, обосновать каждый «шаг». Поиск факта, обосновывающего один из «шагов», приводит к выводу: такой факт учащимся еще не известен,

но скорее всего, формулировка его может быть следующей...

Пример: Разделить данный отрезок на пять равных отрезков с помощью

циркуля и линейки (7 кл.) Обсуждение способа решения этой задачи приводит к вопросу: почему, если на одной стороне угла от его вершины отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые так, как это показано на рисунке (рис.1), отрезки, «высекаемые» этими прямыми на другой стороне угла, тоже равны.

Чтобы быть уверенным, что задача действительно решена, следует ответить на вопрос, а для этого, в свою очередь, требуется новый математический факт. Таким образом, мы приходим к формулировке теоремы Фалеса и убеждаем учащихся в необходимости её изучения.

Рис. 1

 

 

Итак, рассматриваемый приём целесообразно использовать, имея в виду две его функции: он «наводит» учащихся на формулировку нового факта, его применение способствует осознанию учащимися необходимости (или целесообразности) введения новых знаний. В последующем мы будем условно называть этот приём приёмом мотивации введения математического факта.

Заметим, что иногда говорят о приеме, по сути, подобном описанному: практически непосредственно после введения математического факта учащимся предлагается задача (чаще - практическая), решение которой опирается на этот факт. Например, после изучения признаков подобия треугольников учащиеся обсуждают решение задач о нахождении расстояния до недоступной точки, высоты объекта и т.п.

1.2 Постановка перед учащимися задачи (серии задач), работа с которой связана, во-первых, с получением выводов о целесообразности введения способа решения задач определённого вида (о целесообразности введения нового понятия), во-вторых, с введением такого способа. Примеры:

а) Учащимся предлагается задача: «Продавец, опуская руку в мешок и доставая оттуда каждый раз по два яблока, отсчитывал при первой покупке 9 раз по 2 яблока, второй - 6 раз по 2 яблока, третьей - 8 раз по 2 яблока. Сколько всего яблок продал продавец?» (2 кл.)

Обсуждение полученного решения и соответствующей записи 2+2+_…+2 приводит к выводу, что запись - громоздкая, и вычисления усложняются, если число покупок увеличится. Можно ли упростить и запись, и вычисления? Таким образом, учащиеся подводятся к понятиям «произведение числа на число», «умножение чисел», появляется возможность для того, чтобы говорить о целесообразности изучения способа нахождения произведения двух чисел.

б) Вводя алгоритм сложения двух десятичных дробей, обратимся к знаниям учащихся о соотношении единиц в метрической системе мер. Используя эти знания, школьники могут сложить две десятичные дроби, например:

1,25м+2,43м=125см+243см=3б8см=3м 68см=3,68м

Анализ данных и результатов выполнения двух-трех подобных заданий позволяет сделать вывод, что процесс решения, во-первых, осуществляется в соответствии с одним и тем же правилом, а во- вторых, использование этого правила даёт возможность сократить число выполняемых действий, в-третьих, оно может быть использовано не только при сложении («удобных») именованных чисел. В итоге приходим к обобщению - способу сложения десятичных дробей. В дальнейшем, говоря об этом приёме активизации деятельности учащихся, мы будем называть его приёмом мотивации введения способа решения задач.

1.3 Иногда для создания проблемных ситуаций целесообразно обратиться к приёмам аналогии, сравнения, индукции. Так, аналогию, индукцию можно использовать для получения гипотез о свойствах изучаемых понятий, аналогию, сравнение - для формулирования выводов о спосо­бах решения предложенных задач и т.п.

2) Приёмы, направленные на формирование у учащихся умений выполнять определенные действия по решению задач

В этой группе приёмов активизации деятельности учащихся выделим следующие:

2.1 Использование заданий

а)  отличающихся формулировками, но сходных по целям. Пример: разложить выражение на множители;

доказать, что данное выражение можно представить в виде произведения;

б)  отличающихся целями, но предполагающими реализацию одного и того же (изученного) способа решения определенного типа задач. Чаще этот способ применяется в нестандартных для ученика ситуациях.

Пример: после введения тождества х²-у²=(х+у)(х-у) и соответствующего способа разложения на множители выражений учащимся предлагается

1) вычислитъ удобным способом: 41²-29²;

 

2) сократитъ дробь: 58²-47² и т.п.

                                       22*15

2.2       Решение одной и той же задачи различными способами. Использование этого приёма способствует развитию творчества учащегося, формированию умения подходить к решению задачи с разных сторон. При сравнении различных способов решения одной и той же задачи учащиеся должны выделить, проанализировать и оценить достоинства и недостатки каждого способа и выбрать наиболее удачный. В процессе выполнения соответствующей деятельности у учащегося формируются умения работать с задачей, а, значит, такое качество деятельности, как самостоятельность.

Пример: Сравнить две дроби 791 и 863

                                                        792    864

1)   способ: привести дроби к общему знаменателю и сравнить числители

полученных дробей.

2)способ:       вычесть  дроби  от  1. Поскольку знаменатель первой из двух полученных дробей меньше знаменателя второй дроби,  следовательно,  из двух

данных дробей первая меньше, чем вторая.

Даже если учащиеся не" увидели" второй способ решения задачи, и учителю пришлось его пояснить, уже постановка вопросов типа '' Какой из этих способов можно считать более простым (хотя бы с точки зрения проведенных вычислений)?  Почему? Удобно ли применять этот способ для сравнения дробей 51 и 31_ ?

92    70

А какой способ является более общим (таким, что его можно использовать при решении любой задачи на сравнение дробей)?'' активизирует деятельность учащегося.

2.3             В действующих учебниках математикисодержатся в основном такие задачи, в условиях которых имеется столько данных, сколько необходимо и достаточно для их решения. Д .Пойа в книге " Как решать задачу?'' в числе первых вопросов, над которыми должен задумываться решающий задачу, называет такие : Достаточно ли условия для определения неизвестного? или недостаточно? Или чрезмерно? или противоречиво? Но эти очень важные вопросы учащиеся, как правило, игнорируют, так как задачи из учебников не требуют не только размышления над ними, но и их постановки.

Для активизации мыслительной деятельности учащегося полезны задачи

а)      с избыточными, но противоречивыми данными (они способствуют критическому осмыслению условия задачи);

б)  недоопределённые и переопределённые:

Пример: Длина одного из этапов многодневных соревнований по велоспорту равна 155 км. Велосипедисты стартуют поочерёдно с интервалом 5 мин. Первый велосипедист двигается со скоростью 30 ^км/_ч, второй - 28 . С какой средней скоростью должен двигаться третий стартующий, чтобы выиграть во времени не менее 10 минут? В задаче есть лишнее данное - скорость второго велосипедиста. Для того чтобы третий велосипедист выиграл у первого не менее 10 минут, он должен прийти к финишу одновременно с ним.

Среди недоопределённых задач особое место занимают такие, в которых недоопределённость обусловлена отсутствием какого-либо свойства рассматриваемого объекта. Использование на уроках таких задач вызывает у учащихся потребность в детальном анализе формулировки задачи и в соотнесении результатов такого анализа с результатами работы в аналогичной ситуации. Это способствует также формированию критичности мышления.

в)  на исправление ошибок;

г)  восстановление частично стёртых записей или недописанной фразы.

2.4              В самостоятельной деятельностина первое место выступает выдвижение гипотезы, формулирование идеи решения познавательной задачи. Поэтому при обучении математике учащиеся должны получать знания не в готовом виде. Эти знания должны быть результатом индивидуального или коллективного поиска, организованного учителем. Пример: Ученикам предлагается задание:

Решите уравнение

(х²-5х)²-30(х²-5х)-216=0

Если нет дополнительных указаний, учащиеся воспользуются формулой квадрата разности и преобразуют левую часть уравнения. Данный путь не является рациональным. Нельзя ли воспользоваться тем, что мы знаем, как решать квадратное уравнение? Учащимся открывается новый способ - введение вспомогательной переменной.

2.5      Составление задачсамими учащимися может способствовать более глубокому осознанию структуры процесса самостоятельного

приобретения знаний.

3) Приёмы, направленные на активизацию контрольно-оценочного компонента деятельности учащихся

Чтобы самостоятельно организовать собственную деятельность, необходимо критически к ней подходить. Работа по формированию у учащихся умений оценивать окружающих, себя, должна быть целенаправленной. Эта работа начинается с обучения школьника поиску ошибок у другого человека (контроль). Со временем ученик начнёт переносить полученные умения на собственную деятельность (самоконтроль). Выделим приёмы, которые целесообразно использовать, организуя такую работу:

3.1       Учитель предлагает решение задачи, которое содержит принципиальные пробелы, и их предлагается обнаружить и «заполнить»;

3.2       Ученик получает список задач, решение каждой из которых следует записать в тетради (доказать справедливость равенства, решить уравнение и т.д). Затем предлагается сверить результаты собственной деятельности с решениями, «полученными» учителем, в которых преднамеренно допущены ошибки («решения» оформляются на доске, на карточках, которые раздаются учащимся и т. п.). Каждый ученик в такой обстановке имеет возможность участвовать и в обсуждении решений, и исправлять в своей тетради собственные ошибки;

3.3       Учитель приводит неверное утверждение и «доказывает» его. Ученик должен опровергнуть предложенный факт (используя, например, контрпример), «увидеть ложность» утверждения, ошибки, неверные рассуждения в «доказательстве»;

3.4   Для решения одной и той же задачи вызывается несколько учеников. Остальные либо наблюдают за их работой, либо сами решают ту же задачу (всё зависит от трудности). Спустя некоторое время с классом проводится обсуждение тех решений, которые получены учащимися, работавшими у доски. Кому-либо из класса предлагается оценить каждое решение и, если задача решалась самостоятельно и этим учеником, сопоставить их со своим. В такой ситуации основная отметка ставится «оппоненту».

3.5   Учитель предлагает ученикам набор задач на неделю. Проверку решений этих задач осуществляют сами ученики. Они разбиваются на пары (в паре объединяются учащиеся, незначительно отличающиеся друг от друга своими учебными успехами); каждый из членов пары проверяет работу товарища. Ученики должны отмечать ошибки в проверяемой работе и, по возможности, указывать причину их появления. Итогом взаимопроверки является отметка, которую они выставляют друг другу. Каждый имеет право обжаловать эту отметку;

3.6       Ученики самостоятельно выполняют предложенное им задание, затем каждый проверяет свою работу, используя инструкцию-образец.

Наша работа связана с организацией самостоятельной работы учащихся. Опыт свидетельствует, что способы такой организации могут быть разными. Имея в виду данные методических публикаций, собственный опыт работы в качестве учителя математики, выделим следующие способы, которые предполагают работу учащихся по предлагаемый им:

а) инструкциям или алгоритмам, описывающим способы решения изучаемых задач;

б) образцам (например, образцам, фиксирующим решения задачи определённого вида);

в)  схемам, рисункам, графикам (возможно, снабжённым соответствую­щей системой указаний);

г) описаниям  решений математических (познавательных) задач, в кото­рых имеются пропуски (учащиеся должны, по сути, заполнить тетрадь с печатной основой);

д)  тестовым заданиям, предлагающим выборочную систему ответов.

В ряде случаев можно говорить о способах организации самостоятельной деятельности учащихся, реализация которых связана с комплексным сочетанием нескольких уже перечисленных способов. В качестве основных средств, с помощью которых организуется в рамках этих способов деятельность, выступают задания, выполняемые упражнения (в частности, задачи), и инструкции-памятки к выполнению этих заданий.

