Применение теоремы Пифагора в повседневной жизни
Репяхова Зинаида Владимировна
Введение.Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой̆. Теорема Пифагора одна из главных теорем геометрии, еѐ значение состоит в том, что из неѐ и с еѐ помощью можно вывести большинство теорем, она широко используется в различных областях науки: технике, практической̆ жизни. В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики. Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой.
Биография Пифагора
Пифагор – древнегреческий математик, философ, религиозный и политический деятель из Самоса. Ученый также создал свою собственную религиозно-философскую школу пифагорейцев. Годы жизни Пифагора 570 – 490 гг. до нашей эры. Самые ранние сведения о жизни и учении философа появились лишь 200 лет спустя после его смерти. Так, хорошо описали историю жизни мудреца в своих памфлетах Ямвлих, Порфирий, Диоген Лаэртский и Аристотеть Аристоксен. Сам Пифагор не оставил никаких сочинений после себя. В честь ученого назван кратер на Луне. Предположительно ученый родился на острове Самос, который позже покинул в знак протеста против тирании правителя Поликрата. Пифагор много путешествовал. Побывал в Египте, в Вавилоне. Когда ему исполнилось сорок лет, он решил обосноваться в южно-италийском городе Кротон, где и основал закрытое общество своих последователей. Это было своеобразное религиозное братство, которое преследовало цель очищения религиозных воззрений. В итоге данное учение и его последователи жестоко преследовались. Философские учения Пифагора также привлекали множество последователей. В пифагореизме считалось, что земля шарообразная и движется вокруг центрального огня, который является источником света и тепла. Вокруг «огня» были замечены и другие светила, которые составляли «гармонию сфер». С именем Пифагора связывают некоторые математические открытия. Говорят, что он регулярно работал над геометрическими доказательствами, построением правильных многоугольников, созданием четных и нечетных чисел, арифметических и геометрических пропорций. Существует даже доказательство теоремы, названное в честь Пифагора и его вычислений. Примеры практического применения теоремы Пифагора.
В школьном курсе
Рассмотрев задачи из древних учебников, мы задумались: При изучении, каких тем математики современным школьникам может помочь теорема Пифагора? Выводы по этому вопросу приведем ниже.
Диагональ d квадрата со стороной, а можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а. Таким образом, d^2=2a^2 откуда: d=a√2 Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому, как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b. Таким образом, d^2=a^2+b^2 d=√(a^2+b^2 ) Высота h равностороннего треугольника со стороной а может рассматриваться как катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого а, а другой катет a/2. Таким образом, имеем a^2=h^2+(a/2)^2 или h=(a√3)/2 Диагональ d куба, является одновременно гипотенузой прямоугольного треугольника, заштрихованного на рисунке. Катетами треугольника служат ребро куба и диагональ квадрата, лежащего в основании. Отсюда имеем d^2=a^2+〖2a〗^2,d^2=〖3a〗^2,d=a√3 Рассуждение, подобное этому, можно провести и для прямоугольного параллелепипеда с ребрами a, b, с и получить для диагонали выражение d^2=a^2+b^2+c^2. Длина l бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды. Пусть сторона квадрата - а, и высота пирамиды - h. Ребра будут гипотенузами прямоугольных треугольников, у которых один из катетов - высота h, а другой - половина диагонали квадрата. Вследствие этого имеем: l^2=h^2+a^2/2 l=√(h^2+a^2/2) Высота h_1 боковых граней h_1=√(h_2+a^2/4)
В строительстве и архитектуре
Считать эти приложения теоремы Пифагора только теоретическими - большая ошибка. Если, например, рассматривать четырехугольную пирамиду как крышу башни, то в первом нашем случае речь идет о том, какой длины нужно сделать боковые ребра, чтобы при данной площади чердака была выдержана нужная высота крыши, а вопрос о величине боковой поверхности должен интересовать, например, кровельщика при подсчете стоимости кровельных работ. Заметим, что расчет площади кровли можно заметно упростить, если воспользоваться одним очень простым правилом, справедливым во всех случаях, когда все скаты крыши, сколько бы их ни было, имеют одинаковый уклон. Оно гласит: «Чтобы найти поверхность крыши, все скаты которой имеют равный уклон, нужно умножить перекрываемую площадь на длину какого-нибудь стропила и разделить полученное произведение на проекцию этого стропила на перекрываемую площадь.» В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b ) для наружных дуг половине ширины (b/2),для внутренних дуг Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4 . А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоваться вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора. В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R=b/2 и r=b/4 Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, другой b/2-p По теореме Пифагора имеем: (b/4+p)^2=(b/4)^2+(b/2-p)^2 откуда p=b/6 Архитектура неразрывно связана с понятиями: гармония и красота. Это подтверждено многовековым опытом. Все древние постройки выдерживались в пропорциях «золотого сечения» и были гармоничны и прекрасны. Геометрически “золотое сечение” строится из целочисленных величин. Рассмотрим, например, простейший прямоугольный треугольник с отношением катетов 1:2. В этом треугольнике величина малого катета равна 1, а большого – 2. По теореме Пифагора длина гипотенузы в нем равна √5. Соотношения сторон а, b, с данного треугольника очень простые: a⁄(b=1⁄2,c⁄a)=√5⁄1,c⁄b=√5⁄2. Однако из этих величин следует и еще одно отношение ((a+b))⁄b=((1+√5))⁄(2=) 1,618033… Это и есть «золотая пропорция», которую обычно обозначают буквой Ф (число Фидия). Таким образом, хорошо известный в древнем мире простой прямоугольный треугольник с отношением катетов 1:2 мог послужить основой для открытия теоремы квадратов, золотой пропорции и несоизмеримых величин – великих открытий Пифагора. Долгое время считали, что зодчие Древней Руси строили все «на глазок», без особых математических расчетов. Однако новейшие исследования показали, что русские архитекторы хорошо знали математические пропорции, о чем свидетельствует анализ геометрии древних храмов. Для соблюдения этих пропорций, создания соразмерных, гармоничных композиций необходимы определенные меры длины. Основной строительной единицей длины Древней Руси была сажень. Однако известно, что на Руси было несколько саженей, значительно отличающихся по размерам. По мнению Б.А. Рыбакова, который с 1949 года изучал метрику русской архитектуры средних веков, в Древней Руси в период с XI по XVII в. существовало семь видов саженей, применявшихся одновременно. Рыбаков «вывел» все виды древнерусских саженей. Конечно, в действительности последовательность рассуждений Пифагора, приведшая его к великим математическим открытиям неизвестна. Легче прийти к теореме квадратов исходя из рассмотрения прямоугольного треугольника со сторонами 3:4:5, который был известен с давних времен и назывался «совершенным», «священным египетским», «треугольником Пифагора». Иранские архитекторы времен применяли этот треугольник при вычерчивании профиля своих эллиптических куполов. Удобный и очень точный способ, употребляемый землемерами для проведения на местности перпендикулярных линий, был известен с древних времён. Этот способ, по-видимому, применявшийся ещё тысячелетия назад строителями египетских пирамид, основан на том, что каждый треугольник, стороны которого относятся как 3:4:5, согласно теореме Пифагора - прямоугольный, так как 32 + 42 = 52 Любой вид современных строительных работ тоже требует планового обмера и нивелировки. Поэтому в настоящее время на практике прямые углы (например, для отрыва котлована) определяют, так же применяя теорему Пифагора. Сбивают три тонкие доски в прямоугольный треугольник, длины сторон которого кратны 3, 4 и 5 м. С его помощью можно произвести разбивку прямого угла на местности. Конечно, в промышленных масштабах этот способ изжил себя, но при возведении небольших построек всё ещё используется. Профессионалы же используют оборудование, которое помогает не только ускорить сроки сдачи объекта, но и повысить качество выполняемых работ. Сегодня строитель может забыть про рулетки и линейки, так как они безнадежно устарели. Вместо них гораздо эффективнее использовать лазерный дальномер или лазерную рулетку. Погрешность 1,5 мм; макс. дальность: 60 м, косвенные измерения и измерения по теореме Пифагора, память на 10 измерений Область применения измерение расстояний, вычисление площадей и объемов, проверка площадей, предварительный подсчет материала, измерений от угла или края, разбивка равных расстояний, определение недоступных расстояний Лазерный дальномер - электронно-оптический прибор, используемый для определения дальности между различными предметами, может работать, как в помещениях, так и на открытом пространстве. Погрешность измерений лазерной рулетки колеблется от 3 до 1 мм на 10 м. Некоторые модели могут производить вычисления объемов и площадей помещений, вычислять длину недостающего катета (по теореме Пифагора) и т.д. В дальномере есть функция измерения расстояний косвенным методом по теореме Пифагора. Так как стена и пол, по сути, образуют прямой угол, то можно положить дальномер на полу на определенном расстоянии от стены измерить расстояние до стены, а затем до точки, в которую вбит гвоздь. Две измеренные стороны будут являться гипотенузой и катетом одного прямоугольного треугольника. Дальномеру с функцией Пифагора не составит труда рассчитать третий катет на основе полученных данных. Это расстояние и будет являться высотой от пола до отверстия в стене.
При изготовлении мебели
Сейчас стало модно, при строительстве домов и коттеджей, устраивать гардеробные комнаты. Классические гардеробные комнаты представляют собой конструкции корпусной мебели, объединяющие несколько модулей в единую систему. Практически все современные мебельные гарнитуры оснащены угловыми шкафами. Мы решили выяснить, это дань моде лил реальная экономия полезной площади. Мы выяснили, что при расстановке мебели возникает "проблема углов", которая бывает при совмещении двух гардеробных шкафов под прямым углом. Что же плохого в углах? Попробуем пояснить наглядно. Если установить два шкафа глубиной 50 см и длиной 2м, то в углу мы получим пространство 50х50 см, которое с трех сторон закрыто для доступа, с двух сторон стеной, а с третьей стороны боковой стенкой соседнего стеллажа. Доступ возможен столько изнутри первого стеллажа сквозь одежду, которая там уже находится. Одежда, находящаяся в таком углу закрыта от обзора, что противоречит главному преимуществу гардеробной перед обычным шкафом - открытость и доступность. В таком месте невозможно разместить выдвигающиеся ящики, обувные полки чрезвычайно неудобны, на антресольной полке, чтобы что-то достать необходимо вынуть, то что находится рядом (если конструкция до потолка). Рассчитаем, какова доступная полезная площадь при такой расстановке. S = S1 + S2 S1 = 2• 0,5 = 1(м²) S2 = 0,5•1,5 = 0,75 (м²) S = 1,75 м² 0,25 м² потеряно! Для решения данной проблемы был придуман вариант, который позволяет решить ее. Применив теорему Пифагора для нахождения диагонали квадрата, получим d=a√2. Так возникла идея конструкции угловых шкафов.
