Методическое пособие по теме
«Решение нестандартных математических задач в 5-6 классах»
Борошко Виктория Викторовна,
зам. директора по ВР, учитель математики и информатики
СПГАХЛ им.Б.В.Иогансона
Решение задач на расстановку скобок и знаков.
1)Как нужно расставить знаки «+» в записи 1234567, чтобы получилась сумма, равная 100?
2)Как нужно расставить знаки «+» в записи 987654321, чтобы получилась сумма, равная 99?
3)При помощи любых арифметических действий составьте число 100 из пяти единиц.
4) В записи, состоящей из восьми восьмерок, поставьте между некоторыми цифрами знак сложения так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 1000.
5)Используя ровно пять раз цифру 3, знаки действий и скобки, представьте все целые числа от 0 до 11.
6)Используя ровно пять раз цифру 5, знаки действий и скобки, представьте все целые числа от 0 до 10.
7)Используя ровно четыре раза цифру семь, знаки действий и скобки, представьте все целые числа от 0 до 10.
8)Записаны двадцать пять пятерок: 55555…..55. Поставьте между некоторыми цифрами знак сложения так, чтобы сумма равнялась 1000.
9)Между цифрами 1,2,3,4,5,6,7,8 и 9, написанными в указанном порядке, поставьте знаки сложения и умножения так, чтобы полученное выражение имело значение 100. Использовать скобки нельзя. Между любыми двумя соседними цифрами должен стоять знак действия.
10)Расставьте между цифрами знаки действий и скобки так, чтобы в результате вычисления в каждой строке получилась 1. В некоторых случаях между цифрами можно ничего не ставить.
1 2 3 = 1
1 2 3 4 = 1
1 2 3 4 5 = 1
1 2 3 4 5 6 = 1
1 2 3 4 5 6 7 = 1
1 2 3 4 5 6 7 8 = 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 1
Решение задач с числами.
11)Выписаны подряд все числа от 1 до 99. Сколько раз написана цифра 5?
12)Найти сумму 1+2+3+…+98+99
13)Вычислить 2−1+4−3+6−5 +98−97+100−99
14)Установите закономерность в числовой последовательности и запишите еще два числа:0, 3, 8, 15, 24…
15)Установите закономерность в числовой последовательности и запишите еще два числа: 10, 8, 11, 9, 12, 10, 13…
16)Установите закономерность в числовой последовательности и запишите еще три числа: 15, 29, 56, 109, 214…
17)Задумано трехзначное число, у которого с любым из чисел 543, 142 и 562 совпадает один из разрядов, а два других не совпадают. Какое число задумано?
18)Докажите что число 7777+1 не делится на 5.
19)Все натуральные числа от 1 до 100 разбиты на две группы: четные и нечетные. Определите, в какой из групп сумма всех цифр, использованных для записи числе, больше и на сколько?
20)Натуральные числа от 1 начинают выписывать подряд. Какая цифра стоит на 1992-м месте?
21)Сумма восьми чисел равна 1998. Одно из этих чисел 998. Это число заменили на 899. Какой будет новая сумма?
22)В стозначном числе 12345678901234567890…1234567890 вычеркнули все цифры, стоящие на нечетных местах. В полученном пятидесятизначном числе вновь вычеркнули все цифры, стоящие на нечетных местах. Вычеркивание продолжалось до тех пор, пока ничего не осталось. Какая цифра была вычеркнута последней?
23)На какую цифру оканчивается число 2100?
24)На какую цифру оканчивается число 3100?
25)Расставьте числа 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, в таком порядке, чтобы между единицами оказалась одна цифра, между двойками – две, между тройками – три, а между четверками – четыре цифры.
Решение задач на переливания, взвешивания и перекладывания.
26)В мешке 24 кг гвоздей. Как, имя только чашечные весы без гирь, отмерить 9 кг гвоздей?
27)Из трех монет одна фальшивая, она легче остальных. За сколько взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить, какая именно монета фальшивая?