Реализации цели данного  учебно-методического  пособия могут способствовать также некоторые специальные организационные формы учебного процесса. Одна из таких форм - дидактическая игра, другая - проведение уроков-диспутов. Используя указанные формы, учитель может широко применять приёмы активизации деятельности учащихся, которые мы обсуждали выше: ученики выдвигают гипотезы, проводят анализ проблемных ситуаций, делают обобщения и т.д.

Выбор учителем того или иного приёма, способа организации деятельности учащихся зависит от возраста ребят, особенностей класса, изучаемого материала и др.

Поэтому вследующем параграфе будут предложены:

во-первых, результаты анализа того учебного материала, на примере  которого разрабатывалось учебно-методическое  пособие,

во-вторых, характеристика коллектива учащихся, с которым работали, и,

в- третьих, отбор приёмов активизации деятельности учащихся при изучении конкретной темы курса математики основной школы  с учётом предложенной в параграфе 2 схемы организации активного усвоения школьниками новых знаний.

4 ОТБОР ПРИЕМОВ АКТИВИЗАЦИИ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ «РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ»

Отбор тех приёмов активизации деятельности учащихся, которые целесообразно использовать при изучении конкретной темы школьного курса математики, проведём, имея в виду две позиции:

1)    особенности материала темы и изложения его в школьных учебниках;

2)     особенности учащихся, которые тему должны изучать.

В соответствии с указанными позициями выделим в параграфе две части.

Большое значение в процессе самостоятельного приобретения знаний имеет учебник. Хотелось бы, чтобы содержание учебного предмета в нём раскрывалось так, чтобы оно, во-первых, вызывало интерес к приобретению знаний, а во-вторых, побуждало учащихся к активной познавательной деятельности. Однако в силу конспективного изложения материала учебник чаще не выполняет эти функции, а поэтому не всегда является тем средством, с помощью которого каждый ученик может самостоятельно усваивать знания. Тем не менее, возможности для самостоятельного активного изучения материала в учебнике всё же «закладываются ».

Выделим такие возможности, обратившись к конкретному учебному материалу - теме «Разложение многочленов на множители» курса алгебры7класса. Теоретической базой данной темы являются: переместительный, распределительный законы умножения, свойства степени с натуральным показателем. Основное в материале темы - способы разложения на множители, в том числе с помощью формул сокращённого умножения. Данная тема играет фундаментальную роль в формировании умения выполнять тождественные преобразования алгебраических выражений: преобразование многочленов в произведение имеет как самостоятельное значение, так и носит прикладной характер, предлагая аппарат для решения других математических задач, в том числе - задач вычислительных, связанных с решением уравнений и т.д.

Анализ учебного материала темы «Разложение многочленов на множители» с целью выявления возможностей этого материала в активизации процесса его изучения проведем, имея в виду следующее:

во-первых, процесс самостоятельного приобретения знаний - процесс, имеющий определённую структуру (параграф №1):

 отсутствие в нём хотя бы одного из компонентов приводит к «сбою» в деятельности и отрицательно сказывается на её результатах;

во-вторых, активизация рассматриваемого процесса предполагает реализацию двух основных направлений работы (параграф №1), при этом деятельность учащихся организуется в соответствии с определённой схемой (параграф №2).

Как мы отмечали ранее, одним из направлений работы по активизации познавательной деятельности учащихся является формирование внутренней мотивации учения. Принятие мотивов учения способствует постановке цели деятельности, направленной на усвоение нового знания. Выясним, каким образоммотивируетсявведение способов разложения на множители в учебниках алгебры для7класса.

Обратимся к одному из учебников. Авторы рассматривают многочлен ба²в+15в² и указывают, что каждый его член можно заменить произведением 2-х множителей, одним из которых является Зв.

6а²в+15в²=3в*2а²+3в*5в.

Затем предлагается воспользоваться распределительным законом умножения и сразу вводится название способа разложения многочлена на множители - вынесение общего множителя за скобки. При введении способа группировки обращается внимание на то, как необходимо сгруппировать члены, чтобы можно было воспользоваться уже известным способом разложения на множители.

Вывод формул сокращённого умножения приводится практически без комментариев - в «лоб» применяется правило умножения многочлена на многочлен.

В учебнике Ш.А. Алимова и др. при рассмотрении способов разложения на множители внимание учащихся обращается на практическую применимость этих способов, например, для нахождения числового значения выражения ав+ас-ад при а=43, в= 26, с=17, д=23.

Выделяются последовательно шаги, выполняя которые учащиеся могут разложить многочлен на множители тем или иным способом.

При такой организации деятельности учащиеся не получают возможности открыть новый математический факт или способ решения задачи, у них не формируется умение строить умозаключения, рассуждать, анализировать, следствием чего является иногда формальное запоминание методов решения задач и доказательств различных теорем.

В теме «Разложение многочленов на множители» учащиеся встречаются с примерами использования рассматриваемых преобразований при решении задач, в частности, уравнений, задач на делимость, вычислительных задач, а также задач, предполагающих действия с рациональными дробями.

Именно такие задачи и следует использовать при мотивированном введении способов разложения на множители.

При этом целесообразно обратиться к приёму 2 из группы приёмов, направленных на формирование внутренней мотивации учения (параграф №3).

Рассматриваемые способы разложения на множители находятся в определённойвзаимосвязи:

например, способ группировки - фактически два раза применённый способ вынесения общего множителя за скобки; изменив знак в формуле квадрата суммы, можно вывести формулу квадрата разности, изменив показатель степени - формулы (а+в)³ и (а-в)³, а изменив количество слагаемых - соответственно формулы (а+в+с)², (а-в-с)² и т.д.

Поэтому необходимо предлагать учащимся последовательно задачи на известный и вновь «открываемый» способыдля их сравнения, установления аналогий и тем самый установления связи между ними. Каждый из имеющихся способов представляет собой последовательность шагов, выполняя которые учащиеся могут решить ту или иную задачу, следовательно, на первоначальном этапе знакомства учащихся с новым материалом можно использовать соответствующиеинструкции-памяткик задачам, образцы, описывающие способы решения изучаемых задач, речь о которых шла в параграфе 3.

Имея в виду второе направление работы по активизации познавательной деятельности и 1)-2) этапы процесса самостоятельного приобретения знаний, выясним, могут липоследовательностьпредъявлениязаданийв учебнике,их формулировки способствоватьактивизации мыслительной деятельности учащихся, формированию умения анализировать имеющуюся информацию.

В учебниках алгебры для 7 кл. в рассматриваемой нами теме встречаются следующие формулировки заданий:

а)  разложите на множители;

б)  представьте в виде произведения;

в)  найдите значение выражения;

г)  вычислите;

д)решите уравнение (найдите корни уравнения);

е)  докажите, что выражение... делится на...

Задания а) и б), в) и г) отличаются друг от друга только формулировками, но сходны по целям. Краткость, лаконичность формулировок не способствует активизации мыслительной деятельности учащихся. Поэтомуцелесообразно переформулировать условия некоторых заданий (задач) так, чтобы у учащегося появилась возможность анализировать их перед решением, а не просто воспользоваться соответствующим способом или формулой. Этого можно добиться, используя приёмы1)(б), 4)(в,г) из второй группы приёмов активизации деятельности учащихся.

Поскольку в рассматриваемой нами теме в достаточном количестве присутствуют многочлены, раскладываемые на множители несколькими способами, то это даёт возможность использовать приём 2 из второй группы приёмов (параграф №3).

Большинство задач, представленных в учебниках, объединены следующей целью: научить раскладывать многочлен на множители.

Работа с ними не всегда способствует осознанию учащимися того, что они дают средство для решения разнообразных задач не только в математике, но и в физике. Обратимся, например, к одному  из  учебников  по  математике, конкретно - к параграфу, посвящённому формуле разности квадратов.

В нём представлены следующие задания (рассматриваем в той же последовательности, что и в учебнике):

1)разложите на множители: 25x²-9; у²- х² ...;

2)     выполните умножение: (с+3д)*(с-3д)...;

3)    вычислите: 48*52, 68*72...;

4)  разложите на множители: (у-х)²-к²...;

5)  решите уравнение: (х-1) *(х +1) =х²-2 *(х-3);

6)    вычислите: 49²

7)   доказать, что модуль разности квадратов двух последовательных чисел есть нечётное число.

Аналогичным образом представлены задания и в параграфах, посвященных другим формулам сокращённого умножения. Последовательность предъявления заданий в определённом смысле «задаёт» деятельность учащихся и не способствует активизации поиска основной идеи каждой задачи, которая и даёт «ключ » к решению.

Исходя из цели учебно-методического  пособия, приходим к выводу, чтоцелесообразно в системе упражнений,связанных с изучением одного тождества,выделять как задания, направленные на применение тождества в «лоб», так и задания, выполнение которых предполагает распознавание учеником ситуации применения тождества.Последовательность предъявления заданий может быть разной. Если учитель сознательно стремится поставить ученика в затруднительное положение (и активизировать его деятельность), то он может предложить сначала более сложное задание (которое ученик, вероятно, не выполнит), затем в качестве «наводящего» - более простое, чтобы в итоге ученик вновь обратился к сложному.

Обращаясь к последнему этапу процесса самостоятельного приобретения знаний, выясним, учитывает ли учебник необходимость формирования у учащихся умений осуществлять контроль за выполняемой деятельностью (в частности, деятельностью по решению конкретной задачи). В учебниках математики 7 кл. лишь изредка встречаются задания типа: «разложите многочлен на множители и результат проверьте умножением». Поэтому возникает необходимость в соответствующей организации контрольно-оценочной деятельности учащихся. Для активизации контрольно-оценочного компонента деятельности учащихся целесообразно обратиться к 3-й группе приёмов, характеристика которых дана в параграфе №3.

Имеяввиду а н а л и з материала темы «Разложение многочленов на множители», приходимк выводу:учащиеся не смогут самостоятельно организовать и проконтролировать свою познавательную деятельность,т.е. «пройти» через все этапы процесса самостоятельного приобретения знаний. Однако заметим, что в учебниках Ш.А.Алимова и под ред.С.А.Теляковскогоесть такие задачи, которые можно использовать для достижения цели учебно-методического пособия. Дальнейший отбор приёмов активизации деятельности учащихся необходимо провести, учитывая положения, сформулированные выше, «отобранные приёмы», а также характеристику класса. При этом будем иметь в виду также схему организации активной деятельности учащегося, связанной с изучением нового материала (2).

Поскольку в учебно-методическом  пособии обращаемся к умению самостоятельно организовывать деятельность по приобретению знаний, то, характеризуя учащихся класса, нужно в большей  степени уделить внимание лишь указанному умению. Умение самостоятельно приобретать знания является в данном пособии умением учащегося «проходить» через все этапы процесса самостоятельного приобретения знаний. Реализация каждого этапа предполагает наличие целого комплекса умений. Нас интересовало: владеют ли этими умениями учащиеся.

Наблюдения за деятельностью учащихся 7 кл. в  одной  из  простых  массовых школ в течение восьми месяцев, анализ результатов самостоятельных (обучающих, проверочных) и контрольных работ дали основания для следующих выводов:

-             как правило, все учащиеся затрудняются в постановке цели своей деятельности. При решении задач некоторые не могут даже установить цели тех конкретных действий, которые необходимо выполнить, чтобы получить искомое (требуемое);

-                 большинство учащихся затрудняется в организации собственной деятельности по изучению материала. Затруднения проявляются в том, что они не могут выделить в материале главное, существенное, не всегда могут на основе выводов частного характера предложить обобщающую формулировку, а затем воспользоваться ею при выполнении конкретного задания и т. п.

