Образовательный портал

Задачи на проценты для 5 - 6 классов

 
1. Методические особенности изучения процентов в основной школе.
Тему «Проценты» начинают изучать в школьном курсе математики в 5-6 классах. Изучение начинают сразу же после изучения действий с обыкновенными дробями или с десятичными дробями. На этом этапе основной школы, учащиеся еще не могут получить полноценные представления о процентах, об их роли в повседневной жизни. На последующих этапах обучения повторного обращения к этой теме нет. В дальнейшем к этой тема обращаются при подготовке к экзаменам в 9 и 11 классах.
Уже на первых уроках надо стараться сделать тему «Проценты» практико-ориентированной, показать учащимся, что приобретенные математические знания применяются в повседневной жизни. Для мотивации изучения темы, содержание задач должно быть приближено к современной тематике и к жизненному опыту учащихся.
Начинается введение процентов с большого количества наглядных геометрических заданий: закрасить, заштриховать, вырезать часть фигуры.
Эти практические задания нравятся учащимся и помогают хорошо отработать понятие процента.
При введении понятия процентов необходимо объяснить, что это новая запись дробного числа и рассказать зачем это понадобилось[1].  Это можно сделать на примере сравнения двух обыкновенных дробей с разными знаменателями. Целесообразно пользоваться (хотя бы приближенным) выражением этих дробей с одинаковым знаменателем. Какое же число можно было бы использовать в качестве «универсального» знаменателя? Из потребностей десятичной системы счисления и метрической системы мер следует, что это может быть либо10, либо 100, либо 1000 и т.д. При выборе слишком маленький знаменатель, то точность окажется недостаточной, если слишком большой, то точность будет хорошей, но числители будут очень большие и неудобные для практических расчетов. Практика показывает, что число 100 наилучшем образом удовлетворяет всем запросам элементарным вычислениям. Но выбрать число 100 в качестве универсального знаменателя – это и означает, перейти к процентной записи дробных чисел.
Задачи на проценты относятся к текстовым задачам, в которых речь идёт о вкладах в банк, о прибыли, об изменении цены на товар, о преобразовании исходного материала (выпаривание, сушка) и т.д. Часто задачи на проценты входят составляющей частью в решение других типовых задач. Обучение решению этих задач является необходимым условием подготовки учащихся к жизни.
 
 
 
2.Некоторые типы задач на проценты.
2.1  Задачи на концентрацию.
Концентрация раствора - это процент, который составляет масса вещества в растворе от массы раствора.
Задача №1. В 200г. воды растворили 50г. соли. Какова концентрация полученного раствора?
Решение.
 1)200+50= 250 (г.) - масса раствора
 2)50:250∙100=20%
Ответ: 20%
Задача №2. Слиток сплава серебра с цинком весом в 3,5 кг содержал 76% серебра. Его сплавили с другим слитком и получили слиток весом в 10,5 кг, содержание серебра в котором было 84%. Сколько процентов серебра было во втором слитке?
Решение:

1. 3,5∙0,76=2,66 (кг)- масса серебра в первом слитке.
2. 10,5∙0,84=8,82 (кг)-масса серебра в новом слитке.
3. 8,82-2,66=6,16 (кг)-масса серебра во втором слитке.
4. 10,5-3,5=7 (кг)-масса второго слитка.
5. 6,16:7∙100=88%

Ответ: 88% серебра
Задача №3. 5 л сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 л 20–ти процентных сливок и к смеси добавили 1 л чистой воды. Какой жирности получилась смесь.
Решение.

1. 5∙0,35=1,75 (л) жира в 5л сливок.
2. 4∙0,2=0,8 (л) жира в 4л сливок.
3. 1,75+0,8=2,55(л) жира в смеси.
4. 5+4+1=10 (л) масса смеси.
5. 2,55:10∙100=25,5%

Задача №4. Сколько граммов воды надо прибавить к 80 г раствора, содержащего 15% соли, чтобы получить 12%ный раствор?
Рассмотрим схему где обозначим воду- Н₂О, количество воды, которое надо добавить- х г.
 

