Сценарий урока по алгебре в 9 классе
Перестановки и их применение в решении комбинаторных задач
Петухова Ирина Юрьевна
Цели урока:
1.Формирование у обучающихся представлений о способах и методах математического описания реальных процессов и явлений.
2.Содействовать развитию вычислительной культуры школьников.
3.Способствовать овладению школьниками навыками математического моделирования.
Формируемые компетенции:
- способность строить и преобразовывать математические модели жизненных (бытовых) процессов;
- способность анализировать совокупности однородных объектов;
- способность к построению логических умозаключений.
средний; для общеобразовательных классов.
Условия применения :
- наличие у обучающихся опыта изучения элементов комбинаторики в 5-8 классах;
- использование учебника алгебры авторов Макарычева Ю.Н. и др.;
- достаточный уровень мотивации обучающихся к изучению математики
Возможные риски:
- несформированность навыков аналитического мышления у обучающихся;
- непонимание обучающимися математики как науке о методах познания окружающего мира, что может проявиться в «развлекательном» восприятии комбинаторных задач;
- данный раздел («Комбинаторика») в школьной математике введен недавно, у многих учителей нет должного опыта его преподавания, методы изучения нового материала могут быть исполнены не полностью, фрагментарно.[1]
1.Составьте все возможные комбинации (выборки) из трех учеников Иванов, Петров, Сидоров по два элемента в каждой выборке.
Уч-ся: Иванов и Сидоров; Иванов и Петров; Сидоров и Петров.
Учитель: 2.Если объект А можно выбрать х способами, а объект В – у способами, то сколько способов существует для выбора объекта А и объекта В одновременно?
Уч-ся: х+у
Учитель: 3.Из города А в город В ведут три дороги, а из города В в город С ведут четыре дороги. Сколько различных вариантов маршрутов из города А в город С можно составить?
Уч-ся: 12.
Учитель: 4.Имеются три цифры : 2, 5 и 7. Сколько различных двухзначных чисел можно составить из этих цифр без повторения их в записи числа?
Уч-ся:6
Учитель: 5. Имеются три цифры : 2, 0 и 7. Сколько различных двухзначных чисел можно составить из этих цифр без повторения их в записи числа?
Уч-ся: 4
Учитель: Почему в этом случе ответ отличается от предыдущего примера?
Уч-ся: Числа с 0 не начинаются.
Учитель: Хорошо. 6.При встрече 10 человек обменялись фотографиями. Сколько потребовалось фотографий?
Уч-ся: 90.
Учитель: 7.При встрече 10 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?
Уч-ся: 45.
Учитель: Почему в этих двух случаях разные ответы?
Уч-ся: Потому что во втором случае нет повторений взаимодействия людей.
Учитель: В какой форме могут быть построены математические модели? Ваши варианты?
Уч-ся: в форме таблицы; в форме выражения; в виде формулы; в виде графика; в виде уравнения; в виде неравенства; в виде схемы или чертежа.
Учитель: в конце занятия вернемся к этому и проанализируем какие математические модели мы будем использовать в течении урока. Сейчас выполним математический диктант, а потом вы поменяетесь тетрадкой с соседом чтоб проверить ответы. Начнем:
-
- Из цифр 1, 4, 2 составьте наибольшее трехзначное число.
- Из цифр 1, 0, 7 составьте наименьшее трехзначное число.
- Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 9, 7, 4 без повторения их в записи числа?
- Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 8, 4, 9 с повторением их в записи числа?
- Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 3, 7, 0 без повторения их в записи числа?
- Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 3, 7, 0 с повторением их в записи числа?
- Из города А в город В ведут две дороги, А из города В в город С – пять дорог. Сколько различных маршрутов можно проложить из города А в город С через город В ?
- В шахматном турнире участвуют 11 человек. Каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?
- При встрече 20 человек обменялись рукопожатиями. Сколько было сделано рукопожатий?
- Сколько различных трехзначных чисел можно получить из цифр 6, 9, 3 без повторения их в записи числа?[1]
Уч-ся:
| 1234 1243 1342 1324 1423 1432 |
2341 2314 2143 2134 2431 2413 |
3421 3412 3142 3124 3241 3214 |
4132 4123 4321 4312 4213 4231 |
Уч-ся: 24.
Учитель: Сколькими способами можно выбрать первую цифру?
Уч-ся: 4.
Учитель: Сколькими способами можно получить вторую цифру из оставшихся?
Уч-ся: 3.
Учитель: Сколькими способами можно получить третью цифру из оставшихся?
Уч-ся: 2.
Учитель: Сколькими способами можно получить четвертую цифру?
Уч-ся: 1
Учитель: Проверьте, пожалуйста, равенство: 1*2*3*4, чему равно?
Уч-ся: 24
Учитель: Какой вывод можно сделать?
Уч-ся: То что мы получили с помощью таблицы, мы получили умножением чисел.