-практически никто из учащихся не планирует деятельность по изучению материала, не пытается найти рациональный путь выполнения предложенного учителем задания;

-у многих учащихся отсутствует потребность в контроле за выполняемой деятельностью. Некоторых затрудняет даже « грубая прикидка», связанная с ответом на вопрос: правдоподобен ли полученный результат, верно ли выполнены рассуждения и т.п.

Полученные выводы свидетельствуют, что умение самостоятельно приобретать знания у учащихся не сформировано на достаточном уровне. Причины затруднений, которые испытывают учащиеся, состоят не столько в незнании базового для изучения конкретной темы материала, сколько в отсутствии умений выполнять анализ (задания, текста задачи, отрезка учебного материала), сравнивать изучаемые объекты, проводить рассуждения по аналогии и т.д. Учащиеся не имеют представления о том, как следует организовать деятельность по приобретению знаний, какие этапы в этой деятельности выделяются, с чем связана реализация каждого этапа.

Для подтверждения этих выводов приведём данные, полученные в результате анализа одной из диагносцирующих работ, которая предлагалась для того, чтобы установить, владеют ли учащиеся умениями выполнять анализ (задачи и своей деятельности по её решению), намечать план решения задачи. Перечисленные умения были выделены неслучайно: без овладения ими невозможна деятельность по самостоятельному приобретению знаний (именно эти умения «обеспечивают» реализацию первых этапов такой деятельности, без умения осуществлять анализ невозможна и реализация последующих этапов). Перед изучением темы «Разложение многочленов на множители»  была  проведена  определенная  работа. Приведём текст одного из вариантов (РАБОТА№1):

1.    Вычислить:

а)  7,5 *102 ;

б)  2,1  *8,3+2,1* 1,7;

в)  (2,73+9,52)+4,48;

г)  1,4 *5,7+(4,3* 0,7) *2

2.   Даны числа 23 и 80.

а)  Вычислить 35%, 70% каждого из данных чисел.

б)Найти число, если известно, что 45% его составляет 25. Увеличить полученное число в 9 раз.

3.    Решите задачу: Три отряда сажали деревья. Первый посадил а деревьев, второй 90% того, что посадил первый, а третий - в 8,1 раза больше первого и ещё на в деревьев больше. Сколько деревьев посадили 3 отряда вместе?

Замечания:

1) Мы считали, что ученик владеет умением анализировать исходную ситуацию, если он предложил рациональный путь выполнения всех предложенных заданий пункта 1, а также верно составил выражение с переменными при решении задачи пункта 3.

 2) Если при выполнении задания №3 ученик верно фиксировал последовательность действий, то мы полагали, что этот ученик умеет составлять план решения задачи. В своей работе каждый учащийся должен был представить план, включающий 3 пункта:

а)  Сначала найду, сколько деревьев посадил второй отряд.

б)  Затем - сколько деревьев посадил третий отряд.

в)  И, наконец, сколько деревьев посадили вместе 3 отряда.

Каждому учащемуся, решившему задачу, но не составившему план решения, учитель после работы задавал вопрос: «Каким планом ты руководствовался, решая задачу?», выясняя, сам ли учащийся решал.  Считаем, что без составления плана решения задачи, к ответу придти невозможно. Задание №2 в предложенную работу включено специально. Была поставлена цель: выяснить, владеет ли ученик знаниями (и соответствующими действиями), необходимыми для реализации плана решения задачи. Если хотя бы одно из этих действий ученик выполнить не может, то, очевидно, это может быть причиной затруднений при составлении плана решения задачи.

Результаты выполнения приведённой и аналогичных ей диагносцирующих работ дали возможность распределить учащихся класса на группы, каждой из которых условно сопоставили определённый уровень сформированности комплекса указанных умений. В итоге выделили 3 группы учащихся:

1 группа (нулевой уровень) объединяет учащихся, которые не владеют рассматриваемыми умениями;

2           группа (первый уровень) - учащиеся, владеющие умением анализировать, но не владеющие умением планировать деятельность;

3                 группа (второй уровень). В эту группу вошли учащиеся, которые владеют обоими умениями

Данные об особенностях учащихся класса, на  котором пособие было апробировано, позволили сделать следующиевыводыо том, что, во-первых, самым сложнымдля учащихся в процессе приобретения знанийбудет первый этап(постановка цели деятельности), и реализовать его самостоятельно они не смогут. Поэтому, чтобы активизировать деятельность учащихся, учитель должен (особенно на первых порах) сам формулировать цель, показывать, как эта цель конкретизируется в зависимости от материала, подлежащего изучению; во-вторых, для активизации контрольно-оценочного компонента деятельности учащихся целесообразно (и реально) обратиться к приёмам 1,3,4,6 третьей группы приёмов активизации (параграф №3). Выбор именно этих приёмов обусловлен тем, что в силу ряда причин учащиеся не выполняют домашние задания, поэтому учитель вынужден изыскивать возможности получения максимальной «отдачи» от занятий на уроках. Опираясь на характеристику класса, результаты анализа материала темы «Разложение многочленов на множители», схему организации деятельности учащихся при изучении материала (параграф №2), сформулируем

общие рекомендации, которые требуется учесть, разрабатывая методику изучения темы:

1) Цель деятельности по изучению всей темы и отдельных её фрагментов формулирует для учащихся учитель;

2)  На первом этапереализации схемы (параграф №2) учитель использует приём2из первой группы приёмов (параграф №3),

3)  На втором- предлагает учащимся последовательно задачи на известный и вновь «открываемый» способы, используя при этомзадачи-образцы, задания на отыскание закономерностей,

4)  На третьем этапеорганизуется алгоритмическая деятельность учащихся, возможно, с помощьюинструкций-памяток.При этом на обоих этапах учитель использует приёмы16), 4в), г)извторой группы приёмов активизации деятельности учащихся.

5)  На четвёртом этапе учащимся предлагаются задания, связанные с применением нового знания в нестандартных ситуациях;

6)  Набор заданий для самостоятельного решениясоответствует 3 и 4 этапам схемы (параграф №2);

7)  Для формирования умения анализироватьследует обращаться к приёму 2 из второй группы приёмов активизации деятельности, осуществлять контроль за своей деятельностью к приёмам1,3,4,6из третьей группы приёмов (параграф №3).

5.МЕТОДИКА  РАБОТЫ ,  НАПРАВЛЕННОЙ НА

АКТИВИЗАЦИЮ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ «РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ»

Анализ материала темы «Разложение многочленов на множители» свидетельствует, что этот материал может быть условно разделён на 3 части; цель работы с каждой - изучить соответствующий способ разложения многочлена на множители (вынесение общего множителя за скобки, способ группировки, разложение многочлена на множители с помощью формул сокращённого умножения). Деятельность учащихся, связанная с изучением каждого способа, будет реализована по одной схеме (параграф №2). Поэтому, предлагая методику изучения темы, обратим внимание на детальное описание работы, направленной на формирование умения использовать один из способов разложения многочлена на множители - вынесение общего множителя за скобки.

Описание последующей работы дадим в конспективном варианте, выделив те моменты, которые по отношению к предыдущей ситуации являются новыми. Например, обратим внимание, как организуется деятельность учащихся по:

1) установлению связи способов вынесения общего множителя за скобки и группировки;

2) «открытию» тождеств сокращённого умножения и возможностей их применения.

Материал параграфа представим в виде фрагментов, каждый из которых раскрывает особенности организации одного (нескольких) этапов деятельности учащихся по приобретению знаний. Кроме того, приведём наборы задач, предназначенных для самостоятельного выполнения учащимися в процессе изучения каждого из способов разложения многочлена на множители.

                    ФРАГМЕНТ 1

ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ

ЦЕЛЬ: ВВЕСТИ СПОСОБ ВЫНЕСЕНИЯ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ.

Учащимся предлагается следующая устная работа:

Задание 1: Проверьте, являются ли корнями уравнений значения переменной х=5, х=3; х=-5, х=2.

а)  (х-5) (х-3)=0

б)  (х+5) (х-1) 0

Выполнение этого задания связано лишь с определением корня уравнения.

Задание 2: Объясните, почему в задании 1 некоторые из данных значений обращают уравнения в верные равенства.

Учащиеся вспоминают свойство произведения, равного нулю, и его множителей.

Замечания:Обратим внимание, что учащиеся до рассмотрения способов разложения на множители выполнили достаточное количество упражнений по решению уравнений, правая часть которых равна нулю, а левая представлена в виде произведения множителей. Цель устной работы: актуализировать знания о приёме решения таких уравнений.

После устной работы учитель предлагает решить следующие уравнения. При этом рекомендуется воспользоваться инструкцией:

а)    Если правая часть уравнения (выше первой степени) равна нулю, посмотреть, нельзя ли разложить его левую часть на множители;

б)       если можно, разложить левую часть на множители;

в)      последовательно приравнивая нулю множители, содержащие переменную, решить каждое из полученных уравнений;

г) записать ответ, объединив в нём те значения переменной, которые обращают в нуль выделенные множители.

Уравнения:

1)             2х (х-5) =0;

2)               (х-8) (1/3 х-6)=0;

3)              (2х-4) (х-3)=0;

4)              х*(х-7)+2*(х-7)=0

5)   5х+х²=0;

6)    х³ +х= 0.

Учитель сообщает учащимся, что для решения многих задач в математике можно составить инструкцию, использование которой иногда позволяет облегчить процесс решения задачи. Пользуясь инструкцией, учащиеся самостоятельно выполняют задания 2) и 3), но, приступив к заданию 4) сталкиваются с затруднением. Как решать такое уравнение? Учитель подсказывает, что учащиеся могут использовать для работы с таким уравнением имеющуюся у них инструкцию. Обращаясь к пункту а) этой инструкции, они рассуждают, нельзя ли левую часть уравнения 4) разложить на множители. В данном случае учащиеся вместе с учителем предлагают возможные варианты решения уравнения:

а)  воспользоваться умножением одночлена на многочлен

х²-7х+2х-14=0 х²-5х-14=0

Такие уравнения учащиеся решать не умеют.

б)      Учитель напоминает, какие уравнения учащиеся научились решать. Они выясняют, что в левой части должно стоять произведение многочленов. Нельзя ли данное уравнение привести к такому виду?

Кто-то из учащихся замечает, что оба слагаемых имеют один и тот же множитель и, если воспользоваться распределительным законом умножения относительно сложения, то получим желаемое, (уравнение, левая часть которого представляет собой произведение многочленов). Если никто из учащихся не догадывается, то учитель помогает наводящими вопросами: 1)Что общего у обоих слагаемых уравнения?; 2)Нельзя ли воспользоваться известным законом?; 3)Какой из известных законов арифметических действий даёт возможность сумму преобразовать в произведение?

В итоге данное уравнение приводят к виду: (х-7) (х+2)=0. Пользуясь инструкцией (пунктами в) и г)), учащиеся находят решения уравнения: x_i=7, х₂=-2. Учитель задаёт вопрос: «Как убедиться в том, что мы правильно решили уравнение?». Выполняя вычисления, ученики убеждаются, что найденные значения переменных действительно являются корнями уравнения. Далее задания 5) и 6) учащиеся решают самостоятельно, «проходя» через все этапы работы, описанные выше. Заметим, что в задании 6) корнем уравнения является только число 0. После выполнения заданий учитель привлекаетвниманиеучащихся к решению уравнений 4)-6). В процессе решения потребовалось преобразовать выражения в левых частях уравнений в произведение множителей, каждый из которых содержит переменную. Это преобразование состояло в том, чтобы представить слагаемые алгебраической суммы в виде произведений, но не любых, а таких, которые имеют одинаковые множители. Затем алгебраическую сумму заменили произведением множителя, который является общим для всех произведений, на многочлен.

