Образовательный портал

План открытого занятия

Решение тригонометрических уравнений

Свеженцева Маргарита Петровна

занятие спаренное (2 по 45 минут)

I. Цели занятия:

Основная цель занятия:  Обобщение и систематизация, имеющиеся у студентов знания о методах решения тригонометрических уравнений.
	Цели по уровням познавательной деятельности	Формулировка целей и задач занятия
1.	Знать	-общие методы решения уравнений -формулы корней простейших тригонометрических уравнений
2.	Понимать	определять  вид тригонометрического уравнения
3.	Применять	алгоритмы решения тригонометрические уравнения
4.	Анализировать	анализировать и находить общие решения
5.	Синтезировать	применять имеющиеся знания для решения новых видов уравнений
6.	Оценивать	оценивать полученный результат

 

 

II. Оборудование:

1.    Технические средства:   мультимедийный комплекс

2.    Дидактический материал: таблицы, карточки, справочный материал

3.    Литература:

1.           Богомолов И.В., Сергиенко Л.Ю. «Сборник дидактических заданий по математике. М., Высшая школа, 2007

2.           Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. «Контрольные и проверочные работы по алгебре 10-11 классы» М., Дрофа, 2001

3.            Ивлев Б.М. «Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа». М., Просвещение, 2008

4.           Ивлев Б.М., Саакян  С.М., Шварцбурд С.И. «Дидактические материалы по алгебре и началам анализа. 10 класс». М., Просвещение, 2008

5.           Мордкович А.Г. «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» М., Мнемозина, 2001

6.           Щукина В. «Репетитор. Математика. Физика» М., НПО Перспектива, 1993

7.           http://www.falto.ru/article/article4_1.html

 

 

III. Ход занятия.

 

3.1. Организационный момент (2 мин)

Приветствие. Рассаживание по группам. Распределение ролей в группе.

 

3.2. Сообщение темы урока и плана работы ( 3 мин.)

 

- Тема урока:  «Решение тригонометрических уравнений»

-Сегодня мы повторяем, приводим в систему знания по решению тригонометрических уравнений. И ваша задача – показать свои знания и умения по их решению.

- план занятия

№	Этап  и примерное время	Форма работы
	Повторение темы: (20мин. )	Устная работа
	Основная часть занятия (35мин	Работа вгруппах
	Закрепление материала.(20мин	Индивидуальная с/р
	Домашнее задание (5 мин)
	Подведение итогов работы на занятии (5 мин)	Обсуждение

 

 

3.3. Повторение темы: (23мин)

3.3.1.  Вводно-мотивационная часть

 

Задачи этапа:актуализировать опорные знания и умения учащихся, которые будут использованы на уроке.

Форма  этапа: устная работа в игровой форме

Содержание этапа:

 

Задание-1

Первый вопрос адресуется студенту первой группы, если он правильно отвечает на вопрос, то он называет следующего отвечающего из второй группы, если отвечающий затрудняется ответить на вопрос, то он передает его другому студенту, назвав его имя  (правильно ответивший на вопрос, в лист контроля ставит 1балл)

Вопросы для учащихся	Предполагаемые ответы
Какие уравнения называют тригонометрическими?	Уравнения, в которых переменная  стоит под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.
Приведите примеры простейших тригонометрических уравнений?	cos x = a; sin x = a; tg x = a; ctg x = a
Сколько корней может иметь тригонометрическое уравнение?	Тригонометрические уравнения имеют множество корней в силу периодичности тригонометрических функций.
Что значит решить тригонометрическое уравнение?	Найти множество корней или убедиться что корней нет.
В уравнениях cosx= a; sinx= a;  оцените число а?	Если >1, то корней нет Если   ≤1, формула корней
Как решаются простейшие тригонометрические уравнения.	Для решения простейшего тригонометрического уравнения применяем формулы нахождения корней.
По какой формуле находятся корни уравнения cosx= a?	Корни уравнения cosx= aнаходятся по формуле x =  arccos a + 2; n Z
По какой формуле находятся корни уравнения sinx= a?	Корни уравнения sinx= aнаходятся по формуле x=(-1)karcsin a + k Z
По какой формуле находятся корни уравнения tgx= a?	Корни уравненияtgx= aнаходятся по формуле x = arctg a + ; n Z
По какой формуле находятся корни уравнения ctgx= a?	Корни уравнения sinx= aнаходятся по формуле x = arcctg a + ; n Z
Как называются уравнения вида   и  ?	Уравнения данного вида называются однородными тригонометрическими уравнениями.

