Образовательный портал

Скачать файл в формате word

Уравнения и их системы, содержащие знак абсолютной величины
                                    (методическая разработка)

Автор методической разработки: Румянцева Ирина Александровна – учитель математики ГБОУ гимназии №70 г. Санкт-Петербург, заслуженный учитель РФ.

Параграф 1. Основные сведения.

Пункт 1. Определение абсолютной величины числа. Решение простейших уравнений.

Знакомство с понятием абсолютной величины числа (модуля числа) лучше начинать с его геометрической интерпретации: в геометрии модуль – это расстояние от точки, изображающей данное число на числовой оси или координатной плоскости, до начала координат. Так, число 5 расположено на числовой оси справа от нуля, а число -5 слева от нуля, но расстояния от точек, изображающих эти числа, до начала координат одинаковы и равны 5. Значение абсолютной величины числа a обозначается скобками:  .
Поясним геометрическое определение модуля графически:


                




 





  Соответственно устанавливается алгебраическое определение модуля некоторой величины:

 .
Рассмотрим теперь простейшие (но важные для понимания материала) уравнения, включающие знак абсолютной величины. Под   будем понимать некоторое алгебраическое выражение, содержащее неизвестную переменную  .


  А.Уравнения вида  , где a – заданное число.                          (1)       
Уточним стоящую перед нами задачу: если x – некоторое решение уравнения (1), то, согласно геометрическому определению модуля, точка f на числовой прямой расположена на расстоянии a от начала координат. Поэтому, если a0, то имеем две искомые точки: f1=-a, f2=a.        



 




Итак, уравнение (1): при a0 имеет своими решениями решения уравнений   и  .
Коротко последнее утверждение записывается так:

                                

Читается: множество решений уравнения   при a>0 есть объединение множеств решений уравнений   и  .



Пример 1. Решить уравнения: а)  ;    б)  ;                          в)  ;    г)  .

Решения:
а)       
Ответ: x1=1 ; x2=6.

б)  => решений нет, т.к. модуль (абсолютное значение) любой величины не может быть отрицателен.
Ответ: решений нет.

в)     
Ответ: x1=-3;  x2=0.

г)     
Ответ: x1=-3;  x2=3.


Пример 2. Решить уравнения: а)  ; б)   .

Решения:
а) согласно (1) в данном случае  = , т.е. f(x)≥2. Поэтому уравнение   не имеет решений.
Ответ: решений нет.

б)      
 
Ответ: x1=-5;  x2=0; x3=2; x4=7.

В. Уравнения вида    (2)    и        (3).
Поскольку модуль любого выражения – величина неотрицательная, следовательно, если x – решение уравнения (2), то и правая часть данного уравнения неотрицательна, т.е.  . Но тогда   в левой части этого же уравнения по определению равен просто  . Вывод: при обязательном условии  мы пришли к тождеству  , поэтому решения неравенства   будут одновременно решениями уравнения (2).
Рассуждая аналогично, получаем, что все решения неравенства   являются решениями уравнения (3).

Пример 3. Решить уравнения: а)  ;  б)  ;                    в)  .
Решения:
а)      
Ответ:  .

б)    
Ответ:  .

в)     
 
Ответ:  .

С. Уравнения вида            (4).
Если x – решение уравнения (4), то, согласно геометрическому определению модуля, расстояния на числовой прямой от точек f и g до начала координат равны, т.е. либо точки f и g совпадают (имеем:  ), либо симметричны друг другу относительно начала координат (имеем:  ). Поэтому

 
В качестве особого следует упомянуть уравнение  .
Решениями данного уравнения являются все x, при которых выражение   определено.

Пример 4. Решить уравнения: а)  ;  б)  ;            в)  ; г)  .

Решения:

а) Данное уравнение есть уравнение вида  , где  .   Эта функция определена при любых действительных x, поэтому x – любое.
Ответ: x – любое.

б)     
Ответ:  .

в)     
 .
Ответ:  .


г)   

 .

Ответ:  .

Замечание: т.к.     , то обе части уравнения (4) можно возвести в квадрат, освобождаясь от модулей, причем среди корней получившегося уравнения не окажется «лишних» для нас.
Например:  , откуда получаем  .

  D. Уравнения вида  .                (5)
Имеем: сумма неотрицательных по определению выражений равна нулю. Следовательно, каждое из слагаемых должно равняться нулю. Т.к.   тогда и только тогда, когда  ,  и   тогда и только тогда, когда  , следовательно уравнение (5) равносильно системе:  .
Решать данную систему рациональнее следующим образом: выбрав из уравнений более простое, найти его решения и проверить их на соответствие всей системе подстановкой в оставшееся уравнение.