28)Среди 12 монет имеется одна фальшивая. Известно, что фальшивая монета отличается от настоящих, но неизвестно - легче она или тяжелее. Все настоящие монеты имеют одинаковую массу. С помощью трех взвешиваний на чашечных весах без гирь выделите фальшивую монету и одновременно установите, легче она или тяжелее остальных.
29)Имеется 10 мешков монет. В девяти мешках монеты настоящие (вес одной монеты 10г.), а в одном – фальшивые (вес одной монеты – 11 г.) Как одним взвешиванием на точных электронных весах определить в каком мешке фальшивые монеты?
30)В восьмилитровом бидоне находится молоко. Как при помощи пятилитрового бидона и трехлитровой банки отмерить 4 литра молока?
31)Как из восьмилитрового ведра, наполненного молоком, отлить один литр с помощью трехлитровой банки и пятилитрового бидона?
32)Как, имя пятилитровую банку и девятилитровое ведро, набрать из реки ровно три литра воды?
33)В шестилитровом ведре содержится четыре литра кваса, а в семилитровом – шесть литров. Как разделить весь имеющийся квас пополам, используя эти ведра и пустую трехлитровую банку?
34)В трех кучках находится 22, 14 и 12 орехов. Требуется путем трех перекладываний уровнять число орехов в каждой кучке, соблюдая при этом условие: из любой кучки разрешается перекладывать в другую лишь столько орехов, сколько их в этой второй кучке.
35)Положите на стол три кучки спичек. В одну кучку положите 11 спичек, в другую – 7, в третью – 6. Перекладывая спички из любой кучки в любую другую, нужно за три операции сравнять все три кучки, чтобы в каждой было по 8 спичек. К любой кучке разрешается добавлять столько спичек, сколько в ней есть.
Решение задач на перемещения.
36)От потолка комнаты вертикально вниз по стене ползли две мухи. Спустившись до пола, они поползли обратно. Первая муха ползла в оба конца с одной и той же скоростью, а вторая хотя и поднималась в двое медленнее первой, но зато спускалась в двое быстрее. Какая из мух раньше приползет обратно?
37)Два Муравья отправились в гости к Стрекозе. Один всю дорогу прополз, а второй первую половину пути ехал на Гусенице, что было в два раза медленнее, чем ползти, а вторую половину скакал на Кузнечике, что было в десять раз быстрее. Какой Муравей первым придет в гости, если они вышли одновременно?
38)Два летчика вылетели одновременно из одного города в два различных пункта. Кто из них долетит до места назначения быстрее, если первому из них нужно пролететь вдвое большее расстояние, но зато он летит в два раза быстрее, чем второй?
39)Что быстрее: проехать весь путь на велосипеде или половину пути проехать на мотоцикле, а вторую половину пройти пешком, если скорость мотоцикла в два раза больше скорости велосипеда, а скорость велосипеда, в свою очередь, в два раза больше скорости пешехода?
40)Путь от дома до школы Буратино проделал пешком, обратно он двигался той же дорогой, но первую половину пути он проехал на собаке, а вторую половину пути – на черепахе. Известно, что скорость собаки в четыре раза больше, а скорость черепахи – в два раза меньше, чем скорость, с которой Буратино шел пешком в школу. На каой путь – из дома до школы или из школы до дома – затратил Буратино больше времени?
Решение логических задач.
(найти соответствие)
41)В трех ящиках находятся мука, крупа и сахар. На первом из них написано «Крупа», на втором – «Мука», на третьем – «Крупа или сахар». Известно, что содержимое ящиков не соответствует надписи. В каком ящике что находится?
42)На улице, став в кружок беседуют четыре девочки: Аня, Валя, Галя и Надя. Девочка в зеленом платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Надей. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом и Валей. Какое платье носит каждая из девочек?
43)Алеша, Боря и Витя учатся в одном классе. Один ездит домой из школы на автобусе, другой – на трамвае, третий – на троллейбусе. Алеша однажды после уроков пошел проводить друга до автобусной остановки. Когда мимо проходил троллейбус, третий друг крикнул из окна: «Боря, ты забыл в школе дневник!». Кто на чем ездит домой.