 

 

Задание-2

Найти ошибки в решениях тригонометрических уравнений:

(±)                           (-1^k)                 πk)     

                                                                            

       (верно)                               (πk)

 Ответы сверяются с образцом (за каждый верный  ответ 1балл) ивносятся заработанные баллы в листок учета знаний.

 

 

Задание–3

 Используя основные формулы тригонометрии, упростите выражение:

На экране проецируется задание, затем появляются ответы

А) (sin a – 1) (sin a + 1) Б) sin2 a – 1 +  cos2 a В) sin2 a + tg a ctg a +  cos2 a Г)  √1- 2 tgх + tg2х

Ответы - cos2 a 0 2  |1- tg х|

  Повторение(чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

Задачи этапа:обеспечивать развитие у учащихся общеучебных умений и навыков: умение анализировать, синтезировать, сравнивать, обобщать, поиск способов решения,отрабатыватьнавыки самооценивания знаний и умений, выбора разноуровневого задания.

Содержание этапа:

Вспомним свойства четности и нечетности тригонометрических функций, значения тригонометрических функций для различных углов поворота, применение формул приведения

Студенты формулируют свойства четности и нечетности, правило применения формул приведения, называют значения тригонометрических функций для различных углов поворота.

Предлагается самостоятельная работа в 2 вариантах с последующей взаимопроверкой правильности ее выполнения.

1.    Найдите значения тригонометрических выражений:

На экране проецируется задание.

1 вариант		2 вариант
sin (-π/3) cos  2π/3 tg  π/6 ctg π/4 cos (-π/6) sin 3π/4	Ответы - √3/2 -  1/2   √3/3      1   √3/2   √2/2	cos  (-π/4 ) sin π/3 ctg π/6 tg π/4 sin  (-π/6) cos 5π/6	Ответы   √2/2   √3/2  √3     1   - 1/2  - √3/2

Проверка ответов и оценка своей работы согласно шкале: 

 

количество верных ответов	Критерий оценивания
6	+
5	+ -
4	_ +
< 4	-

На экране проецируются ответы

Вспомним определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Студенты дают определения обратных тригонометрических функций, обращая внимание на область определения и множество значений.

  Выполняем следующую работу также самостоятельно.

2.    Вычислите:

На экране проецируется задание.

1 вариант		2 вариант
arcsin   √2/2 arccos  1 arcsin (- 1/2 ) arccos (- √3/2) arctg  √3	Ответы   π/4  0  - π/6     5π/6    π/3	arccos   √2/2 arcsin 1 arccos (- 1/2) arcsin (- √3/2) arctg  √3/3	Ответы   π/4   π/2   2π/3   -  π/3    π/6

 

Учитель:  Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:                                                                                    

количество верных ответов	Критерий оценивания
5	+
4	+ -
3	_ +
< 3	-

  На экране проецируются ответы

 

 

3.4.  Основная часть занятия

Задача этапа: систематизировать и обобщить известные методы решения тригонометрических уравнений

Форма этапа: работа в группах

 Напомните, пожалуйста, формулы решения уравнений вида sinx=а,  cosx= а, tgх=а.

Студенты называют формулы решения простейших тригонометрических  уравнений

sinx =а	х = (-1)karcsin а + πk,  k  Z
cosx = а	х = ±  arccos а + 2 πk,  k  Z
tg х = а	х = arctg а + πk,  k Z.

Каждая группа получает карточки с уравнениями одного вида.

 Задания:

1.    Решить уравнения, сверить результаты с информационным листом преподавателя и оформить решения.

2.    Записать алгоритм решения и оформить.

3.    Подготовить и продумать представление «продукта»

 

Первая группа:

 2cos² x– cos x– 1 = 0.

2sin² x + sin x – 1 = 0.

 2cos² x + cos x – 1 = 0.

 4sin² x– 4sin x+ 1 = 0.

Вторая группа:

sin 2x= –cos 2x.

 sin 2x+ cos 2x= 0.       

cos x– 3sin x= 0.

Третья группа:

sin² x – 4sin x cos x + 3cos² x = 0.

sin² x + 4sin x cos x + 3cos² x = 0.

2sin² x + 2sin x cos x = 1.

2sin² x – 5sin x cos x + 3cos² x = 0.

Четвертая группа:

 

После окончания работы каждая группа представляет результат своей работы.

Обсуждается разработанный алгоритм решения данного вида уравнения, который записывается в памятки.