Выполненное преобразование в математике называютвынесением общего множителя за скобку.Учитель подчёркивает, что фактически при решении уравнений 4)-6) учащимися были выделены действия, которые определяют способ этого преобразования многочлена в произведение. Дома учащиеся должны будут ещё раз обратить на них внимание и составить инструкцию-памятку по реализации этого способа.

Домашнее задание:

1)   Решите уравнения:

а)  а*(а-5)=0;

б)  в²+15в=0;

в) х²-3х=0;

г)  5^*(x-3)-х*(3-х)=0.

2)                             Найдите  значения  переменных,  при  которых  данное  выражение  обращается  в  ноль:

    а) (2а-1)*(в-2)

    б)  3*(х-4)*(-х)+(х-4)

     в)  2ав-2а

     г)  4*(5-х)-2к*(5-х)

Замечание:При выполнении заданий пунктов 1)-2) учащиеся должны осознать, что, по сути, решают одну и ту же задачу. Кроме того, они должны будут вычленить в ходе решения действия, определяющие способ разложения на множители вынесением общего множителя за скобки, и зафиксировать их в виде правила.

                 ФРАГМЕНТ 2

ЦЕЛЬ:ОБОБЩИТЬ СПОСОБ ВЫНЕСЕНИЯ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ В ВИДЕ ПРАВИЛА И НАЧАТЬ РАБОТУ ПО ЕГО ЗАКРЕПЛЕНИЮ.

Учащимся предлагается 2 блока заданий:

1) Решите уравнение:

 

а)  4х+х²=0;

б)  5 (х-4)-2х (х-4) =0;

в)  (2х-1)* х-2 *(1-2х)=0:

г)  4х²+16х= х²+ 12х;

д)  (х-2) (х-1)= (х-1) (х+8)

При этом 2 человека работают у доски, остальные оформляют решения в тетрадях. Учитель обращает внимание, что, во-первых, в процессе работы можно использовать инструкции-памятки, а, во-вторых, полученные решения следует проверить.

В процессе выполнения заданий а) и б) каждый ученик обращается к памяткам (по решению уравнений рассматриваемого вида, а также к полученной дома памятке по реализации способа разложения на множители). При этом происходит и проверка последней памятки.

Замечание:

В процессе работы учащиеся с данными уравнениями учитель обращает внимание на особенность выражений, которые получаются в левой части уравнений. Это - либо многочлен (сумма одночленов), либо выражение, представляющее собой алгебраическую сумму произведений одночлена на многочлен (многочлена на многочлен).

После того, как учащиеся, работавшие у доски, завершили решение, учитель вместе с ними и с классом уточняет действия, которые требуется выполнить для решения задачи разложения многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки и которые должны быть представлены в полученной учащимися инструкции - памятке:

a) найти и выделить общий множитель всех членов данного выражения;

б) вынести этот общий множитель за скобку, пользуясь распределительным законом умножения.

Используя памятку, учащиеся выполняют самостоятельно остальные задания, постепенно привыкая действовать без неё. Для решения уравнения в случае в) учащиеся должны изменить знак множителя в одном из произведений (а значит, и знак перед соответствующим слагаемым), в г) - привести к виду ах²+вх=0,в д) учащимся представляется возможность решения двумя способами (воспользоваться правилом умножения многочлена на многочлен и привести подобные члены или вынести общий множитель за скобку.

2) Следующие равенства содержат принципиальные пробелы, которые учитель предлагает учащимся обнаружить и заполнить. Выполнение задания происходит в форме соревнования «Кто быстрее?». Задание выполняют все учащиеся у себя в тетрадях.

а)  ас (... +с-а) =ас²+4а³ с²-а² с;

б)  т²с³ +12т²с³р+1,5т²с²р³= 0,5т²с² (2с+...+...);

в)  32р3а²-16р²а³+0,8ра²с=... ( 40р²-...+с);

г)  в² (х+а)-...=в² (х+а) (1-в);

д)  т³ (1-с)- т⁵... =т³ (т²+1) (1-с)

После выполнения учащимися всех предложенных заданий учитель проводитобобщающую беседу, целькоторой - познакомить учащихся с этапами процесса самостоятельного приобретения знаний.

1.   Почему мы обратились с Вами к способу вынесения общего множителя за скобки? (учащиеся вспоминают, что не могли решить уравнение)

х (х-7)+2 (х-7)=0). Итак, мы должны были решить данное уравнение.

2.     Какие же пути для решения Вы мне предложили?

Учитель обращает внимание, что один из способов привёл к уравнению, которое учащиеся решить пока не могут; подчёркивает ещё раз, что для удобства преобразования выражений в математике вводится способ, называемый вынесением общего множителя за скобки.

3.          Что составлял каждый из Вас при выполнении домашнего задания? Учитель просит учащихся объяснить, как, используя памятку, можно решить задачу; сообщает, что в дальнейшем памятку будем называть планом для решения задачи.

4.       В чём вы убедились после решения уравнения х (х-7)+2 (х-7)=0? Учитель подводит итог:

«Итак,в начале работы мы поставили цель: решить уравнение. Вы мне предложили возможные способы для решения, один из которых оказался неудачным. Мы выяснили, что целесообразно ввести способ преобразования выражений, помогающий нам решить уравнение, т.е. конкретизировали поставленную цель, составили план для решения задач способом вынесения общего множителя за скобки, реализовали последовательно действия, описанные в плане, а после этого проконтролировали промежуточные и конечный результаты деятельности.

Изучая, познавая новое, как правило, всегда «проходят» через выделенные этапы:

ставим цель деятельности, затем собираем и анализируем информацию, которая помогает нам наметить план нашей работы, уточняем такой план и, наконец, реализуем его. Чтобы убедиться, что мы действительно на пути к достижению цели, мы контролируем наши действия, соотнося их результаты с промежуточными целями, которые зафиксированы в плане.

В заключение описания методики работы по изучению способа разложения многочлена на множители вынесением общего множителя за скобкиприведемНАБОР ЗАДАЧ НА ПРИМЕНЕНИЕ УКАЗАННОГО СПОСОБА ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ УЧАЩИМИСЯ:

1 БЛОК:Цель работы с задачами этого блока заключается в том, чтобы формировать умение применять способ вынесения общего множителя за скобки в стандартных ситуациях.

Сначала предлагаются задания, относящиеся к пониманию стандартной ситуации в «узком» смысле, а затем в «широком».

1)    Разложите на множители:

а)   7ав+7ас;

б)  х²у-ху²;

в)  15х³у²+10х²у-20х²у³;

г)  а²(x-l)-в(1-х);

д)  (х-3)(у+4).

2)     Вычислите:

а) 137²+137 63; б) 0,7³+0,7 9,51; в) 0,9³-0,81 2,9; г) (-187) 87+187²

3)    Правильно ли выполнены преобразования?

а)  28а³х²-21х³а= 7ах³ 4а²-7ах² Зх²=7ах² (4а²-Зх²);

б)  с (а-в)+д (в-а)=(с+д) (а-в);

в)  (6х²-5у)+(5у-6х²) 7х-(6х²-5у) 4у=(6х²-5у) (7х-4у).

4)    Вместо * запишите соответствующее выражение, чтобы равенство было верным:

а)  4а4в²+36а²в³+4а²в²=*(а²+9в+1);

б)  (а+в)³-а(а+в)²=(а+в)² *

в)  т² (т+а)-в*=(т²-в) (т+а)

г)  х (р-а)+* (а-р) -z(p-a)= (р-а) (x-y-z)

5)   Можно ли поставить знак равенства между выражениями:

а)  6ах²у+2ах² и 2ах² (1+Зу);

б)  (а-5) (в+3) и ав-5в+За-15.

Перед началом работы каждый из учащихся получает 3 сигнальные карточки: красную - не знаю, как выполнить задание; жёлтую - нуждаюсь в помощи; зелёную - я всё сделал.

Используя эти карточки, oн обращается к учителю, который получает возможность своевременно осуществлять контроль за деятельностью учащихся, а в случае необходимости оказывать им помощь.

Замечание:

В 1) задании пункт д) включен специально для того, чтобы выяснить, понимают ли учащиеся, что значит разложить выражение на множители. Задание 2) - показывает применение данного способа для рационализации вычислений, 3), 4) - направлены на осуществление итогового контроля, задание 5) готовит учащихся к введению способа группировки.

2 БЛОКзаданий преследует цель - формировать у учащихся умение применять способ в нестандартных ситуациях.

1)    Составьте и запишите

а)      три алгебраических выражения, каждое из которых можно разложить на множители путём вынесения общего множителя за скобки;

б)  три алгебраических выражения, не имеющие общего множителя.

2)  Докажите, что если к целому числу прибавить его квадрат, то полученная сумма будет чётным числом.

3)   Известно, что при некотором значении х значение выражения х²-5х-1 равно 7. Найдите, чему равно при этом же значении х значение

следующего выражения:

а)  3х²-15х-3;

б)  х² (х²-15х-1)-5х (х²-5х-1);

в)  9х²-45х-7

4)  Делится ли на 7 выражение 313 299-313²

5)   Решите уравнения:

а)  х²-8х=727²-8 727;

б)х²-9х=639²-9 639

Указания к выполнению заданий:

В задании 2) обозначьте целое число буквой и составьте выражение;

в задании 3) выделите в каждом из выражений в случаях а), б), в) 3-х член х²-5х-1; в задании 5) - корней у каждого из уравнений два, поэтому будьте внимательны при решении

ФРАГМЕНТ 3

                             СПОСОБ ГРУППИРОВКИ

ЦЕЛЬ:ВВЕСТИ СПОСОБ ГРУППИРОВКИ.

Учитель предлагает учащимся представить в виде произведения выражения:

а)  тх+3т;

б)  тх+3т-10х-30

Пункт а) включён специально, чтобы учащиеся осознали недостаточность имеющихся знаний для преобразования выражения под б). Учитель поясняет, что только применение способа вынесения общего множителя за скобки в случае б) не помогает, поэтому в математике для преобразования выражений ввели ещё один способ разложения на множители. Он используется также при решении групп задач, в частности, и при решении уравнений. Давайте выясним, в чём этот способ состоит.

Учитель раздаёт учащимся карточки, в которых представлены образцы преобразования пяти выражений.

а)   7а+7в+па+пв=7а+па+7в+пв=а (7+п)+в(7+п)=(7+п) (а+в)

б)х²-ху-2х+2у=х²-ху-(2х-2у)=х (х-у)-2 (х-у)=(х-у) (х-2)

в)  13х²у +26xу²+39ху= 13ху (х+2у+3)

г)  х+х²+1+х=(х+х²)+(х+1)=х (х+1)+(х+1)=(х+1) (х+1)=(х+1)²

д)5xу-10вху+ 6аху =ху (5-10в+6а)

Учащиеся должны выполнить анализ преобразований. Учитель помогает им организовать свою деятельность, используя вопросы, указания:

Можно ли утверждать, что в каждом случае цель преобразования данного выражения одна и та же? В чём она состоит?