Составим уравнение:
Количество соли не изменилось, следовательно:
(х+80) ∙0,12=80∙0,15
0,12х+9,6=12
0,12х=12-9,6
0,12х=2,4
х=2, 4:0,12
х=20
Ответ: 20г
Задача №5.Сироп содержит 18% сахара. Сколько кило­граммов воды нужно добавить к 40 кг сиропа, чтобы содержание сахара составило 15%?
Решение.
1)                40∙0.18=7,2 (кг)-масса сахара в сиропе.
2)                40-7,2=32,8 (кг)-масса воды первоначально.
3)                7,2:0,15=48(кг)-масса нового сиропа.
4)                48-7,2=40,8 (кг)-масса воды в новом сиропе.
5)                40,8-32,8=8 (кг)-добавили воды.
 Ответ: 8 кг.
Задача №6. В 2кг молока содержится 180 г жира. Чему равен процент жирности молока?
Решение.
1)                2кг=2000г
2)                180 : 2000=0,09=9%
Ответ: 9%
Задача №7. Сколько литров воды нужно разбавить с 450г соли для получения раствора с концентрацией 15%?
Решение.
Пусть нужно х граммов воды разбавить с 450 г соли для получения раствора с концентрацией 15%. Тогда количество соли-0,15х г. По условию задачи соли 450г. Составим уравнение:
0,15х=450
х=450:0,15
х=3000
3000г=3л
Ответ: 3л
Задача №8. Количество сливок, получаемых из молока, равно 21%. Сколько сливок получиться, если использовать 50 литров молока?
Решение

1. 50:100=0,5(л)-1%
2. 0,5∙21=10,5(л)

Ответ: 10,5литров.
Задача№9. К 20 кг 12% -ного раствора соли добави­ли 3 кг соли. Сколько надо долить воды, чтобы кон­центрация соли в растворе не изменилась?
Решение
1)                0,12 • 20 = 2,4 (кг),-масса соли в растворе
2)                2,4 + 3 = 5,4 (кг). - масса соли в новом растворе
Пусть требуется долить х л воды. Тогда (20+3+х) л-масса нового раствора
3)               5,4: 0,12=45(кг)-масса нового раствора
4)                Составим уравнение:
20+3+х=45
х=22
Ответ: 22л
Задача № 10. (Нахождение процентного отношения)
В 400 кг сливочного мороженого содержится 60 кг сахара. Какого процентное содержание сахара в мороженом?
Мороженое: 400 кг – 100%
Сахар:           60 кг –  ? %
 Решение:
1)    400 : 100 = 4 (кг) – 1% мороженого
2)    60 : 4 = 15%
(т.е. смотрим сколько раз 1% содержится в 60 кг)
Ответ: 15%
Задача №11.К двум частям сахара прибавили три части воды. Какова концентрация полученного раствора?
Решение:
1)                2+3=5(частей)-весь раствор.
2)                2:5=0,4=40%
Ответ: 40%
Задача №12. Два килограмма соли растворили в 8 литров воды. Какова концентрация раствора?
Решение:
1)                2+8=10 (кг)-масса раствора.
2)                2:10=0,2=20%
Ответ: 20%
 
2.2 Задачи на усушку.
 Любой продукт- фрукты, овощи, грибы, крупа, хлеб и т.д. состоит из воды и сухого вещества. Причём воду содержат как свежие, так и сушенные продукты. В процессе высыхание уменьшается количество воды, а сухое вещество остаётся без изменения.
Задача №1.Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?
Решение:                     

1. 100-90=10 (%)-приходится на сухое вещество в свежих грибах.
2. 100-12=88(%)-приходится на сухое вещество в сухих грибах.
3.  22 ^. 0,1 = 2,2 (кг) - грибов по массе в свежих грибах;
4.  2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) - сухих грибов, получаемых из свежих.
   Ответ: 2,5 кг.

Можно организовать поиск решения задачи, анализ данных и условия, постепенно заполняя ячейки таблицы.