Пример 5. Решить уравнения: а)  ;
б)  .

Решения:

а)  
Подставляем поочередно x=-1 и x=1 в первое уравнение, получаем, что оба уравнения системы выполнены только при x=-1.
Ответ: x=-1.

б) Данное уравнение эквивалентно (равносильно) системе:
 
  Ответ: x=-2.
Пункт 2. Метод интервалов. Решение простейших систем.

Пусть требуется решить уравнение  . Согласно алгебраическому определению модуля:
 

Таким образом точка x=2 разбивает числовую ось на два интервала, на каждом из которых модульные скобки над выражением x-2 раскрываются по разному:
 



Поэтому решение исходного уравнения сводится к последовательному рассмотрению двух возможных ситуаций:
а) Предположим, что x – решение исходного уравнения, причем  .
Тогда   и имеем:  , что соответствует условию а). Поэтому   является решением исходного уравнения.
б) Предположим, что x – решение исходного уравнения, причем  
Тогда   и имеем:  , что не соответствует условию б). Поэтому   не является решением исходного уравнения.
Рассмотренное уравнение имеет единственный корень:  .


Особенно метод интервалов полезен, если в уравнении несколько модульных скобок. Единственное затруднение – в определении четкой последовательности действий, поэтому настоятельно рекомендуется придерживаться следующего плана:

1)    Определить все значения неизвестного, при которых выражения под знаками модуля обращаются в ноль или становятся неопределенны, и отметить полученные точки на числовой оси.
2)    Решить исходное уравнение на каждом из выявленных числовых промежутков.
3)    Объединить найденные решения в общий ответ.

Полезно по окончании первого этапа выписать, как именно в зависимости от положения неизвестного на числовой оси раскрываются каждые модульные скобки.

Упражнение: раскрыть модульные скобки в выражении  .
Сначала рассматриваем внутренние скобки:   при  , поэтому отмечаем на числовой оси точку  .
Затем рассматриваем внешние скобки: решаем уравнение   (решение проводится изложенным выше методом интервалов:

 

первое уравнение не имеет корней, а корнями второго являются числа 1 и -1, но x=1 не удовлетворяет условию  ).
Далее, выбрав произвольное x, большее -1, например x=0, убеждаемся, что при x>-1  ; выбрав произвольное x, меньшее -1, например x=-2, убеждаемся, что при x<-1  . Получаем:

 

В итоге  на числовой оси отмечены точки x=-1 и x=0. На каждом из получившихся промежутков модули в исходном выражении раскрываются по «цепочке» (*):

при  ;
при  ;
при  .


Пример 6.Решить уравнения: а)  ;                                        б)  ; в)  ; г)  .
Решения:

а) I этап.
 . Поэтому:
 .
Имеем следующие числовые промежутки:

 
  II этап.
1)    Тогда    поэтому исходное уравнение примет вид:  .
Получили неверное числовое равенство, поэтому на данном полуинтервале исходное  уравнение корней не имеет.
2)  .  Тогда  поэтому исходное уравнение примет вид:   что не соответствует рассматриваемому отрезку, поэтому на данном промежутке   исходное уравнение корней не имеет.
3)   Тогда    поэтому исходное уравнение примет вид:    что соответствует рассматриваемому полуинтервалу, поэтому     исходного уравнения.
  III этап.
На первом и втором числовых промежутках уравнение решений не имеет. На третьем получили решение    .
Ответ:   .

б) I этап.
   Поэтому:
 


Имеем следующие числовые промежутки:



  II этап.
1)    Тогда  поэтому исходное уравнение примет вид:     
Получили верное числовое равенство, поэтому любое   из данного полуинтервала является решением исходного уравнения!
2)   . Имеем, раскрывая модули согласно результатам первого этапа:     что соответствует рассматриваемому отрезку, поэтому    есть решение исходного уравнения.
3)   Раскрываем модули:  
Получили неверное числовое равенство, поэтому на данном полуинтервале исходное уравнение корней не имеет.

   III этап.
На первом промежутке:    
На втором промежутке:     
На третьем промежутке:   нет решений.
Итог:                                        
Ответ:   


в) I этап.
Сначала рассматриваем «внутренний» модуль, затем «внешний»:
1)    x=0 при x=0 =>  
2)    
Данное уравнение следует решить отдельно. Заметим при этом, что числовые промежутки, которые следует рассматривать, уже известны (см. (*)):
при   имеем                     нет решений
при   имеем  ,
но x1 не соответствует условию  .
Итак,  .
Само же выражение   положительно при   (например, x=10:  ) и отрицательно при   (например, x=1:  ). Поэтому:
 
Имеем следующие числовые промежутки:


II этап.
На каждом промежутке сначала раскрываем внешние модульные скобки, затем внутренние.
1)  .
 :  , что соответствует рассматриваемому интервалу, поэтому   есть решение исходного уравнения.
2)  .
 :  .
Проверим соответствие найденных корней заданному отрезку:    - очевидно,  , проверим теперь, выполняется ли соотношение   
 
  - очевидно,  , т.е. является посторонним корнем.
3)  .
 :   .  Проверим полученное   на соответствие заданному полуинтервалу:    является корнем исходного уравнения.