44)Встретились три друга: Белов, Чернов и Рыжов. «Волосы одного из нас белые, другого - черные, третьего –рыжие, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии», - заметил черноволосый. «Ты прав», – подтвердил Белов. Какие у кого волосы?
45)Три подруги вышли в белом, зеленом и синем платьях. Их туфли были одного из тех же трех цветов. Известно, что только у Ани цвета платья и туфель совпали. Ни платье, ни туфли Вали не были белыми. Наташа была в зеленых туфлях. Определите цвет платья и туфель каждой из подруг.
46)На одном заводе работают три друга: слесарь, токарь и сварщик. Их фамилии: Борисов, Иванов и Семенов. У слесаря нет ни братьев, ни сестер, он самый младший из друзей. Семенов старше токаря и женат на сестре Борисова. Назовите фамилии слесаря, токаря и сварщика соответственно.
47)В очереди за билетами в кино стоят друзья: Юра, Миша, Володя, Саша и Олег. Известно, что Юра купит билет раньше, чем Миша, но позже Олега. Володя и Олег не стоят рядом, А Саша не находится рядом ни с Олегом, ни с Юрой, ни с Володей. Кто за кем стоит?
48)В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшинов и сосудом с квасом, в банке не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В какой сосуд налита каждая из жидкостей?
49)Коля, Боря, Вова и Юра заняли в соревновании первые четыре места, причем никакие два мальчика не делили между собой какие-нибудь места. Коля не занял ни первое, ни четвертое место. Боря занял второе место, а Вова не был последним. Какое место занял каждый из мальчиков?
50)На столе лежат в ряд четыре фигуры: треугольник, ромб, круг и квадрат. Цвета этих фигур: зеленый, желтый, синий, красный. В каком порядке лежат фигуры и каков цвет каждой из них, если фигура красного цвета лежит между зеленой и синей. Справа от желтой фигуры лежит ромб, круг лежит правее треугольника и ромба, причем треугольник лежит с краю, и, наконец, фигура синего цвета не лежит рядом с фигурой желтого цвета?
(некоторые из высказываний ложны)
51)В тетради написано 100 утверждений:
В этой тетради ровно одно ложное утверждение.
В этой тетради ровно два ложных утверждений.
…
В этой тетради ровно сто ложных утверждений.
Какое из этих утверждений верно.
52)Придя с работы домой, мама обнаружила, что ее любимая вазочка разбита. « Кто это сделал?»- обратилась она к детям.
Саша сказал: «Я не разбивал. Вазу разбил Олег».
Олег сказал: « Это сделал не я. Это сделал Саша».
Маша сказала: « Я вазочку не разбивала. И Олег не разбивал».
Определите, кто разбил вазу, если известно, что у каждого из детей одно утверждение верно, а другое ложно.
53)Один из попугаев А, В, и С всегда говорит правду, другой всегда врет, а третий – хитрец, он иногда говорит правду, а иногда врет. На вопрос: «Кто В?» они ответили:
А: - Лжец.
В: - Я хитрец!
С: - Абсолютно честный попугай.
Кто из попугаев лжец, а кто хитрец?
54)До Царя дошла весть, что кто-то из трех богатырей убил Змея Горыныча. Приказал Царь им явиться ко двору. Молвили богатыри:
Илья Муромец: - Змея убил Добрыня Никитич.
Добрыня Никитич: - Змея убил Алеша Попович.
Алеша Попович: - Я убил змея.
Известно, что только один богатырь сказал правду, а двое других слукавили. Кто убил змея?
55)До царя Гороха дошла молва, что наконец кто-то убил Змея Горыныча. Царь догадался, что это дело рук или Ильи Муромца, или Добрыни Никитича, или Алеши Поповича. Пригласил их ко двору, стал расспрашивать. Трижды каждый богатырь речь держал. И сказали они так:
Илья Муромец: «Я не убивал Змея Горыныча. Я в заморские страны уезжал. А змея Горыныча убил Алеша Попович.»
