Образовательный портал

Умножение разности двух выражений на их сумму.
Квадрат разности

Клочкова Ольга Анатольевна,
учитель математики ГБОУ № 559
Санкт-Петербурга

 

Тип урока: урок изучения нового материала

Цели урока:

1. Организовать деятельность учащихся на самостоятельный вывод формулы разности квадратов.

2. Выработать умение распознавать формулу разности квадратов в различных ситуациях, выделять эту формулу из других выражений, применять ее при преобразовании выражений.

3.Воспитать интерес к предмету, активность, настойчивость, навыки общения, взаимопомощи.

4.Развить познавательные интересы, самостоятельность, математическую речь, логическую мыслительную деятельность.

План урока:

1. Организационный момент. Настрой учащихся на урок.

2. Актуализация знаний учащихся. Фронтальный опрос.

3. Изучение нового материала.

4.Контроль и самопроверка знаний учащихся (закрепление).

5. Подведение итогов урока.

6. Домашнее задание, оценки за урок.

Ход урока.

1.Организационный момент.

Здраствуйте , садитесь. Отметить отсутствующих, проверить готовность учащихся к уроку, объявить тему и цели урока: умножение разности двух выражений на их сумму; вывод  формулы.

Учитель: Что вы изучали на прошлом уроке? Какие формулы сокращенного умножения вы изучили? Сегодня на уроке мы продолжим изучать формулы сокращенного умножения и их практическое применение.

2. Актуализация знаний учащихся. Фронтальный опрос.

1.Возведите в квадрат:   3a;  0,2m;  (1/3)x;  (3/8)y³;  0,03y².

2. Представьте в виде квадрата одночлена:   9b²;  16m⁴;  0,09x¹⁰;  0,81m²n²;  (16/25)x4y⁶ .

3. Прочитайте правильно выражения ,как называются a и b в первых двух случаях : a-b,   a+b , 3m-2n , (3x)²-(4)², m²-n², (5a)²+(6b)², (3a+2b)², a²-9b², (m-n)², (4a+3b)², 100x²-64y², (0,2x-0,4y)² , 9a+3x²,(a-b)(a+b).

4. Разложите на многочлены:  15x²y-10x  и   x²-y².

Создание проблемной ситуации способствует развитию познавательного интереса. Пробуем решить эту задачу, используя имеющиеся знания.

3. Изучение нового материала.

Письменно в тетрадях и на доске

Выполните умножение многочленов, где a и b – произвольные:

(a-b)(a+b)=a²+ab-ab-b²= a²-b²

(a-b)(a+b) = a²-b² -  формула сокращенного умножения.

Верно ли полученное равенство, не вычисляя, при a=-5, b=100; a= -12.8,

Вывод: a и b – любые числа или алгебраические выражения.

Опр:  (Дети самостоятельно формулируют)

Произведение разности двух выражений и их сумма равно разности квадратов этих выражений.

Любую формулу в математике можно читать как слева направо, так и справа налево.

Запишем эту формулу справа налево.

a²-b²=(a+b)(a-b) - разность квадратов.

Как можно прочитать формулу?

Опр: Разность квадратов двух выражений (чисел) равна произведению суммы этих выражений (чисел) на их    разность.

4.Закрепление.

1)Переставьте выражения в столбцах так, чтобы между ними можно было поставить знак равенства:

1)(1 – а)(1 + а);	5) (3в2 – а)(3в2 + а);
2)9в4 – а2;	6) 1 – а2;
3)(у – 3)(у + 3);	7) (3 – у)(3 + у);
4)у2 – 9; Ответы: 1-6; 2-5; 3-4; 7-8.	8) 9 – у2.

2)Выберите выражения, которые могут быть преобразованы по формуле произведения разности чисел на их сумму, и преобразуйте их по формуле:

	(x-y)-(x+y)
	(b-c)(b+c)
	(0.2-x)(0.2-x)
	(3+2)(3-2)   На основе выполненных заданий можно составить вопросы, выявляющие сущность данной формулы : Влияет ли порядок записи выражений в скобках на результат преобразований в формуле ? Важен ли порядок записи выражений, входящих в разность, на результат преобразований по этой формуле? По какому множителю (сумме или разности) удобно составить результат? Важен ли порядок множителей в произведении?

Далее дети самостоятельно на основе полученного опыта формируют алгоритм:

1. Является ли выражение произведением.
2. Является ли один сомножитель – суммой двух выражений.
3. Является ли другой сомножитель – разностью этих выражений.
   Если это не выполняется, то это выражение не может быть преобразовано по формуле (a–b)(a+b)=a²-b², а если да, то
4. Выделить сомножитель– разность.
5. Записать разность, составленную из квадрата уменьшаемого и квадрата вычитаемого.

Далее переходим к решению примеров из учебника.

№912(устно),913,915,916,939(устно),940,941 (записать на доске).

№913 Выполнить умножение:

a)     (y-4)(y+4)=y²-16

b)    (p-7)(p+7)=p²-49

c)     (4+5y)(5y-4)=25y²-16

d)    (7x-2)(7x+2)=49x²-4

e)     (8b+5a)(5a-8b)=25a²-64b²

f)      (10x-6c)(10x+6c)=100x²-36c²

№915 Представьте в виде многочлена произведение:

a)     (x²-5)(x²+5)=x⁴-25

b)    (4+y²)(4-y²)=16-y⁴

c)     (9a-b²)(b²+9a)=81a²-b⁴

d)    (0.7x+y²)(0.7x-y²)=0.49x²-y⁴

e)     (10p²-0.3q²)(10p²+0.3q²)=100p⁴-0.09q⁴

f)      (a³-b²)(a³+b²)=a⁶-b⁴

g)     (c⁴+d²)(c⁴-d²)=c⁸-d⁴

h)    (5x²+2y³)(5x²-2y³)=25x⁴-4y⁶

i)       (1.4c-0.7y³)(0.7y³+1.4c)=1.96c²-0.49y⁶

j)       (1.3a⁵-0.1b⁴)(1.3a⁵+0.1b⁴)=1.69a¹⁰-0.01b⁸

№916 Впишите вместо знака * какой-нибудь одночлен так, чтобы получилось тождество:

a)     (2a+*)(2a-*)=4a²-b², *=b

b)    (*-3x)(*+3x)=16y²-9x², *=4y

c)     (5x+*)(5x-*)=25x²-0.16y⁴, *=0.4y²

d)    100m⁴-4n⁶=(10m²-*)(*+10m²), *=2n³

e)     (*-b⁴)(b⁴+*)=121a¹⁰-b⁸,*=11a⁵

f)      M⁴-225c¹⁰=(m²-*)(*+m²), *=15c⁵

 

№940 Разложите на множители:

a)     25x²-y²=(5x-y)(5x+y)

b)    –m²+16n²=(4n-m)(4n+m)

c)     36a²-49=(6a-7)(6a+7)

d)    64-25x²=(8-5x)(8+5x)

e)     9m²-16n²=(3m-4n)(3m+4n)

f)      64p²-81q²=(8p-9q)(8p+9q)

g)     -49a²+16b²=(4b-7a)(4b+7a)

h)    0.01n²-4m²=(0.1n-2m)(0.1n+2m)

i)       9-b²c²=(3-bc)(3+bc)

j)       4a²b²-1=(2ab-1)(2ab+1)

k)    P²-a²b²=(p-ab)(p+ab)

l)       16c²d²-9a²=(4cd-3a)(4cd+3a)

№941 Представьте в виде произведения:

a)     x²-64=(x-8)(x+8)

b)    0.16-c²=(0.4-c)(0.4+c)

c)     121-m²=(11-m)(11+m)

d)    -81+25y²=(5y-9)(5y+9)

e)     144b²-c²=(12b-c)(12b+c)

f)      16x²-49y²=(4x-7y)(4x+7y)

g)     X²y²-0.25=(xy-0.5)(xy+0.5)

h)    C²d²-a²=(cd-a)(cd+a)

i)       A²x²-4y²=(ax-2y)(ax+2y)

Резервные номера №918,942

№918 Выполните вычисления:

a)     (100-1)(100+1)=10000-1=9999

b)    (80+3)(80-3)=6400-9=6391

c)     201·199=(200+1)(200-1)=40000-1=39999

d)    74·66=(70+4)(70-4)=7900-16=7884

e)     1002·998=(1000+2)(1000-2)=1000000-4=999996

f)      1.05·0.95=(1+0.05)(1-0.05)=1-0.0025=0.9975

№942 Вычислите:

a)     47²-37²=(47-37)(47+37)10·84=840

b)    53²-63²=(53-63)(53+63)=-10·116=-1160

c)     126²-74²=(126-74)(126+74)=200·52=10400

d)    21.3²-21.2²=(21.3-21.2)(21.3+21.2)=0.1·42.5=4.25

e)     0.849²-0.151²=(0.849-0.151)(0.849+0.151)=0.698·1=0.698

f)      (5)²-²=(5)( 5)=(1)·(10)=13

5.Подведение итогов урока.

1. С какой новой формулой мы сегодня познакомились?

2. Что нового мы сегодня узнали?

3. С какими трудностями вы сегодня встретились?

4. На что следует обращать внимание при применении формулы (a+b)(a-b)=a²-b²

 

6.Информация о домашнем задании.

№ 917,919(a,b,c,d),944(a,b,c,d),945.

№917 Представьте в виде многочлена:

a)     (3x²-1)(3x²+1)=9x⁴-1

b)    (5a-b³)(5a+b³)=25a²-b⁶

c)     ()()=

d)    (0.4y³+5a²)(5a²-0.4y³)=25a⁴-0.16y⁶

e)     (1.2c²-7a²)(1.2c²+7a²)=1.44c⁴-49a⁴

f)      ()()=y¹⁰-

№919 Найдите значение произведения:

a)     52·48=(50+2)(50-2)=2500-4=2496

b)    37·43=(40-3)(40+3)=1600-9=1591

c)     6.01·5.99=(6+0.01)(6-0.01)=36-0.0001=35.9999

d)    2.03·1.97=(2+0.03)(2-0.03)=4-0.0009=3.9991

№944 Найдите значение выражения:

a)     41²-31²=(41-31)(41+31)=10·72=720

b)    76²-24²=(76-24)(76+24)=52·100=520

c)     256²-156²=(256-156)(256+156)=100·412=41200

d)    0.783²-0.217²=(0.783-0.217)(0.783+0.217)=0.566·1=0.566

№945 Разложите на множители:

a)     x⁴-9=(x²-3)(x²+3)

b)    25-n⁶=(5-n³)(5+n³)

c)     m⁸-q²=(m⁴-q)(m⁴+q)

d)    y²-p⁴=(y-p²)(y+p²)

e)     c⁶-d⁶=(c³-d³)(c³+d³)

f)      x⁶-a⁴=(x³-a²)(x³+a²)

g)     b⁴-y¹⁰=(b²-y⁵)(b²+y⁵)

h)    m⁸-n⁶=(m⁴-n³)(m⁴+n³)

i)       a⁴-b⁴=(a²-b²)(a²+b²)

j)       c⁸-d⁸=(c⁴-d⁴)(c⁴+d⁴)

k)    a⁴-16=(a²-4)(a²+4)

l)       81-b⁴=(9-b²)(9+b²)

Оценки за урок .