Образовательный портал

Методические особенности введения
понятия модели и ее структуры

На сегодняшний день большое значение имеют требования к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования. Так, требования к познавательным УУД, предполагают сформированность умения создавать, применять и преобразовывать знаки и символы, модели и схемы для решения учебных задач, а также первоначальные представления о средстве моделирования реальных ситуаций.
Все эти метапредметные умения необходимо начинать формировать уже в 5-6 классах, когда имеется возможность предлагать учащимся задачи, целенаправленно способствующие развитию определенных сторон мышления, а именно: умению анализировать, синтезировать, обобщать и конкретизировать, а также работать с моделями, с разными способами представления информации. Метапредметные УУД сзязаны с межпредметными понятиями, в том числе с моделью и моделированием.
Из анализа учебников и констатирующего эксперимента можно сделать вывод, что представление учащихся о «моделировании» и «моделях» весьма неясное. Ученики часто даже не подозревают, что имеют дело с моделями, так как в учебниках понятия «модель» и «модели­рование» почти отсутствуют, хотя одна из основных целей обучения математике продемонстрировать одну из основных функций математики – математическое моделирование явлений разных областей окружающего мира. Процесс  математического моделирования лежит в основе решения сюжетных задач, поэтому учащихся целесообразно обучать элементам моделирования уже в 5-6 классах при работе с сюжетными задачами.
Ученикам необходимо понимать эту функцию математики, явно выделять и уметь критически рассматривать уже построенные модели, а также конструировать свои.
Рассмотрим методические особенности введения понятия модели и ее структуры, он включают несколько этапов:

1. Введение понятия модели и этапов моделирования;
2. Ознакомление со структурой модели;
3. Ознакомление с видами моделей.

Рассмотрим каждый из них по отдельности.

1. Этап. Введение понятия модели и моделирования.

При проведении констатирующего эксперимента учащимся предлагалось ответить на следующий вопрос: «Что такое модель объекта?».
Результаты эксперимента показали, что ученики дают неправильное описание модели, поэтому учителю необходимо организовать обучение школьников понятию модели. Но поскольку, обобщенное определение модели объекта, предложенное Ю. Гостевым (§1 Глава 1), очень сложно для понимания школьников, то целесообразно ввести понятие модели через ознакомление учащихся  с критериями модели.
Модель объекта – это заместитель объекта, удовлетворяющий следующим критериям:

• модель объекта выбирается в соответствии с определенной целью;
• в модели должны быть представлены все существенные для цели свойства объекта;
• модель объекта допускает не одну интерпретацию;
• модель объекта должна быть представлена в материальной или материализованной форме.

Ученикам, предлагается рассмотреть каждый из критериев через выполнение заданий, описанных ниже.
Задание 1 (выявление субъектного опыта учащихся):
Выберите рисунки, на которых изображены модели объектов.

 
Уже при выполнении этого задания начинается формирование объема понятия «модель объекта» (все те объекты, которые принадлежат данному понятию).
Задание 2:


Почему для одного и того же объекта существуют разные модели? 
С учениками выясняем, что они созданы для разных целей, например, глобус создан с целью показать форму Земли. Физическая карта - с целью показать все характерные особенности определенной территории – рельеф, транспортную сеть, расположение населенных пунктов и их названия, моря, океаны, озера и реки, растительность, полезные ископаемые и т.д. Политическая карта - с целью отразить все страны мира  и их столицы, а также форму управления государств.
Задание 3:


Все эти объекты являются моделями задачи.
Почему существуют разные модели задачи?
А существуют они потому, что они создаются с разными целями:

• Краткая запись создана с целью выделить основную информацию в задаче, выделить условие и требование, т.е. известное и неизвестное, отношения между величинами.
• Поисковая схема создана с целью составления плана решения задачи.
• Решение задачи создано с целью нахождения ответа на вопрос (требование) задачи.

Отсюда у нас и вытекает первый критерий: «Модель объекта выбирается в соответствии с определенной целью».
Так как моделирование – это действие универсальное, то мы в своей работе приводим примеры не только из математики, но и из других предметов.
Задание 4:
Чем отличаются модели Земли?

• Глобус – это объемная модель, а карта – плоская модель.

• Географические объекты, их площади и расстояния между ними передаются на глобусе  в определенном масштабе без значимых искажений, в отличие от изображения на карте (в силу ее плоской формы).
• На глобусе изображена вся земная поверхность (страны, материки, части света, моря, океаны, реки и озера), а на физической карте еще и различные особенности определенной территории – рельеф, транспортная сеть, растительность, полезные ископаемые и т.д., на политической карте же отражены все страны мира  и их столицы, а также форма управления государств.