         

          Закрепление  материала (20мин)

Задача этапа: практическое применение приобретенных умений и навыков.

Форма этапа: индивидуальная самостоятельная  работа

 

На экране проецируется задание.

1 вариант		2 вариант
2 cos2х + 5 sin х - 4=0   cos 2х + cos х =0     √2 sin (x/2) + 1 = cos х	Ответы (-1)kπ/6 + πk, k Z    π + 2πk, k  Z ± π/3 + 2 πn, n  Z    2 πk, k  Z (-1)k π/2+2πn,n   Z	3 sin x - 2 cos2x =0    cos 2x + sin x =0     √2cos(x/2) + 1=cosx	Ответы (-1)kπ/6 + πk, k  Z   π/2 + 2πk, k  Z (-1)k+1 π/6 + πn, n  Z    π + 2πk, k  Z ±  π/2 + 4πn, n  Z

На экране проецируются ответы

 

3.6. Домашнее задание (5 мин)

Информация о домашнем задании.

Задачи этапа: сообщить  учащимся о домашнем задании, обеспечить понимание цели, содержания и способов решения.

Содержание этапа:

1.    Составить опорный конспект «Решение тригонометрических уравнений».

2.    Для закрепления навыков решения тригонометрических уравнений  выполните задания следующего содержания:

1 вариант	2 вариант
3 sin x+ 5 cos x = 0 5 sin2 х  - 3 sinх  cos х- 2 cos2х=0  3 cos2х + 2 sin х cos х =0 5 sin2 х  + 2 sinх  cos х - cos2х =1 2 sin x -  5 cos x = 3 1- 4 sin 2x + 6 cos2х  = 0	2 cos x+ 3 sin x = 0 6 sin2 х  - 5 sinх  cos х+ cos2х=0  2 sin2 x – sin x  cosx =0 4 sin2 х  -  2sinх  cos х - 4 cos2х =1 2 sin x - 3 cos x = 4 2 sin2 х  -  2sin 2х  +1 =0

3.    Для желающих:

1.  введением нетрадиционной замены решите  симметричное тригонометрическое уравнение   cos⁶х  + sin⁶х   = 16 sin²х  cos²х ;

2. выражение sin³х  + 3 sinх  - 4 разложить на множители различными способами;

3. методом разложения на множители решите тригонометрическое уравнение

sin³х  + 3 sinх  - 4 = 0

 

3.7. Подведение итогов работы на занятии (выставление оценок, комментарии преподавателя) (5мин)

 Рефлексивно-оценочная часть урока.

Задачи этапа: дать качественную оценку работы каждого ученика по выполнению самостоятельной работы и оценку работы группы.

 

3.7.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

Содержание этапа:

Оцените свою работу на уроке.  Вы  самостоятельно выполнили   упражнений:

1 – находили значения тригонометрических функций;

2 – находили значения обратных тригонометрических функций;

3 – решение уравнений по известным алгоритмам;

Найдите  сумму баллов.

3.7.2.  Обсуждение результатов групповой работы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.8. Приложения (наглядный, дидактический материал, раздаточный материал, структура презентации)

                                                                       

Приложение-1

 

     Простейшиетригонометрические уравнения 

   

Уравнение	а	Формулы решения	Частные случаи
sin x=a	|a|	Нет решения	-
	|a|	х=(-1)n arksin a+	sin x=0;   x=
			sin x =1; x=
			sin x =-1; x=
cos x=a	|a|	Нет решения	-
	|a|	x=±arccos a + πk,k	cosx=0, x=
			cosx=1, x=
			cosx=-1, x=π+
tgx=a	a-любое число	x=arctg x +πk, k	-
ctgx=a	a-любое число	x=arcctg x +πk, k	-

 

 

Приложение-2

 

Виды тригонометрических уравнений и способы их решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение-3

   

        

   Значения тригонометрических функций       

 некоторых углов      

 

аргумент         функция	0
	00	300	450	600	900	1200	1350	1500	1800	2700	3600
sin	0				1				0	-1	0
cos	1				0	-	-	-	-1	0	1
tg	0		1		-		-1	-	0		0
ctg	-		1		0	-	-1		-	0	-

 

 

Приложение-4

 

Формулы половинных, тройных и четверных углов

 

Аргумент   Функция		3α	4α
	±	3	4sin 4cos
Cos	±	4 cos

 

                                                                                 

 

 