Учитель: Как думаете, о чем пойдет сегодня речь на уроке?
Уч-ся: О перестановках.
Учитель: Точно. А как на ваш взгляд, что это такое?
Уч-ся: расположение элементов в определенном порядке.
Учитель: Почти. Давайте запишем определение, которое есть тоже у вас в учебниках на странице 176. Итак: «Перестановкой из n элементов называется КАЖДОЕ расположение этих элементов в определенном порядке». Обозначают Pn. Для дальнейшего изучения нам понадобиться еще одно понятие. Для произведения первых n натуральных чисел используют специальное обозначение: n!- читается как «n факториал». Например: 2!=1*2=2, 5!=1*2*3*4*5=120. А как думаете, чему равен 1!?[2]
Уч-ся: 1
Учитель: Число перестановок из n элементов можно вычислить как думаете по какой формуле исходя их того, что мы сегодня обсуждали?
Уч-ся: как n!.
Учитель: Pn=n!. Решите уравнение 2х!=240.
Уч-ся: x=5.
Учитель: Из букв a, b, c, d составляют различные комбинации (выборки). Какие из них являются перестановками ?
| a,b,d b,c,a c,a,d |
a,c,b,d c,d,b,a b,c,a,d |
a,d,c,c d,a,c,b d,d,a,a |
Учитель: Задача № 1Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6 и 8, при условии, что цифры в записи числа не повторяются?
Уч-ся: Вообще из пяти цифр можно получить перестановок 5!. Это 120.
Учитель: А нам все из них подойдут?
Уч-ся: Нет. Не подойдут те которые начинаются с 0.
Учитель: А как нам найти сколько их таких?
Уч-ся: 4!, это 24. Тогда всего получим 96 перестановок.
Учитель: Таким образом, искомое количество пятизначных чисел равно:
P5 – P4=120 – 24=96. Давайте, чтоб лучше понять нарисуем это с помощью дерева графов. На первом месте в числе у нас может быть любая из 4 цифр, кроме 0, на втором месте так, как мы одну цифру заняли, то тоже любые 4 цифры, на третьем месте любые 3 цифры, на четвертом месте любые 2 цифры и на пятом последняя оставшаяся, таким образом нам надо 4*4*3*2*1=96. Дерево графов во многих случаях может нам помочь проверить себя. Задача № 2. Имеется десять различных книг, из которых шесть – учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом? Какие у вас есть варианты?
Уч-ся: Можно попробовать рассмотреть 6 учебников, как 1. Тогда на полке надо расставить пять объектов. Число таких комбинаций равно P5=5! . И равно это 120.
Учитель: Этого достаточно?
Уч-ся: Нет.
Учитель: Что нам еще не хватает? Какие еще перестановки мы не учли?
Уч-ся: Учебники можно расставить между собой различными способами.
Учитель: Сколькими способами мы можем расставить учебники?
Уч-ся: Количество таких способов равно P6=6!=720.
Учитель: А что нам надо сделать, что б учесть все перестановки?
Уч-ся: Может быть перемножить эти перестановки.
Учитель: По комбинаторному правилу умножения все десять книг можно разместить P5*P6=120*720=? способами. Сколько это будет?
Уч-ся: 86400.
Учитель: Решим еще одну задачу. Задача № 3: Сколько среди четырехзначных чисел, составленных из цифр 7, 6, 5, 0 (без их повторения), которые кратны 15? Ваши предложения…
Уч-ся: Всех перестановок 4!-3!=24-6=18.
Учитель: Нарисуем для иллюстрации дерево граф. Мы видим, что на первом месте кроме 0 у нас могут быть 3 цифры, на втором месте с 0 вместе тоже 3 цифры, на третьем 2 цифры, а на четвертом одна оставшаяся. Значит что нам надо перемножить?
Уч-ся: 3*3*2=18.
Учитель: Мы ответили на вопрос задачи?
Уч-ся: Нет.
Учитель: О чем нас спрашивали в задаче?
Уч-ся: Среди этих чисел сколько таких которые делятся на 15?
Учитель: В каком случае число кратно 15?
Уч-ся: Если число делится на 3 и на 5.
Учитель: Что можем сказать по поводу набора наших цифр и их кратности 3?
Уч-ся: Все возможные четырехзначные числа составленные из них будут кратны 3, потому что их сумма равна 18, а это кратно 3, значит и все четырехзначные числа будут кратны 3.
Учитель: Хорошо, а в каком случае будут кратны 5?
Уч-ся: Когда на конце будет 5 или 0.
Учитель: Как же нам тогда посчитать перестановки, которые оканчиваются на 5 и на 0?
Уч-ся: Если одна цифра занимает какое-то одно фиксированное место, значит меняют свои позиции оставшиеся 3, получается 3! И таких цифры 2, значит надо умножить на 2, получается 3!=6, 6*2=12.