Получается, что выбирая модель объекта, необходимо отразить в ней те свойства, которые будут важны для достижения поставленной цели. Отсюда у нас и вытекает второй критерий: «В модели должны быть представлены все существенные для цели свойства объекта».
К любому объекту и любому его свойству можно подойти совершенно по-разному. Вот представьте, вы пишете объявление в газету: «Продаются старые часы, которые спешат» или же «Продаются чудесные старинные часы». Не правда ли, звучит совершенно по-разному?! Вероятно, если в газете появится первая формулировка, то их вряд ли кто-то купит, уместнее будет звучать в данной ситуации вторая  формулировка. Т.е. выделение свойств объекта зависит от цели, с которой мы создаем модель.
На освоение второго критерия ученикам можно предложить следующее задание:

1.  

Какие свойства объекта отразились в данной модели? (Например, форма, цвет). Для какой цели может быть создана данная модель? (Например, определить, сколько дынь поместится в ящик).
      d.

Какие свойства объекта отразились в данной модели? (Например, числовые данные).
Для какой цели создана данная модель? (выделить основную информацию в задаче, выделить условие и требование, т.е. известное и неизвестное).
Задание 5:
Составьте уравнение к следующей задаче и решите его:
В коробке красных шаров было в 7 раз больше, чем синих. А зелёных шаров на 10 больше, чем синих. Сколько шаров синего цвета было в коробке, если всего в коробке было 100 шаров?
В результате поиска ответа на вопрос (требование) задачи школьники получат следующее уравнение:
x + 7x + (x + 10) = 100
x = 10
Что означает выражение x = 10 в данной задаче? (это значит, что в коробке было 10 синих шаров).
Можно ли придумать к уравнению x + 7x + (x + 10) = 100 другую задачу? (Да).
Предлагается придумать другую задачу к этому уравнению.
Что означает выражение x = 10 в придуманной задаче?
Получается, что уравнение x + 7x + (x + 10) = 100 – это модель какой-то ситуации,  и для нее можно придумать разные интерпретации (толкования). Она создана с целью нахождения ответа на вопрос (требование) задачи. Такую модель будем называть моделью решения задачи.
Вывод: записывая разные интерпретации (толкования) компонентов уравнения, мы получаем модели разных объектов.
Задание 6:
В бассейн проведены две трубы, одна наполняет, а другая опустошает. Первая труба за 4ч заполняет бассейн, а вторая – за 6ч опустошает. За сколько часов наполнится бассейн?
Решение. Изобразим следующую схему к задаче:

Эта модель создана с целью составления плана решения задачи. Будем называть ее моделью поиска решения (поисковой схемой).

Эта модель создана с целью нахождения ответа на требование (вопрос) задачи. Будем называть ее моделью решения задачи.
Задание 7 (*):
Составлена смесь из конфет трех сортов, всего 85 кг. Конфет 1-ого и 2-ого сорта взято поровну. 1 кг конфет 1-ого сорта стоил 60 р., 1 кг конфет 2-ого сорта – 45 р., 1 кг 3-его сорта – 40 р., а вся смесь стоила 3900 р. Сколько было конфет каждого сорта?
Решение. Изобразим следующий рисунок к задаче:

S_фигуры – 3900 р.
S₀ – стоимость всех конфет, если бы они были 3 сорта.
Этот  рисунок является моделью задачи, он создан с целью выделить основную информацию в задаче, выделить условие и требование, т.е. известное и неизвестное. Будем называть такую модель – моделью текста задачи (вспомогательной моделью или краткой записью).

1. 40 · 85 = 3400 (р.) – стоимость всех конфет, если бы они были 3 сорта.
2. 3900 – 3400 = 500 (р.) – разница между стоимостью смеси и стоимостью всех конфет,  если бы они были 3 сорта.
3. 45 – 40 = 5 (р.) – разница между ценой конфет 2-ого и 3-его сорта.
4. 60 – 40 = 20 (р.) – разница между ценой конфет 1-ого и 3-ого сорта.
5. 20 + 5 = 25 (р.) – настолько отличается цена конфет 1-ого сорта от 3-его.
6. 500 : 25 = 20 (кг) – количество конфет 1 сорта и количество конфет 2 сорта (т.к. конфет 1-ого и 2-ого сорта взято поровну).
7. 3900 – (20 · 45 + 20 · 60) = 1800 (р.) – стоимость конфет 3 сорта.
8. 1800 : 40 = 45 (кг.) - количество конфет 3 сорта.

Ответ: 20 кг, 20 кг, 45 кг.
Эта модель создана с целью нахождения ответа на требование (вопрос) задачи. Будем называть ее моделью решения задачи.
Вспомогательная модель (модель текста) задачи может быть представлена в различных видах - в виде схемы (отрезочной и двумерной диаграммы), в виде таблицы, в виде рисунка.
Изобразим к заданию 7 следующую таблицу:

Это тоже модель текста задачи (вспомогательная модель). Т.е. мы к одной и той же задаче составили две разные вспомогательные модели.
Модель, которая будет записана на языке математики (т.е. уравнение или последовательность арифметических действий), будем называть математической моделью.
Рассмотрим глобус. С одной стороны, его можно рассматривать, как модель Земли, а с другой стороны – как модель шара.