      Приложение-5

Рекомендации по решению тригонометрических уравнений

1. Если аргументы функций одинаковые, попробовать получить одинаковые функции, использовав формулы без изменения аргументов.
2. Если аргументы функций отличаются в два раза, попробовать получить одинаковые аргументы, использовав формулы двойного аргумента.
3. Если аргументы функций отличаются в четыре раза, попробовать их привести к промежуточному двойному аргументу.
4. Если есть функции одного аргумента, степени свыше первой, попробовать понизить степень, используя формулы понижения степени или формулы сокращенного умножения. Например,
   
5. Если есть сумма одноименных функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2,3), попробовать преобразовать сумму в произведение для появления общего множителя.
6. Если есть сумма разноимённых функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2, 3), попробовать использовать формулы приведения, получить затем случай 5.
7. Если в уравнении есть произведение косинусов (синусов) различных аргументов, попробовать свести его к формуле синус двойного аргумента, умножив и разделив это выражение на синус (косинус) подходящего аргумента:

1. Если в уравнении есть числовое слагаемое (множитель), то его можно представить в виде значений функции угла. Например:

 

Приложение-6

Лист планирования

 

Номер группы
Тема
Роли учащихся в группе
Руководитель группы
Служба учета времени
Организатор (менеджер проекта)
Оформители
Докладчик

 

 

 

 

 

Приложение-7

Оценочный лист

 

 

	1-я группа	2-я группа	3-я группа	4-я группа
Защита
Докладчик владеет терминологией, которую использует
Докладчик смог доказать, что разработанный группой алгоритм оптимален для решения поставленной задачи
Группа смогла ответить на все вопросы, поставленные конкурентами и преподавателем
Положительные моменты работы группы
Недостатки в работе группы
Пожелания

 

 

 

 

 

Лекционный материал к занятию

 

Основные методы решения тригонометрических уравнений.

 А) Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам.

 а) тригонометрические уравнения, приводимые к линейным или квадратным:

Asin² х + В sin х + С =0 или

Asin² х + В cos х + С =0

Решим уравнение:

sin² х + 5 sin х - 6 =0.

Учащиеся решают уравнение,  вводят замену sin х = z, решая квадратное уравнение

 z² + 5 z - 6 = 0, находят z₁  = 1; z₂  = -6

Решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х =  π/2  +2 πk, k Z.

Уравнение sin х = - 6 не имеет решения, так как  -6 не принадлежит  Е ( sin х ),

                                                                         т.е.   -6  не принадлежит  [-1; 1]

Учитель: При решении  уравнения вида Asin² х + В cos х + С =0 вводим замену sin² х  = 1 - cos² х, а затем решаем уравнение способом, аналогичным предыдущему.

Решите уравнение    2 sin² х + 3 cos х -3 =0.

Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin² х  = 1 - cos² х, получили        

   2 (1 - cos² х) +3 cos х -3 =0.

 - 2 cos² х + 3 cos х - 1 = 0   | (-1)

    2 cos² х  - 3 cos х  + 1 = 0 

 Замена cos х= t

Решая квадратное уравнение 2 t² - 3t +1 = 0,

 находят t₁  = 1; t₂  = 0,5

Решением уравнения cos х = 1 являются числа вида х = 2 πk, k  Z.

Решением уравнение cos х = 0,5 являются числа вида  х =  ± arccos0,5+ 2πn,  n  Z.

 

 На экране проецируется задание.

На оценку	1 вариант		2 вариант
«3»   «4»       «5»	2 cos2х + 5 sin х - 4=0   cos 2х + cos х =0     √2 sin (x/2) + 1 = cos х	Ответы (-1)kπ/6 + πk, k Z    π + 2πk, k  Z ± π/3 + 2 πn, n  Z    2 πk, k  Z (-1)k π/2+2πn,n   Z	3 sin x - 2 cos2x =0    cos 2x + sin x =0     √2cos(x/2) + 1=cosx	Ответы (-1)kπ/6 + πk, k  Z   π/2 + 2πk, k  Z (-1)k+1 π/6 + πn, n  Z    π + 2πk, k  Z ±  π/2 + 4πn, n  Z

На экране проецируются ответы

 

б) однородные тригонометрические уравнения.

Рассмотрим самое простое однородное тригонометрическое уравнение первой степени:                               Asinx+ Bcosx = 0. Разделив обе части уравнения на  cosx ≠ 0, получим уравнение вида  tgx = С.

Решите уравнение  2 sinx+ 3 cosx = 0.

Учащиеся решают уравнение.