Добрыня Никитич: «Змея Горыныча убил Алеша Попович. Но я если бы и убил, то не сознался бы. Много еще нечистой силы осталось!»
Алеша Попович: «Нея убил Змея Горыныча. Я давно ищу, какой бы подвиг совершить. И взаправду Илья Муромец в заморские страны уезжал.»
Потом царь Горох узнал, что дважды каждый богатырь правду говорил, а один раз соврал.
Так кто же убил Змея Горыныча?
56)За круглый стол сели семь братьев-гномов. Гномы всегда говорят правду всем старшим братьям, а младшим всегда врут. Каждый гном сказал своему правому соседу: «все здесь присутствующие говорят мне только неправду». В каком порядке сидят гномы?
57)За круглым столом сидят восемь человек, каждый из которых либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы – всегда лгут . На вопрос, кто их соседи, каждый из них ответил : « Мои соседи – лжец и рыцарь». Сколько среди них было лжецов ?
58)В стране Рыцарей и Лжецов живут рыцари, все высказывания которых правдивы, и лжецы – каждое высказывание которых – ложь. И еще в этой стране бывают гости, в большинстве своем, - нормальные люди, с которыми особенно трудно: они могут говорить правду, но могут и солгать. Однажды, прогуливаясь по стране рыцарей и лжецов, я встретил человека, который сказал о себе: «Я – лжец». Кем был тот человек, которого я встретил?
59)В одной сказочной стране поблизости один от другого находятся города А и В. Все жители города А говорят только правду, а жители города В всегда лгут. Жители этих городов ходят друг к другу в гости. Путешественник попал в один из этих городов, но не знает, в какой. Как он может, задав один вопрос первому попавшемуся жителю, узнать, в каком городе он находится?
60)В конференции участвовало 100 человек – химики и алхимики. Каждому был задан вопрос: « Если не считать Вас, то кого больше среди остальных участников – химиков или алхимиков?» когда опросили 51 участника, и все ответили, что алхимиков больше, опрос прервался. Алхимики всегда лгут, а химики всегда говорят правду. Сколько химиков среди участников?
(пересечение и объединение множеств)
61)Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал. И лишь 13 семей выписывают и журнал и газету. Сколько семей живет в нашем доме?
62)Из 40 учащихся нашего классаи32 любят молоко, 21 – лимонад, а 15 и молоко и лимонад. Сколько ребят в нашем классе не любят ни молоко, ни лимонад?
63)12 моих одноклассников любят читать детективы, 18 –фантастику, трое с удовольствием читают и то, и другое, а один вообще ничего не читает. Сколько учеников в нашем классе?
64)В воскресенье 19 учеников нашего класса побывали в планетарии, 10 – в цирке и 6 – на стадионе. Планетарий и цирк посетили 5 учеников; планетарий и стадион – 3, цирк и стадион – 1. Сколько учеников в нашем классе, если никто не успел посетить все три места, а три ученика не посетили ни одного места?
65)В ясельной группе 11 деток любят манную кашу, 13 – гречневую и 7 малышей – перловую. Четверо любят и манную кашу, и гречневую, 3 – манную и перловую, 6 – гречневую и перловую, а двое с удовольствием «уплетают» все три вида каши. Сколько детей в этой группе, если в ней нет ни одного ребенка, вовсе не любящего кашу?
66)В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11- черешню. Двое любят груши и черешню; 6 – груши и яблоки; 5 – яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят все и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки?
67)Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 – испанский, 75 – немецкий. Все владеют, по крайней мере, одним иностранным языком. Среди них нет таких, которые знают два иностранных языка, но есть владеющие тремя языками. Сколько человек из этих 100 знают три иностранных языка?