Вывод: одна и та же модель может иметь разные интерпретации (толкования).
Отсюда у нас и вытекает третий критерий: «Модель объекта допускает не одну интерпретацию».
Так же на освоение данного критерия можно предложить такое задание:                                            

1. Придумайте две различные задачи, ответ на требование (вопрос) которых   может быть найден с помощью уравнения 7x +  x = 128.
2. Какое толкование имеет неизвестная переменная x в первой задаче.
3. Какое толкование имеет неизвестная переменная x во второй задаче.

Вернемся к заданию 1. Ученикам предлагается исправить ручкой другого цвета, свои ответы, если считают нужным (рефлексивны этап).
Заметим, что мысленный образ дома (рис. 13) не относится к модели, поскольку это нечто родившееся в мозгу человека, оно мимолетно, неустойчиво, постоянно меняется  (отдельные черты предмета, события выпадают), недоступно другому человеку, а все остальные объекты являются моделями объектов.
Отсюда и вытекает четвертый критерий: «Модель объекта должна быть представлена в материальном или материализованном виде». Иными словами, модель можно потрогать или увидеть.

1. Этап. Ознакомление со структурой модели.

Рассмотрим две задачи и составим к каждой из них уравнение (математическую модель):

1. Когда Маша пригласила к себе гостей отведать вкусного чая, Даша принесла в 3 раза больше конфет, чем Саша. Сколько конфет принесла Даша, если всего они принесли 80 конфет?
2. Пицца и булочка стоят 80 рублей. Сколько стоит пицца, если булочка в 3 раза дешевле пиццы?

Уравнение к задаче 1	Уравнение к задаче 2
3x + x = 80	3x + x = 80

Мы получили уравнение 3x + x = 80, с помощью которого можно найти ответ на требование (вопрос) задачи 1 и задачи 2. Так вот, для того чтобы определить, ответ для какой именно задачи может быть найден с помощью этого уравнения, модель, кроме содержательного компонента включает и описательный компонент.

Задача 1	Задача 2
Описательный компонент: x шт. – конфет принесла Саша 3x шт.– конфет принесла Даша (x + 3x) шт.– конфет принесли Саша и Даша вместе Содержательный компонент: 3x + x = 80	Описательный компонент: x р.– стоимость булочки 3x р.– стоимость пиццы (x + 3x) р.– стоимость булочки и пиццы вместе Содержательный компонент: 3x + x = 80

Задание 1:
Одна бригада может выполнить работу за 3 дня, а другая – за 6 дней. За сколько дней две бригады выполнят ту же работу вместе?
Строим вспомогательную модель задачи.

• Какой процесс описывается в задаче? (работа)
• Какие величины в задаче? (производительность труда, время, работа)
• Какими отношениями связаны эти величины? ( A = v · t)

Примем всю работу за 1 и заполним таблицу:

	v	t (дни)	A
1.	?	3	1
2.	?	6	1
Вместе	?	?	1

Как найти производительность труда, если нам известна работа и время?
Строим модель поиска решения (поисковую схему):

Строим модель решения задачи:
 
Что является описательным и содержательным компонентов модели решения задачи?

1. Этап. Ознакомление с видами моделей.

Задание 1:
Модели каких объектов представлены?
«В пяти одинаковых корзинах 20 кг персиков. Сколько килограммов персиков в 8 таких корзинах?». Модели:

1.  

Масса персиков в одном корзине одинаковая	Количество корзин с персиками	Общая масса
	5	20
	8	?

     
        b,

       c. (20 : 5) · 8 = 32 (кг) масса персиков в восьми корзинах.
       d. Пусть х – масса персиков в одном корзине, тогда 5x – масса персиков в пяти корзинах, 8x – масса персиков в восьми корзинах.
           5x = 20
           x = 4
           4 (кг) – масса персиков в одной корзине.
           4 · 8 = 32 (кг) - масса персиков в восьми корзинах.
       e.
             f. 20 : 5 = 4 (кг) – масса персиков в одной корзине.
            4 · 8 = 32 (кг) – масса персиков в восьми корзинах.
Вывод: тут представлены модели текста задачи и модели решения задачи. Получается, что для одного и того же объекта модели могут быть разные, т.е. разных видов. Давайте их рассмотрим.
По природе происхождения модели делятся на два класса, изобразим их в виде схемы:


Знаково-символьные модели в свою очередь делятся еще на два класса:


Вернемся к заданию 1 и ответим на вопрос, к какому из рассмотренных видов моделей (материальная, образно-иконическая или знаково-символьная модель), относится каждая модель?
 

You have no rights to post comments