2 sinx+ 3 cosx = 0 | : cosx ≠ 0

2 tgx + 3 =0

tgx = -1,5

х= arctg (-1,5) + πk,  kZ  или  х = - arctg 1,5 + πk,  k  Z

   Теперь рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение второго порядка: А sin² х + В sinх cos х + С cos²х = 0. Разделив обе части уравнения на  cos² x ≠ 0, получим уравнение вида  А tg²x + В tgx + С = 0. Такого вида уравнения мы уже рассматривали.

Решите  уравнение 2 sin² х  - 3 sinх  cos х - 5 cos²х =0 

Решение  уравнения:  2 sin² х  - 3 sinх  cos х - 5 cos²х =0

                           2 sin² х  - 3 sinх  cos х - 5 cos²х =0  | : cos²х ≠ 0

                           2 tg²x - 3 tgx - 5 = 0

      замена    tgx = t

                             2 t² – 3 t – 5 =0

                              t₁  = -1;  t₂  = 2,5

Решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = -π/2 + πk , k  Z.

Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида  х = arctg 2,5+ πn,  n Z.

 К  однородным уравнениям после применения формул тригонометрии могут быть сведены различные тригонометрические уравнения, которые первоначально не были однородными.

Рассмотрим уравнение: А sin² х  + В sinх  cos х + С  cos²х = D, преобразуем данное уравнение А sin² х  + В sinх  cos х + С  cos²х =D (sin² х  +   cos²х)

или           (А –D) sin² х  + В sinх cos х + (С-D)  cos²х =0.

Уравнение Asinx+ Bcosx = С также не является однородным. Но после выполнения ряда преобразований данное уравнение становится однородным уравнение второго порядка:

      A sin x+ B cos x = С

       A sin 2 (x/2) + B cos 2(x/2)  = С

       2 A sin(x/2)  cos(x/2)   + В(cos²(x/2)  - sin²(x/2)  )= С(sin²(x/2)   +   cos²(x/2)).  А теперь  выберите два уравнения и   самостоятельно решите их.

 

 

 

 На экране проецируется задание.

1 вариант	2 вариант
3 sin x+ 5 cos x = 0 5 sin2 х  - 3 sinх  cos х- 2 cos2х=0  3 cos2х + 2 sin х cos х =0 5 sin2 х  + 2 sinх  cos х - cos2х =1 2 sin x -  5 cos x = 3 1- 4 sin 2x + 6 cos2х  = 0	2 cos x+ 3 sin x = 0 6 sin2 х  - 5 sinх  cos х+ cos2х=0  2 sin2 x – sin x  cosx =0 4 sin2 х  -  2sinх  cos х - 4 cos2х =1 2 sin x - 3 cos x = 4 2 sin2 х  -  2sin 2х  +1 =0

 

На экране проецируются ответы

	1 вариант	2 вариант
«3»     «4»     «5»	- arctg 5/3+ πk,  k  Z. π/4 + πk;   - arctg 0,4 + πn,   k, n  Z.   π/2 + πk;   - arctg 1,5 + πn,   k, n  Z. π/4 + πk;   - arctg 0,5 + πn,   k, n Z.    arctg ( - 1 ±√5) + πk,   k  Z. π/4 + πk;    arctg 7 + πn,   k, n  Z.	- arctg 2/3+ πk,  k  Z. arctg 1/3+ πk;    arctg 0,5 + πn,   k, n  Z.   πk;    arctg 0,5 + πn,   k, n   Z. -π/4 + πk;   - arctg 5/3 + πn,   k, n   Z.   arctg ( 2 ±√11) + πk,   k   Z. π/4 + πk;    arctg 1/3 + πn,   k, n   Z.

 

Б) различные  алгоритмы решения уравнений вида Asinx+ Bcosx = С

  1) переход к половинному аргументу мы рассмотрели ранее.

  2) использование универсальной подстановки

      

                       2 tgx/2                                     1 - tg² x/2

          sinх= -------------------      ,  cos х=  -----------------------

                     1 + tg² x/2                                 1 + tg² x/2

 3) введение вспомогательного угла

         Asinx+ Bcosx = С | :    √A² + B² ≠ 0

 

             A      sin x  +            В         cos x  =       С      .

      √A² + B²                     √A² + B²                          √A² + B²

 

 Если         A     = cos β, то          A     = sin β, получим

           √A² + B²                          √A² + B²                     

cos β · sin x  + sin β · cos x  =      С    , откуда sin (x + β) =        С        или

                                                 √A² + B²                                          √A² + B²                        

 x = (-1)^k arcsin     С         - β + πk,   k   Z.