68)Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции, 10 – в Италии, 6 – в Англии. В Англии и Италии – 5, в Англии и Франции – 6, во всех странах – побывали 5 сотрудников. Сколько человек посетили Италию и Францию, если всего в фирме работает 19 человек и каждый из них побывал хотя бы в одной из названных стран?
69)В нашем классе 35 учеников. За первую четверть пятерки по русскому языку имели 14 учеников; по математике – 12; по истории – 23. По русскому и математике – 4; по математике и истории – 9;по русскому и истории - 5. Сколько учеников имеют пятерки по всем трем предметам, если в классе нет ни одного ученика, не имеющего пятерки хотя бы по одному из этих предметов?
70)Получил я посылку от своих друзей из Сочи с яблоками и грушами. Одни плоды были большие, другие маленькие. Да и по цвету они отличались: часть была желтого цвета, часть – зеленого. Среди плодов не было маленьких груш и не было маленьких зеленых яблок. Яблок было 25. Груш было 17. Больших плодов было 32. Желтых плодов было 28. Зеленых яблок было на 2 больше, чем зеленых груш. Сколько больших желтых яблок было в этой посылке?
(сколько надо взять?)
71)В коробке лежат 10 красных и 10 синих воздушных шариков. Продавец, не глядя, достает по одному шарику. Сколько шариков надо вытащить, чтобы среди вынутых из коробки шариков обязательно нашлись два шарика одного цвета?
72)В коробке лежат семь красных и пять синих карандашей. Из коробки в темноте берут карандаши. Сколько надо взять карандашей, чтобы среди них было не менее двух красных и трех синих?
73)В пакете перемешали конфеты трех сортов, неразличимых на ощупь. Какое наименьшее число конфет надо взять наугад из пакета, чтобы среди взятых конфет обязательно были хотя бы две одного сорта?
74)В ящике лежат 10 красных, 8 синих и 4 желтых карандаша. Из ящика в темноте берут карандаши. Какое наименьшее число карандашей надо взять, чтобы среди них заведомо было:
а) не менее 4 карандашей одного цвета;
б) не менее 6 карандашей одного цвета;
в) хотя бы 1 карандаш каждого цвета;
г) не менее 6 синих карандашей?
75)В темной кладовой в беспорядке лежат ботинки: 10 пар черных и 10 пар коричневых. Сколько ботинок надо взять, чтобы среди них оказалась хотя бы одна пара (левый и правый ботинок) одного цвета? В темноте нельзя отличить не только цвет ботинка, но и левый от правого.
Решение задач, решаемых с конца.
76)Задумано число, к нему прибавлена 1, сумма умножена на 2, произведение разделено на 3 и от результата отнять 4. Получилось 6. Какое число задумано?
77)Женщина собрала в саду яблоки. Чтобы выйти из сада, ей пришлось пройти через четыре двери, каждую из которых охранял свирепый стражник, отбиравший половину яблок. Домой она принесла 10 яблок. Сколько яблок досталось стражникам?
78)У моста через речку встретились лодырь и черт. Лодырь пожаловался на свою бедность. В ответ черт предложил: « Я могу тебе помочь. Каждый раз, как ты перейдешь этот мост, у тебя деньги удвоятся. Но каждый раз, перейдя мост, ты должен будешь отдать мне 24 копейки.» Три раза проходил лодырь мост, а когда заглянул в кошелек, там стало пусто. Сколько денег было у лодыря?
79)Мама положила на стол сливы и сказала детям, чтобы они, вернувшись из школы, разделили их поровну. Первой пришла Аня, взяла треть сли и ушла. Потом вернулся из школы Боря, взял треть оставшихся слив и ушел. Затем пришел Витя и взял 4 сливы – треть от числа слив, которые он увидел. Сколько слив оставила мама?
80)В ящик лежат лимоны. Сначала из него взяли половину всех лимонов и половину лимона, затем половину остатка и еще половину лимона, наконец, половину нового остатка и опять половину лимона. После этого в ящике остался 31 лимон. Сколько лимонов было в ящике вначале?
Разные задачи.