  III этап.
 ;
 ;
  .
Ответ:  .

г) Особенностью данного уравнения является присутствие неизвестной величины в знаменателе дроби, поэтому необходимо на каждом числовом промежутке находить область определения уравнения (ООУ).

I этап.
 
Имеем два полуинтервала:


II этап.
1)   раскрывая модуль и упрощая, получаем уравнение  .
ООУ:  . При  из ООУ, очевидно, получаем верное равенство, т.о. решениями исходного уравнения являются все  .
2)  раскрывая модуль и упрощая, получаем уравнение   ООУ:  . Тогда  , что соответствует рассматриваемому полуинтервалу, поэтому   есть решение исходного уравнения.

III этап.
 
 
Ответ:  .


B. Решение несложных систем уравнений, содержащих знак абсолютной величины, не должно вызывать трудностей: как правило, достаточно использовать известный учащимся метод подстановки.

Пример 7. Решить системы уравнений:
а)  б)  в)  г)

Решения:
а) Из первого уравнения системы получаем:  
Тогда, после подстановки (*), второе уравнение примет вид:
 .
Согласно (*): при   при  .
Ответ:   

б) Из первого уравнения системы получаем:
 .
При   из второго уравнения системы получаем  
соответственно, x=2.
При    из второго уравнения системы получаем y=-5.
Ответ:  .

в) Из второго  уравнения системы получаем:
 .
При   из первого уравнения получаем  .
При   из первого уравнения получаем  ; соответственно,  .
Ответ: .

г) В данном случае проще воспользоваться методом сложения, а для решения получающегося уравнения – методом интервалов.
 .

1) получаем   решений нет;
2)   получаем  .
Вывод:   и теперь из первого уравнения получаем  .
Ответ:  .


Пункт 3. Рациональные методы решения: простейшие геометрические и алгебраические соображения, обобщение метода интервалов, замена переменной.

А. Некоторые простые уравнения допускают ясную геометрическую интерпретацию, решение их значительно упрощается – «неподходящие» числовые промежутки сразу исключаются из рассмотрения.
Покажем сначала, что геометрически   есть расстояние между точками числовой оси, изображающими числа   и  . Для этого на числовой оси , где уже отмечены   и   перенесем начало координат в точку . Координаты точек изменятся:




Расстояние между точками   и   это, согласно новой системе отсчета, расстояние между точками   и  , т.е.  

Пример 8. Решить уравнения: а)                                         б)   в)   г)        д) .


Решения:
а)Требуется указать на числовой оси такие x, что сумма расстояний от x до 1 и от x до 3 равна 3 ед. Расстояние между 1 и 3 равно 2 ед., поэтому   (иначе  ). Получается, что x лежит либо левее 1, либо правее 3 – на некотором расстоянии   от них, причем в любом случае  . Поэтому  , откуда  .




Теперь легко находятся два значения x.
Ответ:  .
б) Требуется указать на числовой оси такие точки 2x, что расстояние от 2x до -2 больше расстояния от 2x до 7 на 9,12 ед.
Если  , рассматриваемая разность всегда равна -9;
Если  , рассматриваемая разность всегда равна 9;
Если  , рассматриваемая разность меньше либо равна 9.
Пусть, например,  :



Тогда  .
Ответ: решений нет.

в) Перепишем уравнение в виде  . Поэтому искомое x лежит в три раза ближе к 3, чем к 2:



  => нет решений, так как x всегда ближе к 2, чем к 3;
    «на глазок»,  ;
  => «на глазок»,  .
Ответ:  .

г) Данный пример показывает, что очень полезным бывает «строгое» разбиение числовой оси на промежутки (без «перекрытий» вида                       ):




 нет решений;
  (соответствует рассматриваемому полуинтервалу);
 нет решений.
Ответ:  .

д) Начнем с применения метода интервалов:




Замечем теперь, что   при   и   за пределами данного отрезка. Имеет смысл поэтому рассматривать уравнение только на этом отрезке, причем получаем:  . Очевидно, x=2.
Ответ:  .

B. Изучая области значений правой и левой частей уравнения, нередко удается упростить ход решения, исключая заведомо неподходящие значения неизвестного.

Пример 9. Решить уравнения: а)                                     б)  в)  г) .