Учитель: Размышление в правильном направлении, но кто заметил ошибку? Если на конце 0 все именно так и работает. А что если на конце 5, все ли оставшиеся цифры могут занимать любые позиции?
Уч-ся: Нет. 0 не может быть в начале числа.
Учитель: Что нам тогда надо сделать?
Уч-ся: Вычесть те, которые начинаются с 0 в посчитанных перестановках.
Учитель: Как это сделать?
Уч-ся: Вычесть 2!=2, и ответ будет 10.
Учитель: Верно. 0 на первом месте, 5 на четвертом и только 2 цифры посередине могут поменяться местами и именно эти перестановки нам надо вычесть. Хорошо. Сейчас я некоторым из вас выдам индивидуальные карточки для решения, в конце урока мне сдадите их. А с остальными продолжим решать задачи. Сколькими способами можно составить пароль из 5 различных цифр?
Уч-ся: 5!=120.
Учитель: 2.Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 4, 2, 9, 5 и 7 без повторения их в записи числа?
Уч-ся: 6!=720.
Учитель: 3. Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 4, 2, 9, 5 и 7 без повторения их в записи числа?
Уч-ся: 6!-5!=720-120= 600.
Учитель: 4.Вычислить:. Давайте попросим кого-нибудь решить это у доски.
Уч-ся: =15*4*17*3
Учитель: Ребята помогите пожалуйста, кто посчитал.
Уч-ся: 3060
Учитель: 5.Что больше и во сколько раз: 10*9! или 9*10!. Ответ надо обосновать.
Уч-ся: Больше второе число в 9 раз. Потому что в первой ситуации выражение ровно 10!, а во-второй, 10!*9.
Учитель: Хорошо. 6.Шесть мальчиков, в число которых входят Саша и Ваня, становятся в ряд. Найти число возможных комбинаций, если: а) Саша должен находиться в начале ряда;
Уч-ся: Если он первый, то все остальные за ним перестановки это 5!=120.
Учитель: Саша должен находиться в начале ряда, а Ваня – в конце ряда?
Уч-ся: Если Саша первый, а Ваня последний, то между ними 4 человека будут менять свое место, тогда это 4!=24.
Учитель: Хорошо, а что если Саша и Ваня должны стоять рядом?
Уч-ся: Это как в задаче с книгами, мы их посчитаем, как одного человека.
Учитель: И что тогда получим?
Уч-ся: 5!=120, но так как их двое и они могут в каждом случае меняться местами, то 120*2=240.
Учитель: Хорошо. И теперь сделаем тест:
| 1 | Сколькими способами можно разместить на четырехместной скамье четырех учеников? | 6 | 24 | 120 |
| 2 | Число 720 является значением выражения… | 120! | 5! | 6! |
| 3 | 7! больше чем 5! … | в 35 раз | в 6 раз | в 42 раза |
| 4 | Из Красного Сулина в Новошахтинск ведут две дороги, а из Новошахтинска в Шахты – три дороги. Сколько маршрутов существует для проезда из Красного Сулина в Шахты через Новошахтинск ? | 6 | 5 | 12 |
| 5 | Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 9, 8, 7 и 6 без повторения их в записи числа ? | 24 | 120 | 30 |
| 6 | Найти значение выражения | 8 | 504 | 72 |
| 7 | Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 7, 5, 0 и 3 без их повторения в записи числа ? | 24 | 18 | 3 |
| 8 | Сколько среди четырехзначных чисел, составленных из цифр 2,5,8 и 9 (без их повторения) таких, которые начинаются с цифры 5 ? | 24 | 6 | 3 |
| 9 | Пять мальчиков, среди которых Иван и Саша, становятся в ряд. Найти число возможных комбинаций, если Иван должен стоять первым, а Саша – вторым. | 6 | 24 | 18 |
| 10 | Пять мальчиков, среди которых Иван и Саша, становятся в ряд. Найти число возможных комбинаций, если Иван и Саша должны стоять вместе. [1] | 6 | 18 | 24 |
Давайте проверим себя и выставим себе оценку: 1-B, 2-C, 3-C, 4-A, 5-A, 6-C, 7-B, 8-B, 9-A, 10-C. Все 10- это отлично, 9-8 - это хорошо, 7-5 – это удовлетворительно. Какие математические модели мы строили сегодня на уроке ?
Уч-ся: в форме таблицы; в форме выражения; в виде формулы.
Учитель: Домашнее задание: Выучить определение перестановки (стр. 176) и формулу для вычисления числа перестановок (стр. 177). Выполнить решение задач № 741, № 744 с подробной записью решения. Спасибо за урок.
Список литературы:
1. Социальная сеть работников образования. Сценарий урока. URL: https://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2012/03/10/stsenariy-uroka-perestanovki
2. Макарычев Ю.Н., Миндюк К.И., Нешков, С. Б. Суворова: Просвещение, М. 2016.