Если учащиеся затрудняются с ответом целесообразно предложить им в каждом случае сравнить (по виду) данное и полученное выражения (учащиеся должны обратить внимание, что каждый многочлен в итоге заменяется произведением многочлена на многочлен (одночлен)).

Все ли выражения преобразованы одним и тем же способом?

Если нет, разбейте их на группы так, чтобы каждой группе соответствовал вполне определённый способ преобразований. Известен ли Вам способ, который реализован для преобразования выражений в каждой группе?

Сравните преобразования выражений каждой группы и укажите выполненные действия. Какие законы арифметических действий использованы при этом? Учитель обращает внимание учащихся на то, что преобразования в случаях а), б), г) были связаны с объединением членов данных выражений в группы. Именно поэтому соответствующий способ разложения выражений на множителиполучил название способа группировки.

Таким образом, в процессе анализа имеющихся образцов учитель с учениками устанавливает, что способ группировки применяют к выражениям, которые не имеют множителя, общего для всех членов данного выражения; используя образцы а) и б) учитель обращает внимание, что способ группировки - несколько раз применённый способ вынесения общего множителя за скобки.

Учитель вместе с учащимися выделяет действия, входящие в состав данного способа и задающие план деятельности по его реализации:

1)  объединить члены выражения в такие группы, которые имеют общий множитель в виде многочлена;

2)     вынести этот общий множитель за скобки.

Далее учащиеся возвращаются к выражению б) и, пользуясь полученным планом, преобразуют его, например, следующим образом:

тх+3т-10х-30

т (х+3)-10 (х+3)

(х+3) (т-10)

После этого учащимся предлагаются задачи, решаемые с помощью полученного плана (инструкции):

1) Разложите на множители:

1.     ав+ас+кв+кс                                                                     

2.     6а³-21а²в+2ав²-7в³

3.     х²т-х²р-у²р+у²т                                              

4.     9х+ау+9у+ах

5.     д²+2дс+с²-д²                                                 

6.     а³-в³+5а²в-5ав²                                        

7.      х⁴+х³у-ху³-у⁴

8.      а³-2а²+2а-4                                                                         

9.      81а²+6вс-9в²-с²

10.а-в+а²-в²                                                                             

11.а²-ав-8а+8в

2) Найдите числовые значения следующих выражений:

1.      5а²-5ах-7а+7х при а=4; х=-3

2.      т²-тр-3т+3р при т=0,5; р=0,25

3.     а²+ав-5а-5в при а=6,б; в=0,4

4.       3ах-4ву+4ау-3вх при а =5; в= 8; х=3 ; у=-4

В задании первой группы в перечень многочленов специально включены такие, которые учащиеся не смогут разложить на множители.

Случаи 6), 10) требуют знания формул сокращённого умножения. В данный момент учащиеся их не знают. В дальнейшем к этим случаям можно вернуться, показав ребятам, как расширяются возможности тождественных преобразований после изучения формул. Случай 9) вообще бесперспективен, но рассматривать их необходимо, чтобы учащиеся научились выделять из множества многочленов именно те, которые можно представить в виде произведения. Проводя анализ 9), учащиеся должны рассказать по каким признакам они группировали члены, и почему ни одна из группировок не даёт желаемого результата. В процессе обсуждения особенностей работы с этими заданиями учитель задаёт вопрос: «Как улучшить выражение, чтобы его можно было разложить на множители?».

Выполняя задания второй группы, учащиеся убеждаются, что использование способа группировки приводит к рационализации вычислений.

В заключение приведемНАБОР ЗАДАЧ НА ПРИМЕНЕНИЕ СПОСОБА ГРУППИРОВКИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ УЧАЩИМИСЯ:

Все задачи объединены целью, которая заключается в формировании умения анализировать данное для вычисления или преобразования выражение.

1)   Вычислите:

139*15+18 *261+18*139+15*261

2)    Припишите к каждому из следующих выражений такой член, чтобы полученный многочлен можно было разложить на множители способом группировки:

а)  ав+ас+вх+...

б)  аm-вm+...+ар

в)  ах+х-ау+...

г)  а²-ав+ас+...

3)  Дан многочлен: 35а²-21ах+30ас-18хс. Подумайте, можно ли будет разложить новый многочлен на множители, если

а)  изменится знак каждого коэффициента на противоположный;

б)  изменятся все знаки, кроме одного

в)  изменится только два знака.

Указание: В каждом из заданий 1) и 2) вы можете воспользоваться памяткой (планом).

Замечания:

Задание 1) направлено на осуществление алгоритмической деятельности с использованием памятки. Выполняя задание 2), учащиеся в начале работы должны объединить какие-то 2 члена выражения и выделить для них общий множитель. Заметим, что независимо от того, с каким членом - вторым или третьим группируется первый член (см. а)) в выражении «не хватает» ещё одного члена хс.

Задание 3) имеет цель: показать учащимся, как можно изменить выражение, чтобы появилась возможность его разложения на множители. Данное задание - хороший повод для выявления закономерностей, связанных со знаками членов.

4)Целесообразно ли преобразовать выражение, чтобы вычислить его значение?

а)а²в+0,19а²в-а²в² при а=1, в=1

б)х²-121х+78 при х=122

в)  а²-3ав+2в² при а=57, в=24

г)   а²+в²+с²-3ав при а=57, в=24, с=24

Указание: Если необходимо, используйте образец:

х²+7х+12=х²+3х+4х+12=х(х+3)+4(х+3)=(х+3)(х+4);

а² -4ав+3в²=а²-ав-3ав + 3в² =а (а-в)-3в (а-в)=(а-в) (а-3в)

Замечания:Учащиеся прежде, чем начать вычисления, должныоценить числовые данныеиобъём вычисленийпосле подстановки значений переменных в выражение. Цель примера 4 г) состоит в том, чтобы показать учащимся, что в процессе анализа выражений надо учитывать конкретные числовые данные (поскольку в=с, то а² +в² +с²-3ав=а²+2в²- 3ав, т.е. имеем выражение в)).

5) Найти значение переменной, при котором данное выражение обращается в ноль.

а)х²-3х+2=х²-...+... +2

б)  х²+2х-3=х²+...-... -3

в)х²-х+2=х²+...+...+2

Указание: используйте указание к заданию 4).

*6) Составьте план решения задачи и решите её. Задача (древнеиндийская).

Обезьянок резвых стая,

всласть поевши развлекалась.

Их в квадрате минус двое на поляне забавлялось.

А потом все по лианам стали

                       прыгать, повисая.

Столько было их в начале и

равнялось на поляне.

Сколько ж было обезьянок

ты скажи мне в этой стае?

Подсказка: Обозначьте количество обезьянок за х. В начале  работы ответьте на следующие вопросы:

1.    О каких объектах говорится в задаче?

2.       Что требуется найти? Можно ли сразу ответить на вопрос задачи?

3.       Что известно из условия задачи?

4.      Сколько обезьянок было в начале?

5.      Сколько обезьянок было на поляне?

При выполнении этого задания учитель обращает внимание учащихся на составление плана, выделение последовательности действий, необходимых для решения задачи. После составления учащимися равенства х²-2=х учитель просит их перенести х в левую часть.

Получаем: х² -х-2=0. Подобные уравнения учащиеся не решали, но результаты предыдущей работы свидетельствуют, что некоторые выражения, содержащие вторую степень переменной, можно разложить на множители. Учитель обращает внимание учащихся на задание 5).

х²-х-2=х²+х-2х-2=(х²+х)-(2х+2)=х (х+1)-2 (х+1)=(х-2) (х+1) и тогда появляется возможность использовать для решения уравнения уже известный приём.

ФОРМУЛЫ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ

В предыдущем параграфе мы отмечали, что необходимым условием осуществления самостоятельной мыслительной деятельности является умение анализировать. Это умение необходимо формировать у учащихся с помощью специальных приёмов и на материале специальных заданий. Можно предложить два типа заданий, выполнение которых предполагает различную степень мыслительной активности:

1.    Провести анализ частных случаев проявления некоторой закономерности и сформулировать эту закономерность (используя естественный язык или язык символов).

2.     Доказать гит опровергнуть определённое утверждение. Выполнение указанных заданий организуется с помощью ряда приёмов, на которые обратим внимание при описании фрагментов, посвященных формулам сокращённого умножения. Такое описание проведём, имея в виду не только выводы параграфа 4 и схему параграфа 2, но и взаимосвязи между формулами, а также целесообразность обращения к первому типу заданий, о которых говорилось выше.

                       ФРАГМЕНТ 4

ЦЕЛЬ:ВВЕСТИ ФОРМУЛУ РАЗНОСТИ КВАДРАТОВ И ФОРМИРОВАТЬ У УЧАЩИХСЯ УМЕНИЕ ПРИМЕНЯТЬ ЕЁ ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ И РАЦИОНАЛИЗАЦИИ ВЫЧИСЛЕНИЙ.

Учащимся предлагаются следующие задания:

1)    Вычислить:

а)  59*61;

б)  37²-27²

2)    Решить уравнение: х²-4=0

Для решения задачи 1) учащиеся могут воспользоваться калькулятором или выполнить умножение в столбик. К удивлению класса, учитель быстро находит произведение записанных чисел. Учащиеся понимают, что имеющихся знаний у них недостаточно, чтобы справиться с поставленной задачей. Учитель сообщает учащимся, что на этом уроке они узнают секреты быстрого счёта. Оказывается, такие секреты «спрятаны» в некоторых формулах, которые применяют не только для быстрого нахождения значений выражений, но и для многих других задач, в частности, и при решении уравнений. Покажем  вывод  одной  из  них.

Следующие задания объединены целью, которая заключается в том, чтобы актуализировать знания и умения учащихся на выявление закономерности, результатом чего будет открытие формулы, задание 2- на осуществление итогового контроля , 3 - на осуществление поиска плана решения.

1)Умножьте многочлен на многочлен:

а)  (а-с) (а+с)=а²+ас-са-с²=а²-с²

б)  (2а-в) (2а+в)=...                       (2а)²-в²

в)  (2а-3с) (2а+3с)=... =(2а)²-(3с)²

г)  (Зв-с) (3в+с)=.. =(3в)²-с²

Выполнение этого задания сопровождается наводящими вопросами учителя:

1.       Что представляет собой левая часть данных равенств?

2.        Что получили в правых частях равенств?

( Заметим, что в каждом из заданий б) -г) учитель просит выделить в правой части те же одночлены, что и в левой части каждого равенства, и соответственно записать решение следующим образом: (3в-с)(3в+с) =9в²+3вс+3вс-с²=9в²-с²=(3в)²-с²

3.     Как взаимосвязаны полученные равенства?

После выполнения задания 1) учитель просит учащихся предложить символическую и словесную формулировку того факта, с которым они, по сути, работали. Учитель сообщает, что полученное равенство

а²-в²=(а-в) (а+в) получило название формулы разности квадратов. Затем учащиеся выполняют задания 2) и 3).

2)Проверьте     истинность равенств:

а)  30²-2²=(30-2) (30+2)

б)  в²-с²=(в-с) (в+с)

2)   Можно ли записать 13²-2², а²-к², (2т)²-р², х²-3² в виде произведения двух многочленов?

В задании 2) учитель обращает внимание на структуру выражения в левой части равенств и просит сравнить равенства в заданиях 1) и 2); после выполнения задания 3) учитель выясняет у учащихся, любые ли значениях аивмогут принимать в формуле?