Решения:

а) Левая часть уравнения неотрицательна при любых x, а в правой части – отрицательное число.
Ответ: решений нет.

б) Левая часть уравнения неотрицательна при любых x, поэтому, если x – решение, то правая часть также неотрицательна. Значит, достаточно рассмотреть только значения x  из области   то есть  . Но тогда   Получили неверное равенство.
Ответ: решений нет.
в) Выражение   положительно при любых x, поэтому внешние модульные скобки можно снять. Кроме того, если x – решение, то правая часть также положительна, поэтому достаточно рассмотреть x из области  . Тогда   и получаем   (соответствует области  ).
Ответ:  .

г) Сумма двух неотрицательных слагаемых равна 1, если каждое из слагаемых не превосходит единицы:    Так как   , то на указанном отрезке получаем   Если  , то, очевидно,                                               , что нас не устраивает. Поэтому, если x – решение, то  . А на этом полуинтервале получаем   
  Ясно, что   - посторонний корень.
Ответ:  .

C.  Рассмотрим уравнения вида                                         (1)
Решая данное уравнение методом интервалов, мы получим уравнение   для тех промежутков, где   и уравнение   для промежутков, где  .   Ясно, что нет смысла рассматривать каждый промежуток по отдельности, - достаточно разделить их на две указанные группы: для каждой надо решить соответствующее уравнение и проверить полученные корни на соответствие поставленному условию.  Таким образом
 
Возможен и другой вариант: ясно, что среди решений уравнения   истинными корнями уравнения  (1)  будут те   ,  при которых    Проводя аналогичные рассуждения для случая  ,  получаем
 
Какой из вариантов избрать, зависит от вида функций  ,    например, если решения уравнений    проще подставлять для проверки в    , то разумнее применить первый способ.

Пример 10.  Решить уравнения:   а)
б)  в) .

Решения:

а)  Предположим,  
Тогда имеем   
     Предположим,  
Тогда имеем   нет решений.
Проверим теперь полученные корни.  Перепишем исходное уравнение:
 .    Поскольку  ,  оба корня истинны.
Ответ:   

б)  Предположим,  
Тогда имеем   нет решений.
Предположим,  
Тогда имеем   
Для определения истинности этих корней проверим выполнение условия   Получаем:     Очевидно,  корень   посторонний.  Для проверки      выясним,  верно ли,  что     .  Так как    то есть рассматриваемое неравенство не выполнено.
Ответ:  решений нет.

в)  Перепишем уравнение:    Используем следующую графическую иллюстрацию: (здесь представлены графики функций   и  ).
 

Теперь ясно,  что получившиеся числовые промежутки следует объединить в три следующие группы:
1)      .    Получаем      (соответствует поставленному условию).
2)        Получаем  
 нет  решений.
3)         Получаем   
 нет решений.
 Ответ:    .

D.  Метод замены некоторого выражения новой буквенной переменной хорошо известен.  Можно заметить только, что при решении уравнений, содержащих модуль, часто удается сразу ограничить область изменения новой переменной.
Пример 11. Решить уравнения или систему уравнений: а)   ;
б)   ;
в)  

Решения:
а)  Заменив      новой переменной     получаем  систему     что  означает,  что   и     являются  корнями уравнения       Получаем  .
Ответ:   .

б)  Заменив выражение    новой переменной       получим уравнение      .  Получаем:
 .  Остается решить данные уравнения.
Ответ:     .

в)  Перепишем уравнение в виде:   
Очевидно,  возможны два варианта:
1)      
2)      Заменим       новой переменной  . Заметим,  что    по  смыслу замены  и    согласно  ОДЗ данного уравнения, т.е.    (*) А  уравнение примет вид  .   Так как  ,   получаем    
Учитывая  (*),  окончательно получаем  
Значит,     Заменяя    на   ,  получаем   
  Так как      по смыслу  замены,  получаем  
 
Ответ:   
















Контрольные задания к §1.
1) Решите, пользуясь определением модуля числа:
а)  б)  в)  г)     д)  е)  ж)  з)  и)  к) .

2)Решите «стандартные» уравнения:
а)  б)  в)       г)  д)  е)      ж)  з)              и) .

3) Решите методом интервалов:
а)  б) ; в)             г)  д)  е)   ж)  з)  и)  к)  л)      м)  н)  о)  п)  р)  с)  т)         у)  ф)  х)   ч)

4)Решите рациональным способом:
а)  б)  в)    г)  д)  е)      ж)  з)  и)  к)  л)  м)  н)

5)Решите системы уравнений:
а)  б)  в)  г)  д)  е)  ж)  з)  и)  к)  л)  м)  н)  о)  п)  р)