Вещество	Число процентов	Масса	Вещество	Число процентов	Масса
Свежие грибы			Сушеные грибы
Вода			Вода
Сухое вещество			Сухое вещество

 
 Прочитав первую часть задачи- «Свежие грибы содержали по массе 90% воды», ставим вопрос-какая величина здесь принята за 100%? Ответ: масса свежих грибов. Какую ещё информацию из этой части можно внести в таблицу? Ответ: вода составляет 90% массы свежих грибов. Запишем это в таблицу.

Вещество	Число процентов	Масса	Вещество	Число процентов	Масса
Свежие грибы	100%		Сушеные грибы
Вода	90%		Вода
Сухое вещество			Сухое вещество

 
Какую ещё ячейку можно заполнить? Ответ: последнюю ячейку в этой таблицы. Ясно, что на сухое вещество приходится 10% массы свежих грибов.

Вещество	Число процентов	Масса	Вещество	Число процентов	Масса
Свежие грибы	100%		Сушеные грибы
Вода	90%		Вода
Сухое вещество	10%		Сухое вещество

 
Прочитаем вторую часть задачи- «а сухие 12%.». Какая величина здесь принята за 100%? Масса сушеных грибов. Укажем её. Какие ещё ячейки можно заполнить? Ответ: две другие в том же столбце. В сушеном грибе содержится 12% воды, тогда сухого вещества-88%. Заполним таблицу.

Вещество	Число процентов	Масса	Вещество	Число процентов	Масса
Свежие грибы	100%		Сушеные грибы	100%
Вода	90%		Вода	12%
Сухое вещество	10%		Сухое вещество	88%

 
В следующей части задачи задан вопрос: «Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?». Какие данные можно внести в таблицу? Ответ: масса свежих грибов 22 кг. Так же можно найти массу воды и массу сухого вещества. (22:10=2,2кг; 22-2,2=19,8кг)

Вещество	Число процентов	Масса	Вещество	Число процентов	Масса
Свежие грибы	100%	22кг	Сушеные грибы	100%
Вода	90%	19,8кг	Вода	12%
Сухое вещество	10%	2.2кг	Сухое вещество	88%

 
Масса сухого вещества в процессе высыхания не меняется.  Какую ячейку можно заполнить? Ответ: последнюю ячейку (масса сухого вещества в сушеных грибах).

Вещество	Число процентов	Масса	Вещество	Число процентов	Масса
Свежие грибы	100%	22кг	Сушеные грибы	100%
Вода	90%	19,8кг	Вода	12%
Сухое вещество	10%	2,2кг	Сухое вещество	88%	2,2кг

Теперь можно ответить на вопрос задачи.
Для этого надо 2,2 умножить на 0,88 и завершить заполнение таблицы.

Вещество	Число процентов	Масса	Вещество	Число процентов	Масса
Свежие грибы	100%	22кг	Сушеные грибы	100%	2,5 кг
Вода	90%	19,8кг	Вода	12%
Сухое вещество	10%	2,2кг	Сухое вещество	88%	2,2кг