После открытия совместно с учащимися формулы учитель вновь обращается к задачам, предложенным в начале. Как полученную формулу можно использовать для вычисления произведения (для решения уравнения)?

59 61 =(60-1) (60+1) =60²-1 =3600-1=3599

37²-27²=(37-27) (37 \27)=10 64=640

х²-4=0; (х-2) (х+2)=0

Для решения такого уравнения учащиеся могут воспользоваться уже известным приёмом.

При выполнении этих заданий учитель акцентирует внимание на то, что применять формулу разности квадратов можно как «слева направо», так и «справа налево».

Таким образом, в результате выполнения предложенных заданий учащиеся самостоятельно открывают формулу разности квадратов и оценивают её роль при решении некоторых задач. Это способствует осознанию и пониманию необходимости её открытия.

Следующие задания направлены на осуществление алгоритмической деятельности учащихся, связанной с применением введённой формулы. Выполнение этих заданий мы предлагаем начать с игры, которая заключается в следующем. Первый ученик пишет одночлен, являющийся квадратом некоторого выражения, например 16х². Второй вычитает такой одночлен, чтобы полученный двучлен можно было разложить на множители. При этом за определённое время требуется записать как можно больше двучленов. Затем учащиеся обмениваются тетрадями, и каждый из них проверяет правильность разложения на множители имеющихся двучленов, указывает и исправляет ошибки товарища. После учащиеся выполняют следующие задания:

1)Представьте в виде произведения:

а) а²-к²; б) в²-4²; в) 144-т²; г) х²-100у²; д) 9-а²в²; е) 4-(а-в)²; ж) 0,36a⁴в²-0,09c⁶; з) (а+в)²-(а-в)²;

2)Выполните умножение

а)  (в+х) (в-х);

б)  (а²-в²) (а²+в²);

в) (2а³- в²) (2а³+ в²);

3)Вычислите:

а) 49 51; б) 116²-16²;

4)Решите уравнение:

а)  х²-36=0;

б)  х²-0,09=0;

в)  х²=25;

г)  2х²=50;

д)  3х²-27=0

В заданиях в)-д) учащиеся должны привести уравнение к виду х²-в²=0. Работа с этими заданиями организуется следующим образом:

задание 1) 2 ученика выполняют у доски ( запись ведут с обратной стороны доски), остальные учащиеся оформляют решения в тетрадях. После задания з) учащиеся класса начинают сверять свои записи с записями на доске и указывают ошибки. Задание 2) учащиеся выполняют самостоятельно; при выполнении заданий 3) и 4) учитель просит кого- либо из учащихся комментировать совершаемые действия в процессе решения; двое учащихся оформляют решения заданий 4 г), д) на доске.

С помощью следующих заданий организуется эвристико- алгоритмическая деятельность учащихся. При их выполнении учитель обращает внимание учащихся навыбор рационального пути решения, которому всегда предшествуетанализданного для вычисления или преобразованиявыражения.(«Если поступить так, то получится то- то, а если иначе-то... Какой путь проще?). Как известно, именно результаты анализа - основа получения плана решения.

5)Целесообразно ли преобразовывать выражение, если требуется найти его значение при данных значениях букв?

а)   а²-в²+2вс-с²     при а=11,в=с=24;

б) а²-в²при а=3,в=0,2; а=59,в=41;

в)  а⁴+4а²+4-в² при а=12, в=13;

г)  а²-в²-5а+5в при а=3 , в=1 .

6)Сравните 135787*135789 и 135788²

7)Упростите

а)   (х-1) (х+1) (х²+1);

б)  (2+1) (2²+1) (2⁴+1) (29+1) (2³²+1)

При выполнении этих заданий учитель сам формулирует перед учащимися цель. Он сообщает, что в каждом из выражений необходимо вычислить его значение при соответствующих значениях переменной. Каким же образом лучше вычислить значение выражения, например, в случае а). Надо ли преобразовывать при этом выражение? Учитель обращает внимание на равенство значений в и с. Как изменится вид выражения, если иметь в виду, что значения висравны. Учащиеся вместе с учителем устанавливают, что в этом случае выражение будет иметь вид а², а поэтому не важно, какие значения принимают в и с, лишь бы эти значения были равными. В случае в) выясняется, что лучше преобразовать выражение. Учитель сообщает, что для этого потребуется формула, которую учащиеся не знают, но на следующих занятиях они с ней познакомятся. В случае г) выражение преобразуется к виду (а-в) (а+в-5).

При обсуждении задания 6) учитель обращает внимание учащихся на числа в каждом из выражений и просит выразить каждое из чисел 135787 и 135789, используя 135788. Задание 7а) учащиеся выполняют самостоятельно. Учитель обращает внимание учащихся на сходство и отличие данного и предыдущего выражений.

Выясняется, что во втором выражении «не хватает» множителя (х-1). Учитель предлагает указание: « Чтобы вычислить значение выражения б) умножьте его на множитель (х-1), заменив при этом х на 2» В дальнейшем, если учащиеся будут испытывать затруднения, учитель подсказывает, что для решения задачи удобно воспользоваться формулой разности квадратов.

Далее предлагаемНАБОР ЗАДАЧ, СВЯЗАННЫХ С ПРИМЕНЕНИЕМ ФОРМУЛЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ УЧАЩИМИСЯ

1 БЛОК:Цель заданий этого блока в том, чтобы формировать у учащихся умение применять формулу в стандартных ситуациях. Сначала предлагаются задания, относящиеся к пониманию нами стандартной ситуации в «узком» смысле, а затем в «широком».

1)    Выполните умножение:

а)  43 37; 31 29; 23 17; 37 43;

б)(х+3) (х-3); (2х-1) (2х+1); (10а-3в) (10а+3в); (6а- в) (6а+ в);

в)  (а²-3) (а²+3); (т²+у³) (т²-у³); (а^{3 -} х²) (а³+ х²): (- в⁵- х⁴)(в⁵- х⁴);

2)  Проверьте и объясните результаты:

а) а³-а=а (а-1) (а+1);

в)  (х+а)²-4х²=(х+а-4х) (х+а+4х);

г)  х⁴-у²=( х²-у) ( х²+у);

д)1-144а²=(12а+1) (12а-1);

3) Рационально преобразуйте выражение:

а)  (а+в+с) (а+в-с);

б)  (а+в+с) (а-в-с);

в)  (у²-х+1) (у²+х+1); '

Можете воспользоваться образцом: ( х-у-т) (х+у-т)= ((х-т)-у) ((х- т)+у)=(х-т)²-у².

В этом задании сама формулировка «заставляет» учащихся проанализировать выражение прежде чем, выполнять его преобразование.

2 БЛОК:Цель блока состоит в том, чтобы формировать умение применять формулу в нестандартных ситуациях.

Кроме этого упражнения блока направлены наформированиеу учащихся отдельных учебных умений.Большинство заданий - задачи поискового характера, с помощью которых организуется эвристико- алгоритмическая деятельность учащихся.

Задания 8) и 9) ориентируют учащихся на планирование и рациональную организацию своей деятельности;

задание 9) направлено главным образом на формирование умения осуществлять самоконтроль (прикидка результата), задание 11) - на формирование умения рассуждать.

4)     Представьте в виде произведения: х-х³; х²-y²-х-у; а²-а+2в-4в²; 4а²-(а-3)²;

5)     Найдите множители произведения, если известно, что оно равно:

а) 16х²у²-4;                                      б) 9а²-(а-в)²;

в) т³-4т;                                            г) а⁶в⁶- а⁴в⁴

Указание: воспользуйтесь формулой разности квадратов.

6)   Решите уравнения:

а) 3а²-3=0;                                   б) х-х³ =0;

в) (3a-l)²-(a+3)² 0; г) 4а²-(а-3)²=0; д) а³-9а=0;

7)    Как изменится площадь квадрата, если одну его сторону увеличить на а см, а другую - уменьшить на а см?

(Более «сильным» учащимся можно предложить задачу сложнее. Одну сторону квадрата увеличили на 10%, а другую - уменьшили на 10%. Как и на сколько % изменится его площадь?)

8)       Установите, что больше и на сколько:

а)  38² или 37 39;                                                                         ,

б)  52 64 или 58²;

в)  (1-За) (1+За) или (4-За) (4+За);

г)  231257² или 231258 231256.

9) Можно ли между выражениями поставить знак равенства?

а)  (3+2) (3²+2²) (3⁴+2⁴) и 3⁸-2⁸;

б)  (3+1) (3²+1) (3⁴+1) и 3⁸-1.

10)Может ли разность квадратов двух последовательных натуральных чисел быть числом нечётным?

11)  Дано равенствоа²- а²= а²- а²

Разложим левую и правую части равенства на множители

а (а-а)=(а-а) (а+а). Поскольку множитель (а-а) один и тот же в левой и правой частях равенства, разделим на него обе части. Получим: а=2а.

Согласны ли Вы с таким рассуждением? Указание: свой ответ поясните; укажите, какие способы разложения на множители использованы в этом рассуждении.

                               ФРАГМЕНТ 5

ЦЕЛЬ:ВВЕСТИ ФОРМУЛУ КВАДРАТА СУММЫ ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ. ОРГАНИЗОВАТЬ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧАЩИХСЯ ПО ПРИМЕНЕНИЮ ЭТОЙ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ.

Описание этого фрагмента проведём менее детально, так как организация деятельности учащихся будет осуществляться таким же образом, как и при изучении формулы разности квадратов.

Учитель предлагает учащимся вычислить:

1) а)52²;

б) 72²

Чему равно произведение множителей?

а)  (а-с) (а+с)

б)  (2а-в) (2а+в)

в)  (2а-3с) (2а+3с)

г)  (5-х) (5+х)

Замечание:Учащиеся при выполнении этих заданий в состоянии сразу ответить на вопрос заданий, но сталкиваются с затруднением после того, как учитель изменит знак минус в каждом из множителей на плюс.

2)Верно ли, что:

а) 10²+2 10 5+5²=(10+5)²;

б) (17+3)²=17²+2 *17* 3+3².

3) Как можно записать (а+с)², (5+х)², (2а+с)² в виде произведения двух одинаковых множителей? (Учитель обращает внимание учащихся на задание 1).

После выполнения трёх предложенных заданий учитель вместе с учащимися выясняет, каким выражением может быть заменено выражение (а+в)². Затем он сообщает, что полученное равенство получило название формулы квадрата суммы и обращается к решению задач, предложенных в начале.

Алгоритмическая деятельность учащихся организуется с помощью заданий:

1)    а) Я задумал 2 одночлена. Можете ли Вы задать только один вопрос и, услышав ответ, угадать их?

б) Я задумал двучлен. Можете ли Вы задать только один вопрос и, услышав ответ, угадать его?

2)     Представьте в виде произведения:

а) а²+ав+в²+ав; б) 9а²-6а+1; в) а²-2ав+ в²;

г) 1-2ав+а²+в²; д) а⁴+2а²в+в².

Замечание: в задании 2а) учитель обращает внимание на ещё одно доказательство формулы квадрата суммы.

3)   Представьте в виде многочлена:

а) (4х+3)²; б) (х²+2)²; в) (а³+в³)²; г) (а⁴+1)²

4)    Вычислите:

а)  53²+2 53 47+41²;

б)  41²; в)202²;

5)    Решите уравнения:

а) х²+2х+1 =0;                                               б) (х+3)²=0;

в)  4х²+4х+1=0;                                            г) 4х²+4х+1- (х-2)²=0

Далее организуется эвристико-алгоритмическая деятельность учащихся:

6)    Если нужно, преобразуйте выражение:

а)  3а²+3в²+6ав при а =13,в=-13;

б)  а²+4а²+4-в² при а=12, в=13

в)  9а³в+6а²в²+ав³ при а=1, в=1;

г)  х²-2ху+ у²-в² при х=15, у=13, в=2.