81)На скотном дворе гуляли гуси и поросята. Мальчик сосчитал количество голов, их оказалось 30, затем сосчитал, сколько всего ног, их оказалось 84. Можно ли узнать, сколько гусей и сколько поросят было на скотном дворе?
82)В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что в клетке 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке фазанов и сколько кроликов?
83)На поляне ребята пасут жеребят. Если пересчитать ноги ребят и жеребят, то будет 74, а если считать головы, то 22. Сколько на лугу жеребят?
84)Если учащихся посадить по одному человеку на стул, то семерым не хватит места. Если на каждый стул посадить по два человека, то останутся свободными пять стульев. Сколько было учащихся и сколько стульев?
85)На поляне паслись ослы. К ним подошло несколько ребят. Если на каждого осла сядут по одному мальчику, то двум из них не хватит ослов. Если же на каждого осла сядут по два мальчика, то один осел будет лишний. Сколько ослов и сколько мальчиков было на поляне?
86)Учитель задал на уроке сложную задачу. В результате количество мальчиков, решивших задачу, оказалось равно количеству девочек, ее не решивших. Кого в классе больше – решивших задачу или девочек?
87)Один биолог открыл удивительную разновидность амеб. Каждая из них через минуту делится на две. В пробирку биолог кладет одну амебу, и ровно через час вся пробирка оказывается заполненной амебами. Сколько потребовалось бы времени, чтобы вся пробирка заполнилась амебами, если бы в нее положили не одну амебу, а две?
88)В гости пришло шесть человек в галошах разного размера. Расходились по одному, и некоторые надевали галоши большего размера. Сколько могло остаться гостей, не сумевших надеть галоши?
89)Винни-Пух, Пятачок, Кролик и ослик Иа-Иа съели 70 бананов, причем каждому сколько-то досталось. Винни-Пух съел больше каждого из остальных, а Кролик и Пятачок вместе съели 45 бананов. Сколько бананов досталось ослику?
90)Путешественник хочет пересечь пустыню за 6 дней. Известно, что один человек способен взять с собой припасов на 4 дня. Он не сможет преодолеть весь путь в одиночку, но он может взять с собой носильщиков. Сколько человек он должен взять с обой и как организовать путешествие, чтобы благополучно пересечь пустыню и все носильщики вернулись домой?
Решение математических ребусов.
91)
92)ТРИ+ДВА=ПЯТЬ
93)НАУКА+УЧЕБА=РАБОТА
94)СИНИЦА+СИНИЦА=ПТИЧКИ
95)РАЙОН+РАЙОН=ГОРОД
96)ДРАМА+ДРАМА=ТЕАТР
97)БАРБОС+БОБИК=СОБАКИ
98)КОШКА+КОШКА+КОШКА=СОБАКА
99)АИСТ+АИСТ+АИСТ+АИСТ=СТАЯ
100)ПАРУС+ПАРУС+ПАРУС+ПАРУС=РЕГАТА
Используемая литература.
1. Газета «Математика» приложение к газете «Первое сентября» №№ 28, 38,39,40, 1996г.
2. Библиотечка «Первого сентября» Математика № 4, 2005г.
3. Библиотечка «Первого сентября» Математика № 35 2010г.
4. Задачи по математике для внеклассной работы в V-VIклассах., В.Ю.Сафонова - М.МИРОС, 1993г.
5. Математический кружок 6-7 классы./ Спивак А.В. - МЦНМО, 2009г.
6. Занимательная математика на уроках в 5-11 классах./ Гаврилова Т.Д. - Учитель, 2008г.
7. Весенний турнир Архимеда. / под. ред. Чулкова П.В. - МЦНМО, 2009г.
8. Математика. Задачи на развитие математического мышления 5-6 классы./Чулков П.В. - Издат-школа, 2000г.
9. Математическая шкатулка. /Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. - Просвещение, 1984г.
10. Математика. Сборник задач. /Смыкалова Е.В. - СМИО Пресс, 2007г.