При анализе условия задачи была заполнена таблица и получен ответ на вопрос. Записывая решение задачи, учащиеся еще раз проходят весь путь рассуждений.
Задача №2. Влажность купленного арбуза составила 99%. В результате длительного хранения влажность снизилась до 98%. Как изменилась масса арбуза? 
Решение.
Свежий арбуз на 99% процентов состоит из жидкости и на 1% – из сухой массы. В результате усушки количество жидкости уменьшилось и составило 98% от новой, также уменьшившейся массы арбуза. Количество же сухого вещества, оставаясь неизменным, составило 2% от новой массы арбуза. Процентное содержание в арбузе сухого вещества (при неизменной его массе) увеличилось вдвое.  Следовательно, масса арбуза в результате усушки уменьшилась вдвое.
Задача №3. На складе было 200 кг ягод. Анализ показал, что в ягодах 99% воды. Через некоторое время часть воды испарилась, и её процентное содержание в ягодах упало до 98 %. Сколько теперь весят ягоды?
Решение:
Решая задачи, в которых речь идёт о свежих и сухих фруктах, как правило, следует найти массу сухого вещества, которая остается неизменной.
1) Найдем массу сухого вещества в ягодах.
100%-99% =1% -процентное содержание сухого вещества в ягодах;
200: 100 = 2(кг) – масса сухого вещества.
2) 100%-98% =2% – процентное содержание сухого вещества в ягодах после испарения части воды;
3) Найдем новую массу ягод. Т.к. 2% равны 2 кг, имеем
2:0,02 =100(кг)
Ответ: 100 кг
Задача №4. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием 75% воды?
Решение.
1)100-85=15(%)-сухое вещество.
2) 500∙0,15=75(кг)-сухое вещество.
3) 500-75=425(кг)-масса воды.
4)100-75=25(%)-сухое вещество после выпаривания.
5) 75: 0,25=300(кг)-масса целлюлозы после выпаривания.
6) 300-75=225(кг)-масса воды после выпаривания.
7) 425-225=200(кг)-масса выпаренной воды.
Ответ: 200 килограммов.
Задача №5. Зерна кофе при обжарке теряют 12% своей массы. Сколько свежего кофе надо взять, чтобы получить 2,2 кг жареного?
Решение.
1)                100-12=88(%)-сухое вещество (жареный кофе).
2)                2,2 : 0,88=2,5 (кг)
 Ответ 2,5 кг
Задача №6.Вода составляет 76% картофеля. Сколько килограммов воды в 25 кг картофеля?
Решение.
По правилу нахождение процентов от числа
25 ∙0,76=19(кг)
Ответ: 19кг
Задача№7.Если из 10 кг абрикосов получается 8 кг кураги, содержащей 42% воды, то сколько процентов воды содержат свежие абрикосы?
Решение.
1). 100-42=58%-сухого вещества в кураге.
2). 8∙ 0,58=4,64 (кг)-сухого вещества.
3) 10-4,64=5,36 (кг)-воды в абрикосах.
4) 5,36 : 10=0,536=53,6%-воды в абрикосах.
Ответ: 53,6%
Задача№8. (самостоятельно)Пчёлы перерабатывают цветочный нектар в мёд, освобождая его от воды. Нектар обычно содержит 84% воды, а полученный из него мёд -20%. Сколько килограммов нектара приходится перерабатывать пчёлам для получения одного килограмма мёда? Ответ: 48т.
Задача№9.Трава при высыхании теряет около 28% своей массы. Сколько было накошено травы, если из нее было получено 2,88 т сена?
Решение. Заполним таблицу по условию задачи:
 

	Масса, в т	Содержание, в %
Трава	Х	100 10-2
Сено	2,88	100-28=72 100-12

Зависимость прямо пропорциональная. Составим и решим пропорцию
=
 откуда   Х=
  Ответ: 4т.
 
2.3 Задачи на скидки, акции
 
Скидка- сумма, на которую снижается продажная цена товара, реализуемая покупателю.
Распродажа- реализация какого-нибудь товара по сниженным ценам.
Задача №1 Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%?
Решение: Пусть цена товара х р.
1) х + 0,25х = 1,25х(р.) -цена товара после повышения
2) 1,25х - 0,25^.1,25х = 0,9375х(р.) -цена товара после понижения.
3) х - 0,9375х = 0,0625х(р.) -новая цена товара
4)
Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%.
Задача №2 В двух магазинах молоко стоило одинаково.В одном магазине молоко подешевело на 40%, а в другом- сначала на 20%, а затем на ещё на 25%. Где молоко стало стоить дешевле?
Решение.
Пусть вначале молоко стоило х р.

1. 100-40=60(%)
2. Х∙0,6=0,6х(р)-стоимость молока в первом магазине после понижения.
3. 100-20=80(%)
4. Х∙0,8=0,8х(р)-стоимость молока во втором магазине после первого понижения
5. 100-25=75(%) (За 100% принимаем 0,8Хр)
6. 0,8Х∙0,75=0,6х(р)-стоимость молока во втором магазине после второго понижения.

Ответ: молоко вновь стоит одинаково.
Задача №3 Товар подешевел на 25%. На сколько процентов больше можно купить товара за те же деньги? Ответ округлите до целых.

1.  

Товар подешевел на 25%. Следовательно, весь купленный товар можно купить, истратив 75% денег. На оставшуюся сумму (25%) можно купить еще на  больше.