Замечания:Задание 6 б) предлагаюсь при изучении формулы разности квадратов; для преобразования выражения 6 г) необходима формула квадрата разности, которую учащиеся ещё не знают. Учитель может задать вопрос: « При каких значениях переменной не нужно было бы преобразовывать выражение?» (рассматриваются различные варианты, которые предлагают сами учащиеся).

Поскольку учащиеся знакомы с такими заданиями, то лучше, если они будут выполнять самостоятельно.

7) Выясните, что больше:

12713²+127152² или(12713+12715)²

             ФРАГМЕНТ 6

ЦЕЛЬ:ПОКАЗАТЬ, КАК ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ИМЕЮЩИЕСЯ   ЗНАНИЯ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ НОВЫХ.

Учитель предлагает учащимся устно вычислить значение выражения

а³+3а²в+3ав²+в³ при а=20, в=-10.

Учащиеся испытывают затруднение, не зная, как преобразовать выражение и быстро вычислить его значение. Оказывается, существуют формулы, позволяющие вычислить значения подобных выражений, преобразовать выражения к более «удобному» виду, решать уравнения и выполнять многие другие задания. Чтобы получить их, обратимся к формуле квадрата суммы и выведем из неё как можно больше следствий.

Учитель вместе с учащимися проводит анализ выражения (а+в)² и приходит к следующим выводам:

-       рассматривая сумму а+в, мы под аивимеем в виду произвольные алгебраические выражения;

-         используя понятие алгебраической суммы, к виду а+в мы можем привести и разность алгебраических выражений: т-р=т+(-р);

-             так как а и в в сумме - произвольные алгебраические выражения, то к рассматриваемому виду можно привести и алгебраическую сумму с числом слагаемых, большим двух: x+y-z=(x-z)+y;

-                    если изменить показатель степени в выражении (а+в)², то способ преобразования полученного выражения в многочлен нам известен.

Можно ли использовать эти выводы для получения новых формул? И если можно, то как? Происходит обсуждение некоторых возможностей использования полученных выводов:

1)     Что произойдёт, если выражения аивзаменить на другие?

Каждый из учащихся «берёт» вместо а или в какое-нибудь выражение. Допустим, (ат+в)²=а²т²+2атв+в². Найденная формула неинтересна, поскольку новой информации она не несёт.

2)Заменим показатель степени в выражении. Пусть новый показатель равен 3. Получим выражение (а+в)³.

Учитель просит учащихся указать, как преобразовать эту степень в многочлен. Используя формулу квадрата суммы, можно записать данное выражение так: (а+в)³=(а+в)² (а+в)=...=а³+3а²в+3ав²+в³. Учитель сообщает, что выведенная формула получила названиекуба суммы. Обсуждается вопрос, как получить формулу куба разности.

3)            Теперь увеличим число слагаемых в выражении, степень которого находим. После преобразований получаем формулу, которой удобно пользоваться, если слагаемых в выражении больше двух.

(а+в+с)²=((а+в) +с)²=. .. =а² +в²+с²+2ав+2ас+2вс.

Таким  образом,  осуществляется  работа с тремя полученными выводами.

Учитель возвращается к заданию, предложенному в начале. Одного из учеников он просит объяснить, как удобно подсчитать значение данного выражения и какой формулой для этого воспользоваться.

Далее учащимся предлагаются задания, работа с которыми организуется так же, как и при изучении формулы разности квадратов.

1)   Представьте многочлены в виде куба суммы или разности:

а)   1+3а+3а²+а ³;

б)х³+12х²+6х+8;

в)  8а³+12а²в+6ав²+в³

в виде квадрата суммы выражения:

а)  а²+4в²+9с²+4ав+6ас+12вс;

б)  а²+в⁴+с⁶+2а²в²+2в²с³+2а²с³

2)     Верно ли, что:

а)  (3+а)³=27+3а+9а²+а³;

б)  (а+2)³=а³+6(а+1)²-2;

в)  7³+9 7²+27 7+27=1000;

г)  (а+в)²+(в+с)²+(а+с)²+2ав+2вс+2ас=2 (а²+в²+с²)

3)    Равны ли значения выражений: (71+46+13)² и 71²+46²+13².

4)     Зная, что а+в+с=0, а²+в²+с²=1 найдите ав+вс+са.

Замечание:Учитель обращает внимание, что при выполнении заданий 3) и 4) необходимо воспользоваться формулой квадрата суммы выражений.

НАБОР ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ НА ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛ КВАДРАТА (КУБА) СУММЫ ВЫРАЖЕНИЙ.

Разбиение задач на блоки происходит так же, как и в предыдущих случаях.

1 БЛОК:

1) Выполните умножение: а)       21²; 42²; 101²; 11³;21³; 31³

б)  (ав+7)²; (х+1) (х³+3х²+3х+1); (а+в+с)²

Последующие задания направлены наформирование умения анализировать, контролировать свою деятельность.

2)     Проверьте истинность равенств:

а) (х+у)²=(-х-у)²;                                   б) (x+y+z)²=(x+y)²+(y+z)²+(x+z)²;

в)  (а+х+у)²=(а+х)²+(а+у)²;               г) (2а+в+с)²=(2а+в)²+с(с+2а+2в);

Замечание:Учитель обращает внимание на то, что изменение знаков каждого из одночленов не приводит к нарушению равенства (а+в)²=а²+2ав+в² (задание 2а).

3)      Угадайте, какое выражение надо поставить вместо «?»:

а)  (3х+?)²=9х²+?+4а²;

б)  (х+ ?)³=х³+ 12ах²+?+?;

в)  (у+?+?)²=?+?+?+12у+ 12а+?;

г)  (?+к)³= ?+3кр²+?+?

4)     В данном выражении измените один из коэффициентов так, чтобы получившийся трёхчлен можно было представить в виде квадрата двучлена:

а) 49а²+8ав+в²; б) 25х²+ху+4у²; в) 49р²+14р+6; г) 1бх²+15ху +у²

Образец: Дано выражение 9а²+10ав+в². Изменив один из коэффициентов, будем иметь: 9а²+6ав+в²=(3а+в)², или 25а²+10ав+в²=(5а+в)²,

или 9a²+10aв+25/9* в²=(3a+5/3*в)².

2 БЛОК:

5)     Представьте в виде произведения многочлены: ах²+2аху+ау²; 5а²+10ав+5в²-а-в; 4-а²+2а (4-а²)+а² (4-а²).

6)    Решите уравнения:

а)  2х²+16х+32-(х+4)³=0;

б)  (х+2)³-(х+2)⁴+х²+4х=0;

Указание: воспользуйтесь способом вынесения общего множителя за скобки.

7)   Как изменится площадь квадрата, если каждую его сторону увеличить на в см?

8)     Определите, что больше:

а)  (1315+1316)² или 1315²+1316²;

б)  (12+21+35)² или (12+21)²+(21+35)²+(35+12)²;

в)  (18+32+54)² или (18+32)²+(18+54)²;

г)  9+24а+16сУ или 9+30а+25а², если а>0.

9)   Докажите тождество:

(а+в+с)³=а³+в³+с³+3 (а+в) (в+с) (с+а)

Замечание:Задание 8) направлено на рациональную организацию деятельности учащихся.

                     ФРАГМЕНТ 7

ЦЕЛЬ:ВВЕСТИ ФОРМУЛУ КВАДРАТА РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ. ОРГАНИЗОВАТЬ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧАЩИХСЯ ПО ПРИМЕНЕНИЮ ЭТОЙ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ.

Учащимся предлагается найти значения переменной, при которых выражение (2x) ² -2 *2х *15+15² обращается в ноль.

Перед выполнением данного задания учащиеся должны преобразовать выражение. Используя формулу квадрата суммы, они получают выражение (2х+15)². Далее учащиеся могут воспользоваться уже известным приёмом и решить уравнение (2х+15)²=0.

Затем учитель изменяет знак перед удвоенным произведением первого числа на второе на противоположный. Далее  учитель просит учащихся выполнить то же самое задание. Они осознают, что их знаний о способах разложения на множители недостаточно для преобразования этого выражения. Требуется новая формула. Учитель сообщает, что для вывода новой формулы можно использовать уже известную формулу квадрата суммы. Как, используя эту формулу, получить новую, с помощью которой можно будет преобразовать в произведение выражение а²-2ав+в²? Учитель делает на доске следующую запись:

(а+в)²=а²+2ав+в²;

... =а²-2ав+в²

и предлагает учащимся сравнить правые части написанных равенств, а также подумать, какое выражение может «стоять» в левой части второго равенства. Учащиеся приходят к равенству (а-в)²=а²-2ав+в² (если запись левой части равенства вызвала у учащихся затруднение, то его записывает сам учитель), а затем доказывают его самостоятельно. В процессе обсуждения различных способов доказательства этого равенства учитель обращает внимание:

1)   что доказательство можно проводить как «слева направо», так и «справа налево»;

2)   на один из выводов при рассмотрении формулы квадрата суммы (см. фрагмент 6) и предлагает им воспользоваться.

Итак, для доказательства второго равенства учащиеся могут использовать способ группировки, формулу квадрата суммы или правило умножения многочлена на многочлен. Учитель сообщает, что доказанное равенство получило название формулы квадрата разности.

Затем учитель возвращается к задаче, предложенной в начале. Учащиеся решают её, используя полученную формулу.

С помощью следующих заданий организуется алгоритмическая и эвристико-алгоритмическая деятельность учащихся.

1)Из  пяти  выражений  (а-1)², (а-2)^2, (а-3)², (а-4)², (а-5)^2,

Выбрали  два,  выполнили  возведение  в  квадрат  и  нашли  сумму  трехчленов,  получилось  2а ²-10а+7. Какие  выражения  выбрали?

2)Выведите  формулу (-а+в)².  Следует  ли  ее  считать  новой?

3)а)Представьте  в  виде  квадрата  двучлена:

а ² – 4ав +4в²; х²-ха+а²

б) выполните  умножение:

(-5х-у)(5х+у); (5х+у)(у-5х); (-5х-у)(-у+5х); (5х-у)(у-5х); (5х+у)(-5х-у)

4)Замените * одночленом  так,  чтобы  полученный  трехчлен можно  было  разложить  на  множители:

16р²-2р+*;  36-12а+*; *-36ав+*

Указание:  последнее  задание  попробуйте  выполнить  разными  способами.

5)Можно ли представить выражение в виде квадрата двучлена?

36а²-8ав+в²; 25х²-ху+4у²

Указание: используйте два варианта: изменение одного из коэффициентов одночлена или изменение знака перед одночленом в указанной сумме.

6)Что больше: (8104-3249)² или (3249+8104)²? Почему?

Выполнение этих заданий организуется следующим образом: 2 человека работают у доски, остальные - оформляют решения в тетрадях. Возможность применения той или иной формулы наблюдаются лишь после изменения знака. Задание 6 направлено на анализ структуры выражений в формулах квадрата разности и квадрата суммы.

       ФРАГМЕНТ 8

ЦЕЛЬ: ПОКАЗАТЬ,  КАК ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ИМЕЮЩИЕСЯ ЗНАНИЯ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ НОВЫХ  ЗНАНИЙ.  