                        √A² + B²                                         

2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

Задачи этапа: организовать деятельность учащихся по применению знаний, умений и навыков при решении тригонометрических уравнений незнакомыми способами.

Содержание этапа:

А) введением нетрадиционной замены при решении симметричных тригонометрических уравнений

Введем понятие симметричного уравнения

Пусть R (х; у) – выражение, которое рационально зависит от х и у. Такое выражение называют симметричным, если R (х; у) =  R (у; х).

Рассмотрим уравнение  4 sinх  - 6 sinх  cos х + 4  cosх + 1 = 0 ,

т.к. (sin x + cos x)² = 1 + 2 sin x  cos x, то  sinx ·cos x =  (sin x + cos x)² - 1   , получим

                                                                                                        2

4 sinх  + 4  cosх-  6   (sin x + cos x)² - 1   + 1 = 0 ,

                                               2

4 sinх  + 4  cosх  -  3  ( (sin x + cos x)² – 1) + 1  = 0 ,

Введем обозначение  t = sinx + cosx, получим

4 t – 3 (t² -1) + 1  = 0

– 3 t²  + 4 t + 4 = 0

3 t²  - 4 t - 4 = 0 . Решая квадратное уравнение, найдем t₁   =  2, t₂  = -2/3, после чего переходим к решению уравнений sinх  +  cosх    = 2   и   sinх  +   cosх  = -2/3

Б) методом разложения на множители.

Вспомним использование данного метода при решении известного вида уравнений:

sinх  +  sin3 х  + sin5 х = 0

 сгруппируем слагаемые:

  (sinх  +  sin5 х)  + sin3 х   = 0

2 sin  3х  cos 2х  +  sin  3х  = 0

sin  3х   ( 2 cos 2х + 1 ) = 0

переходим к решению простейших тригонометрических уравнений:

sin  3х  = 0     или      2 cos 2х + 1 = 0

                                   cos 2х  = - 1/2

Рассмотрим более сложное уравнение, решаемое методом разложения на множители:

4 sin³ х  + 3 sin  х  - 7 = 0.

Легко можно заметить, что 4 + 3 = 7 или   4 ·1³   + 3 · 1  - 7 = 0.

Выполним преобразование

4 sin³ х  + 3 sin  х   - 7 – (4 · 1³   + 3 · 1   - 7 ) = 0

или  4 ( sin³ х  - 1 )  + 3 ( sin  х  - 1 )  = 0 .

Разложим на множители:   4 ( sin х  - 1 )  ( sin² х   + sin  х  +1 ) + 3 ( sin  х  - 1 ) =0

                                                ( sin  х  - 1 )   ( 4 ( sin² х   + sin  х  + 1) + 3 ) = 0

                                                ( sin  х  - 1 )   ( 4  sin² х   + 4  sin  х  + 4 + 3 ) = 0

                                                ( sin  х  - 1 )   ( 4  sin² х   + 4  sin  х  + 7 ) = 0, откуда

                                                   sin  х  - 1  = 0            или           4  sin² х   +4  sin  х  + 7  = 0

                                                 х = π/2 + 2пk,  k Z                           решений нет

 

В) методом оценки левой и правой частей.

Рассмотрим уравнение sinx/4   + 2 cos (x- 2 π)/3   = 3

Вспомним, что            – 1 ≤ sin     ≤ 1

                                – 2 ≤  2 cos  (x-2 π)/3  ≤ 2

                           -----------------------------------

                          – 3 ≤  sinx/4  +  2 cos(x-2 π)/3  ≤ 3.

 Исходное уравнение будет иметь решение тогда  и только тогда, когда одновременно выполняются равенства:

sin  x/4    = 1  и   2 cos (x-2 π)/3 = 2  или

sin  x/4    = 1 

cos (x-2 π)/3 = 1  .   Решая уравнение sinx/4    = 1 , получим х = 2 π+ 8πn,   n  Z.

                                 Решая уравнение cos (x-2 π)/3 = 1 , имеем  (x-2 π)/3 = (2 π+ 8πn - 2 π)/3. Или (x-2 π)/3 = 8πn /3. Итак, cos 8πn /3 = 1.

Это возможно только в тех случаях, когда, n  делится нацело на 3, т.е.  n = 3 k, k  Z.

Значит,  решением исходного уравнения являются числа вида  х = 2 п + 24