1. 100-25=75(%)
2. 25:75=
3.  ∙100%≈33%

Ответ: больше на 33%
Задача №4 Тетрадка летом стоила 44 рублей. Перед началом учебного года, продавец повысил цену на 25%. Однако, тетрадки стали покупать так плохо, что он снизил цену на 10%. Всё равно не берут! Пришлось ему снизить цену ещё на 15%. Какова была окончательная цена тетрадки? Ответ округлите до целого.

1.  

1. 100+25=125(%)-после повышения.
2. 44∙1,25=55(руб.)-стоимость тетради после повышения.
3. 100-10=90(%)-после первого понижения. (100% это 55руб.)
4. 55∙0,9= 49,5(руб.) -стоимость тетради после первого повышения.
5. 100-15=85(%)-после второго понижения. (100% это 49,5 руб.)
6. 49,5∙0,85=42,075 ≈43(руб.)

Ответ:43 рубля.
Задача №5. В течение января цена на яблоки выросла на 30%, а в течение февраля – на 20%. На сколько процентов поднялась цена за 2 месяца?
Решение:
 Повышение на 30% подсчитываются от цены в конце декабря, а повышение на 20% - от другой величины, цены на конец января.
Поэтому будем рассуждать последовательно, обозначив для удобства первоначальную цену Х. В конце января она стала равна 1,3Х, а в конце февраля – 1,2 * (1,3Х) = 1,56Х. Следовательно, она выросла на 56%.
Решение можно записать так:
Пусть Х – первоначальная цена.
1)1,3Х – цена в конце января (130% от S).
2)1,2 ∙ (1,3Х) = 1,56Х – цена в конце февраля (120% от 1,3S).
3)1,56Х составляет 156% от Х.
156% - 100% = 56%
Ответ: за 2 месяца цена выросла на 56%.
Задача№ 6 Флакон шампуня стоит 80 рублей. Какое наибольшее количество флаконов можно купить на 500 руб. во время распродажи, когда скидка составляет 25%?

1.  

1. 80∙0,25=20(руб.) -скидка.
2. 80-20=60(руб.) -новая цена.
3. 500:60=8,(3)

Ответ: 8 флаконов.
Задача№7 Ту­ри­сти­че­ская фирма ор­га­ни­зу­ет трех­днев­ные ав­то­бус­ные экс­кур­сии. Сто­и­мость экс­кур­сии для од­но­го че­ло­ве­ка со­став­ля­ет 8500 р. Груп­пам предо­став­ля­ют­ся скид­ки: груп­пе от 3 до 10 че­ло­век  — 5%, груп­пе более 10 че­ло­век —  10%. Сколь­ко за­пла­тит за экс­кур­сию груп­па из 6 че­ло­век?
Решение.
6 человек получат скидку 5%.

1. 100-5=95%
2. 8500∙0,95=8075(руб.) -стоимость одной путёвки.
3. 8075∙6=48450(руб.) -стоимость экскурсии.

Ответ: 48450 руб.
Задача № 8.В магазине «Шаговой доступности» батон хлеба стоит 25 руб., а в супермаркете цена такого же батона – 22 руб.
Определите:

1. На сколько процентов дешевле продается батон в супермаркете, чем в магазине?
2. На сколько процентов батон хлеба в магазине дороже, чем в супермаркете?
3.  

1) По условию цена «дешевого» батона сравнивается с ценой «дорогого».
В таких задачах всегда за 100% принимают то, с чем сравнивают. 100% – батон в магазине:
1. 22 : 25 ^. 100= 88 %
2.100%-88%=12% – продается дешевле в супермаркете
2) На этот раз «дорогой» батон сравнивается с «дешевым». Значит 100% – батон в супермаркете:
 1. 25 : 22 ^. 100≈113,6%
  2. 113,6% – 100% = 13,6% – продается дороже в магазине
Ответ: в супермаркете батон на 12 % дешевле, чем в магазине; в магазине батон на 13,6% дороже, чем в супермаркете.
 
3. Список литературы.
1. Депман И.Я., Н.Я. Виленкин. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1989.

You have no rights to post comments