Образовательный портал

Понятие модели и моделирования.
Критерии модели. Структура и виды моделей

• образец (эталон, стандарт) для массового изготовления какого-либо изделия или конструкции;
• изделие (из легкообрабатываемого материала) с которого снимается форма для воспроизведения (например, посредством литья) в другом материале;
• устройство, воспроизводящее, имитирующее строение и действие какого-либо другого моделируемого устройства в научных производственных (при испытаниях) или спортивных целях;
• позирующий художнику натурщик или изображаемые предметы («натура»);
• человек, на котором модельер, парикмахер и т.д демонстрирует свое искусство;

• критерии понятия предназначены для того, чтобы выделить данное понятие среди других, показав его нетождественность ни одному из существующих понятий;
• критерии (исходя из определения критерия в математике) должны содержать все признаки, описывающие модель, но в то же время не должны содержать лишних, второстепенных, незначимых признаков;
• в критериях должны быть отражены цели создания моделей. 

Первый критерий: «Модель объекта выбирается в соответствии с определенной целью». Например, когда мы определяем материальную модель для демонстрации круга, мы подбираем такой предмет, для которого, в первую очередь, значимы свойства круга. Так, в качестве геометрической модели для изображения мяча или колеса мы выбираем круг. Если же нам нужно изобразить путь (в краткой записи задачи на движение) или реку на карте, то мы выбираем кривую линию или отрезок. Изображая на схеме столбы, мы используем прямоугольники. Определяя же, сколько всего стульев поместится в машину для доставки, мы представляем объемные фигуры. В каждом случае мы руководствуемся целью, для которой подбирается модель. 
Пример:

Эти две модели человека созданы для разных целей. Например, скелет -  с целью наглядного изучения костей человека, а анатомический атлас – с целью изучения не только костей человека, но и внутреннего строения человека (мышц тела, внутренних органов, сердечно-сосудистой системы и т.д.).
Второй критерий: «Модель объекта является заместителем объекта по определенным свойствам, но не тождественна ему, то есть, не совпадает с ним». Выбирая какую-то модель, мы хотим отразить в ней свойства, которые важны в данной ситуации. Так, для изображения реки или пути важно показать их протяженность или направления в пространстве, что является свойством кривой или отрезка. Изображая те же стулья на схеме, важны форма и размеры плоской фигуры, что отражает прямоугольник или квадрат, а для того, чтобы определить, сколько стульев поместится в машину, важны все три размера, что отражает куб или прямоугольный параллелепипед.
Пример: 5 м ткани на 30 руб. дешевле, чем 1 м сукна, но 8 м ткани дороже 1 м сукна на 6 руб. Сколько стоит 1 м сукна и 1 м ткани?
Составим следующую отрезочную диаграмму:

Это модель текста задачи, поскольку она не совпадает с текстом задачи и обладает своими свойствами (например, имеет длину).
В арифметике и элементах алгебры сходство модели объекта и самого объекта рассматривается по таким свойствам, как их численные характеристики, и отношениям между величинами; в геометрии – по геометрическим характеристикам объектов, к которым относятся положение фигур в пространстве, отношение между фигурами (взаимное положение), форма, размеры и др. Так, подбирая модель для геометрического объекта, мы выделяем свойства, существенные для геометрического понятия, находим их аналог в реальном мире и выделяем объект с этими свойствами. Он и рассматривается в качестве модели геометрического объекта. Однако объект материального мира обладает множеством свойств, а значит, может быть моделью разных объектов. Так, альбомный лист бумаги может быть моделью и одномерной фигуры (отрезка), и двухмерной (прямоугольника), и объемной фигуры (параллелепипеда). Чем же определяется выделение нужных свойств в объекте? Выбор же модели геометрической фигуры зависит от контекста ситуации, то есть, определяется свойствами материального объекта, значимыми для ситуации, в которой он рассматривается. Значит, чем меньшим количеством свойств обладает геометрическая фигура, тем от большего числа свойств придется абстрагироваться, пренебречь для построения модели. Поэтому такие простейшие с точки зрения геометрии объекты, как точка, отрезок, с трудом мыслятся учащимися как геометрические фигуры.
Учащихся необходимо знакомить и с плоскими фигурами, в первую очередь для того, чтобы научить их различать плоские и объемные фигуры. Многие ученики путают куб и квадрат, зачастую именно в силу раздельного изучения объемных и плоских фигур в школе и некорректно организованной работы с моделью квадрата. Квадрат, как плоская фигура, имеет только одну поверхность. Наиболее адекватной моделью является грань куба как часть его полной поверхности или изображение квадрата на плоской поверхности. По квадрату (как плоской фигуре) можно только провести рукой, но нельзя взять его в руки. Но все, что можно взять в руки, трехмерно, а значит, представляет собой модель объемной фигуры. Действительно, работая с моделями квадратов разной толщины, учителя не обращают внимания учеников на то, что в этом случае мы пренебрегаем толщиной, считаем, что ее нет у квадрата как геометрической фигуры, а вот для куба, она же является существенным свойством. Таким образом, работая с моделями квадратов разной толщины, учащийся может прийти к выводу, что у квадрата может быть разная толщина, например, такая, как у куба. Вот это и является одной из причин путаницы учеников в понятиях квадрата и куба. И что бы избежать этого, необходимо обращать внимание учащихся на свойства, от которых абстрагировались (т.е. тех, которые не учитывались) при создании или выборе модели объекта. Именно это важно при интерпретации и реализации идеальной модели в реальной жизни. При выборе предмета в качестве модели геометрической фигуры полезно обсудить, какие свойства предмета мы не учли, рассматривая его как модель фигуры. Теперь мы можем дать формулировку третьему критерию: «Модель объекта имеет не одну интерпретацию». А это значит, что одна и та же модель может быть заместителем разных объектов.
Пример:
Рассмотрим аквариум. С одной стороны, его можно рассматривать, как модель природного водоема, а с другой стороны – как модель прямоугольного параллелепипеда.

Четвертый критерий: « Модель объекта должна быть представлена в материализованном виде», что позволяет воспринимать модель объекта через органы чувств: видеть, осязать, слышать… Учащийся должен понимать, что модель должна  быть доступна для восприятия не только ее создателю, но и другим людям, хотя иногда в моделировании встречается и другой подход.
Иногда в качестве модели объекта рассматривают визуальный образ. Его  можно охарактеризовать как результат отражения человеком предметов и явлений материального мира, относящийся к непосредственному зрительному восприятию. Восприятие визуальных образов – результат работы сложной системы, включающий в себя зрение и мозг. Поэтому, я считаю, что не стоит визуальный образ рассматривать в процессе обучения, поскольку с ним невозможно нормально работать, он недоступен другим людям.
Пятый критерий модели: « Модель объекта позволяет получать новые знания об объекте», что, является основанием для отнесения моделирования к познавательным учебным действиям.
Рассмотренный подход к обучению моделирования при изучении геометрического материала будет способствовать формированию действия моделирования, как универсального учебного действия, и может быть использован при изучении других предметов с учетом их специфики.
Создание модели объекта предполагает знание ее структуры. Числовое или буквенное выражение (в качестве решения задачи) является моделью решения задачи только при наличии интерпретационного компонента, то есть, описания того, что обозначает каждое число или переменная. Допустим, уравнение  3 + 4х = 7 не является моделью решения задачи без описания, так как не содержит интерпретационного компонента. Задав разные описания (интерпретации) неизвестных уравнения, мы получим разные модели, точнее, модели разных объектов. Как мы уже поняли, математическая модель включает в себя выражение (это содержательный компонент модели) и описание всех входящих в него чисел (это интерпретационный компонент модели).
Существуют разные подходы к пониманию структуры, но мы будем использовать структуру модели, разработанную Ю.Б. Мельниковым.  В исследовании  этого ученого модель представлена в виде диады двух компонентов: интерпретационного (описательного)  и модельно-содержательного (содержательного).
Интерпретационный компонент математической модели – объект, устанавливающий связи ее содержательного компонента с объектом-оригиналом.
Содержательный компонент математической модели представляет собой математический объект (один или несколько), включающий три компонента: носитель модели, систему характеристик и систему отношений.
Носитель: числа, буквы, равенства, алгебраические выражения, знаки умножения, вычитания, деления, возведения в степень, извлечения арифметического корня, знак равенства.
Система характеристик: свойства чисел, значения алгебраических выражений, свойства операций умножения, вычитания, возведения в степень с натуральным показателем, свойства арифметического корня п-й степени, свойства отношения равенства.
Система отношений: Отношение равенства – между числовыми и буквами, буквами и алгебраическими выражениями.
Пример: «Для проведения опыта необходимо 300г 12%-ного раствора перекиси водорода. Имеются два раствора перекиси водорода – 30-%-ный и 3%-ный. Сколько каждого раствора нужно взять, чтобы получить требуемое количество раствора нужной концентрации?»
Вспомогательная модель задачи:

Интерпретационный компонент:
0,3 - массовая доля чистого вещества в первом растворе, доли;
0,03 - массовая доля чистого вещества во втором растворе, доли;
0,12 - массовая доля чистого вещества в новом растворе, доли;
x г. – масса взятого первого раствора,;
y г. – масса взятого второго раствора;
0,3x г. – масса чистого вещества в первом растворе;
0,03y г. – масса чистого вещества во втором растворе;
0,3x + 0,03y; 0, 12 · 300 – масса чистого вещества в полученном растворе, г;
x + y; 300 – масса первого и второго раствора, г.
Содержательный компонент:

x - ? y - ?
Ответ: 100г и 200г.
Кроме структуры в литературе, посвященной проблеме моделирования, рассматриваются разные виды моделей. Наиболее часто выделяют следующие основания деления: по природе их происхождения и по языку их формального представления. Рассмотрим соответствующие виды моделей.
По природе происхождения модели делятся на:

• материальные (вещественные) (т.е. созданные человеком, существующие реально и объективно).  

Примерами являются: модели геометрических фигур и тел, разного рода муляжи, макеты домов, модели самолетов, кораблей и т.д.:
 

• идеальные (т.е. мысленные, интуитивные, абстрактные).

• арифметические (числовые выражения);

• алгебраические (алгебраические выражения, алгебраические уравнения, неравенства, их системы с интерпретационным компонентом);

• геометрические (рисунки, чертежи, графики функций); 

Например: «Квартира состоит из трех комнат: спальни, столовой и кабинета. Столовая в два раза больше, чем кабинет, а спальня на 8 м² меньше, чем столовая. Какова общая площадь трех комнат, если столовая имеет площадь 22 м²?».
Решение:

Некоторые авторы отдельно рассматривают графические модели.
Например: Построить график температуры воздуха, если известно, что температуру измеряли каждые 4 часа в течение суток и по результатам измерения составили следующую таблицу:

 
Решение: Построим прямоугольную систему координат. По горизонтальной оси (оси абсцисс) будем откладывать значения времени, а по вертикальной оси (оси ординат) — значения температуры. Построим на координатной плоскости точки, координатами которых являются соответствующие числа из таблицы.

Построенный график есть графическая модель, описывающая зависимость температуры от времени.
В различных сюжетных задачах моделью также является краткая запись задачи. Ее мы будем называть вспомогательной моделью условия задачи. Краткая запись может быть представлена в виде:

• отрезочной диаграммы;
• рисунка;
• двумерной диаграммы (используется в случае, если в задаче есть величина, равная произведению двух других, тогда ее можно интерпретировать как площадь и рассматривать длины отрезков как множители);
• графа;
• таблицы.

You have no rights to post comments