В этом фрагменте обратим внимание учащихся на процесс самостоятельного приобретения знаний. Описание этого фрагмента будет «кратким», так как он построен по аналогии с фрагментом 6.

В большей степени указания учителя направлены на самостоятельную организацию каждым учащимся своей деятельности.

Учащимся предлагается следующее задание: вычислите значение дроби. Дробь  должна  удовлетворять  следующим  критериям.  Для преобразования выражения, стоящего в числителе, можно воспользоваться способом вынесения общего множителя за скобки; выражение в знаменателе громоздкое, и учащиеся осознают, что ни одну из известных формул для его преобразования они использовать не могут. Учитель произносит: «Поставим цель нашей дальнейшей деятельности: вывести новые формулы». Обращаясь к учащимся, он выясняет, как достигается эта цель. При этом учитель напоминает о выводах, касающихся формулы квадрата суммы (см. фрагмент 6) и предлагает учащимся провести аналогичные рассуждения для достижения цели деятельности, используя формулу квадрата разности.

Учитель вместе с учащимися проводит анализ выражения (а-в)² и приходит к выводам, описанным во фрагменте 6. Далее учитель организует самостоятельную деятельность учащихся, предлагая следующие указания:

1.    Можно ли использовать полученные выводы? Каким образом? Можно ли увеличить показатель степени выражения (количество слагаемых) и на сколько?

2.     Используя полученные выводы, выведите соответствующие формулы. Установите, какие из них являются новыми?

3.    Проверьте справедливость формул «справа налево».

Учащиеся возвращаются к заданию, предложенному в начале, решают его.

После этого происходит небольшаяобобщающая беседав виде сообщения учителя: «Вся наша деятельность была направлена на получение нового знания в виде формул. Эти формулы вы «открывали» сами, «проходя» последовательно через этапы: сначала поставили цель деятельности: вывести новые формулы; затем выяснили, каким образом эту цель можно достичь; сформулировали соответствующие выводы, применили их и получили новые формулы; в конце - проконтролировали выполненную деятельность. Оказывается,процесс приобретения любого нового знания включает перечисленные этапы.

Затем учащимся можно предложить следующие задания с целью: начать работу по закреплению полученных формул.

1)   Вычислите:

13³-3 13² 11+13 11²-11³; 27-27а+9а²-а³ при а=3;

2)   Представьте в виде многочлена выражения:

(х²-х-1)²; (2а²+а+1)²; (а+2в-3с)²; (х²-а⁴)³

3) Можно ли вписать пропущенные выражения так, чтобы получились верные равенства

а) (х+?)³=х³+12ах² +?+?; в) (?+у)³ =а³+?+?+?;

б) (а-?)³=?-?+3ав⁴-?; г) (2х²-?)³=?-?+27x²-?

Доп. задание: желающие могут предложить свою загадку.

Замечание: В качестве домашнего задания учащимся можно предложить преобразовать следующие выражения в многочлены: (-в+а)³, (-в-а)³, (в- а)³,

(-а+в-с)², (-а+в+с)², (-а-в-с)² и выяснить, какие преобразования можно признать новыми?

Взаключениеописанияметодики работыпо изучениюспособов разложенияалгебраических выраженийна множители,в том числе и формул сокращённого умножения, приведем набор задач на применение указанных способов для самостоятельного решения учащимися. Отметим, что в описаниях предложенных фрагментов не рассматривались формулы суммы и разности кубов, поскольку считаем возможным организовать деятельность по их введению и применению аналогичным образом.

1 БЛОК:Цель заданий этого блока в том, чтобы формировать у учащихся умение применять формулы в стандартных ситуациях.

1) Вычислить удобным способом:

а)  13³- 3* 13²+3* 13* 11²-11³; 91²; 79²; 0,658²-0,342²; 61* 59; 50²;31³; 103³; З9³; 53²-23²; 0,6 *0,8+0,6*1,2;

537²-533²; 13²-14* 12

б)        х²-77х+122 при х=78; 5а³-125ав² при а=17,5, в=3,5

2)Докажите,  что (16⁵+2¹⁵):33;  (125²+3*125):4

3)Верно  ли  равенство:

(а+1)³-(а+1)=а(а+1)(а+2)

Замечания: 

Перед  выполнением  задания  1а) учащиеся  должны  каждый  раз  проанализировать  структуру  выражения  и  воспользоваться  соответствующей  формулой; 

 в задании  1б) учащиеся  не  смогут преобразовать выражение х²-77х+122, но, подставив вместо неизвестного данное число, могут использовать способ вынесения общего множителя за скобки для первых двух слагаемых:

78 ²-77 78+122=78 (78-77)+122=78+122=200;

2 БЛОК:Цель блока состоит в том, чтобы формировать умение применять способы разложения на множители в нестандартных ситуациях.

4)Среди данных выражений найдите пары тождественно равных и запишите соответствующие тождества (не выполняя преобразований):

(х-2у)², 5(х-2у)², 25(х-2у)², (5х-10у)², 1\25(5х-10у)²

5)                Какой многочлен надо записать вместо * чтобы выполнялось равенство:    (х²-4х+3) *  =х³-3х²-х+3

6)  Докажите, что сумма кубов 1713 и 3287 оканчивается тремя нулями.

7)    Решите уравнение:х³+2х²-х-2=0.

8) Найдите число, квадрат которого при увеличении этого числа на 2 увеличивается на 20.

6.НЕКОТОРЫЕ  РЕЗУЛЬТАТЫ  ОПЫТНОЙ  ПРОВЕРКИ  РАЗРАБОТАННОГО  УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОГО  ПОСОБИЯ

Реализуя  описанную  методику,  особое  внимание  было  обращено  на  формирование  у  учащихся  умений  выполнять  анализ  имеющейся  ситуации и  в  соответствии  с  его  результатами планировать свою деятельность. Поэтому с помощью соответствующих заданий были специально организованы такие ситуации, в которых учащиеся получали возможность самостоятельно приобретать новые для них знания.

Как мы отмечали ранее, чтобы следить за процессом формирования у учащихся указанных умений, в начале нашей работы учащиеся класса были распределены на группы, поставив каждой из них в соответствие определённый уровень сформированности умений.

В процессе работы с материалом темы «Разложение многочленов на множители» мы следили за изменением уровня для каждой из групп (и для каждого отдельного ученика). Выводы о таком изменении были сделаны, анализируя результаты диагностирующих работ (промежуточных и итоговой), тексты которых составлялись по аналогии с текстом РАБОТЫ №1.

Имея в виду эти результаты, мы устанавливали, во-первых, владеют ли учащиеся выделенными выше умениями, и, во-вторых, произошло ли изменение уровня их сформированности.

Приведём тексты двух работ.

РАБОТА 2

                 Вычислите:

а)  2,4* 3,5+(6, 5 *0,8) *3;

б)х²-27х+72при х=28;

в)  169 *15+18* 231+ 18* 169+ 15* 231;

г)  3а²-3ах-7а+7х при а=5 , х=10

В задании г) выясните, какое значение х «удобно брать» при данном значении а?

                    Составьте план для решения задачи. Решите её.

0,9* 0.6-0,1* 0,5-0.9*0.5+0.1*0.6 0,62-0,5 *0,6

РАБОТА 3

1.    Вычислите:

а)   19,9* 20,1;                     в) (19 )²-18 *20 ;

б) а³+а²в-ав²-в³ при а =7,37, в =2,6

2.     Проверьте истинность равенств. Если нужно, укажите ошибки.

а)  (3+5)-²=3-²+5-²;

б)  335²+336²=(335+336)²;

в)  0²+0²= (0+0)²; г) х²+у²=(х+у)²

3.       Что больше и на сколько?

(f-g)²или (f+g)²; 16157² или 16156 * 16158.

Учитывая результаты трёх диагносцирующих работ, был установлен  характер изменения в распределении учащихся по группам. Подчеркнём, что распределение по группам соответствует определённому уровню сформированности умений, при этом в третью группу объединяются учащиеся, обладающие обоими умениями.

Количественный и качественный  анализ результатов диагносцирующих работ свидетельствует:

1)   изменение уровней овладения умениями анализировать и планировать свою деятельность наблюдалось у большинства учащихся;

2)   незначительные изменения произошли в третьей группе, а в первой и во второй группах изменения оказались существенными.

Дальнейшее внедрение методики (проведение работы по изучению формул сокращённого умножения) привело к существенным изменениям: «сдвиг» с нулевого уровня на 1-й произошёл у12 человек; с 1 уровня на 2-й - у 6-х человек.

В целом, в результате внедрения предложенной методики, на нулевом уровне сформированности выделенных умений в данном классе остались 3 человека из  25  обучающихся.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Тема «Разложение многочленов на множители» занимает важное место  в Федеральном компоненте государственного образовательного стандарта  основного общего образования по  математике.

  Основная цель – выработать умения выполнять разложение многочленов на множители различными способами и применять формулы сокращенного умножения для преобразований алгебраических выражений.

 При изучении данной темы рассматриваются такие способы разложения на множители, как вынесение общего множителя за скобки, группировка, использование формул сокращенного умножения. Особое внимание следует уделить темам «Способ группировки» и «Применение нескольких способов разложения на множители» как традиционно трудным, но необходимым для подготовки к изучению темы «Алгебраические дроби».

Данный  материал  является базой  для  изучения  не  только  для  изучения разных  тем  по  математике,  но  и  для  физики  и  др. предметов.

Тема  пособия  очень  актуальна  для  большинства  педагогов  и  обучающихся  особенно  в  условиях  введения  новых  ФГОС. 

Поэтому  данное  учебно-методическое  пособие  может  быть  востребовано  и тиражировано для широкой  аудиторией  педагогов  общеобразовательных  школ,  при  этом  оно  принесет  несомненную  пользу  не  только  учителям  математики 7-х классов,  но  и любых с  5го по  11 классы,   а  также учителям других  предметов. 

Результаты опытной проверки (параграф №6) показали,

во-первых,что внедрение предложенной методики работы, направленной на активизацию деятельности учащихся при изучении конкретного отрезка учебного материала, оказало положительное влияние на обучающихся. Оно проявилось в следующем:

-        учащиеся стали активнее вести себя на уроках; испытывать чувство радости, удивления после выполненного задания («Как всё просто»), задавать вопросы «по существу», уточнять ответы товарищей, следить за выполнением задания на доске и указывать ошибки. Всё это свидетельствует о том, что у учащихся появился интерес к учению.

перед осуществлением деятельности, направленной на усвоение нового знания, учащиеся пытаются в начале работы поставить перед собой цель деятельности, а затем приступают к анализу ситуации, чтобы ответить на вопрос: «Как эту цель достичь?».

Привыполнении заданий учащиеся стали не только применять изучаемые способы разложения на множители, но и целенаправленно осуществлять их выбор, то есть каждый раз анализировать и сравнивать предложенные ситуации;

не просто решать задачу, указанную учителем, приобретая нужные навыки и умения, а рассматривать условия, в которых возникает задача данного типа, намечать план её решения.

Полученные выводы отражают динамику познавательного процесса и свидетельствуют, что в процессе организованной работы происходит формирование некоторых умений, без которых невозможна деятельность по самостоятельному приобретению знаний.

Во-вторых,было  сформировано  четкое  убеждение, что аналогичную работу целесообразно предлагать учащимся и в последующих разделах школьного курса математики.

Итак,результаты апробирования учебно-методического пособия  дают основания для вывода о том, что его задачи решены и цель достигнута.