Изучение графиков функций как подготовка к решению заданий с параметрами

Лаврова Елена Александровна

Уравнения и неравенства с параметрами являются традиционно наиболее трудными задачами курса элементарной математики. Задачи с параметрами практически не представлены в школьном курсе математики. Между тем они включены в итоговую аттестацию как в 9, так и в 11 классе. Для решения задач с параметрами не требуется обладать знаниями, выходящими за рамки школьной программы. Однако непривычность формулировки обычно ставит в тупик учащихся, не имеющих опыта решения подобных задач. Не всегда их можно решить аналитически, иногда гораздо легче они решаются графически. Решение этих задач по существу представляет собой исследование функций, входящих в уравнение, с последующим решением уравнений и неравенств с числовыми коэффициентами.
Формирование содержательно-методической линии задач с параметрами как сквозной линии, т.е. линии, проходящей через все разделы математики как линии функций нескольких переменных, необходимо начинать на самом раннем этапе, одновременно с введением основных понятий алгебры и развертывания других содержательно-методических линий - линии преобразований, линии уравнений и линий неравенств.
Так, с параметрами учащиеся встречаются при введении некоторых понятий. Например:
функция прямая пропорциональность: ( и – переменные; – параметр, );
линейная функция: ( и – переменные; и – параметры);
линейное уравнение: ( – переменная; и – параметры);
уравнение первой степени: ( – переменная; и – параметры, );
квадратное уравнение: ( – переменная; и – параметры, ).
К задачам с параметрами, рассматриваемым в школьном курсе, можно отнести, например, поиск решений линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметров.
Цель данной работы: предложить методику изучения линейной и квадратичной функции как пропедевтику решений задач с параметрами.

1 МЕСТО И РОЛЬ ТЕМ «ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ» И «ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ» ПРИ ИЗУЧЕНИИ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
1.1 Линейная функция и задачи с параметрами
Функция является одним из основных понятий математики, в частности математического анализа. В школьных курсах математики и физики, как правило, рассматриваются числовые функции числового аргумента. Понятие функции вводится в 7 классе, хотя к этому времени еще не изучены действительные числа, поэтому полноценного обсуждения области определения, вопроса о сплошной линии графика не может быть. Не изучены неравенства и выражения, имеющие смысл не для всех действительных чисел, поэтому полноценного изучения свойств функций не может быть. Функция определяется как зависимость одной переменной от другой, что сужает область ее применения. Свойства функций вводятся постепенно в течение трех лет обучения, что не создает полной картины всех свойств для каждой из изучаемых функций.
Первой изучаемой функцией является линейная функция.
Линейная функция и линейное уравнение – одна из главнейших тем всего курса математики, основа формирования содержательно-методических курса математики, в том числе и содержательно-методической линии задач с параметрами.
Линейная функция и ее график изучаются в 7 классе общеобразовательной школы.
Учебник «Алгебра», Ш.А. Алимов и др., 7 класс
В главе «Линейная функция и ее график» функция вводится как зависимая переменная, значения которой вычисляются по определенному правилу по значениям независимой переменной Зависимость переменных и называют функциональной.
Из всех способов задания функции основным является задание ее формулой, так как по формуле, как правило, можно дать наиболее полную ее характеристику.
От задания функции формулой учащиеся всегда могут перейти к ее заданию графически. Обратная операция не всегда возможна.
Рассматриваемая в главе линейная функция определена на множестве всех действительных чисел, поэтому вопрос об области определения функции здесь не ставиться. На этом этапе пока еще невозможно строго доказать, что графиком линейной функции является вся геометрическая прямая, так как учащиеся знакомы только с рациональными числами. Это утверждение принимается без доказательства.
При рассмотрении линейной функции, заданной формулой или графиком, предлагаются следующие задачи: нахождение значения функции при заданном значении аргумента и обратная ей задача; нахождение промежутков знакопостоянства. Поэтому задачи, связанные с «чтением» графика, ограничиваются только этими вопросами.
Здесь впервые рассматриваются простейшее преобразование графиков: сдвиг графика линейной функции вдоль оси ординат.
Учебник «Алгебра», Ю.Н. Макарычев и др., 7 класс
В главе «Функции» понятие функции так же вводится через зависимость одной переменной от другой.
Основной способ задания линейной функции – задание формулой. Определение вводится индуктивным способом.
Основные задачи, предлагаемые авторами учебника: нахождение значения функции при заданном значении аргумента и обратная ей задача; задачи с использованием графиков линейной зависимости.
В конце главы предлагается необязательный для изучения пункт «Задание функции несколькими формулами», где рассматриваются ситуации, когда функцию задают несколькими формулами.
Задач с параметрами в 7 классе мало, они отнесены к разряду сложных.
Впервые с понятием «уравнение с параметром» учащиеся знакомятся в 8 классе в пункте «Уравнения с параметром». Данный пункт необязательный для изучения. Конкретного определения параметра не дается. Рассматриваются линейные и квадратные уравнения с параметром.
Учебник «Алгебра», А.Г. Мордкович, 7 класс
В учебниках А.Г. Мордковича функциональная линия является ведущей. Автор выделяет в системе упражнений по изучению того или иного класса функций инвариантное ядро, универсальное для любого класса функций, которое состоит из шести направлений:

графическое решение уравнений;
отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке;
преобразование графиков;
функциональная символика;
кусочная функция;
чтение графика.

Линейная функция изучается в 7 классе в главе 2 «Линейная функция». В начале главы обобщаются сведения о координатной плоскости, даются алгоритмы отыскания координат точки и построения точки, заданной в прямоугольной системе координат.
Далее на реальной ситуации рассматривают математическую модель, которую называют линейным уравнением с двумя переменными и дается общая формула . Решением уравнения называют всякую пару чисел , которая удовлетворяет этому уравнению. Рассматриваются конкретные случаи вида графика линейного уравнения с двумя переменными в зависимости от параметров , теорема о графике линейного уравнения , примеры построения и алгоритм построения данного графика.
Изучение линейной функции начинается путем выражения из уравнения линейного равнения на конкретных примерах. Далее дается общий вид уравнения линейной функции. Теорема о том, что графиком линейной функции является прямая, принимается без доказательства. Рассматриваются графики функции при и , употребляются термины «возрастание» и «убывание» функции .
Выделен частный случай линейной функции , когда и функция принимает вид . Доказывается теорема о графике функции . Для построения графика находится точка и проводится прямая через эту точку и начало координат. Обращается внимание на зависимость между коэффициентом и углом, который построенная прямая образует с положительным направлением оси . Если , то этот угол острый, если , то угол тупой. Дается общий результат в виде теоремы о том, что график линейной функции параллелен графику линейной функции .
В конце главы рассматривается взаимное расположение графиков линейных функций в зависимости от параметров и делаются геометрические выводы.

1.2 Квадратичная функция и задачи с параметрами

Изучение квадратичной функции расширяет представление учащихся о функции, ее свойствах и графике. Изучение свойств функций имеет огромное развивающее значение для учащихся: они учатся вырабатывать алгоритм действий при решении задач, на основе исследований делать выводы, строить зависимости между величинами. Исследование свойств функции применяется для решения широкого спектра задач.

Учебник «Алгебра», Ш.А. Алимов и др., 8 класс
Изучение квадратичной функции ведется поэтапно: Графики функций и где строятся по точкам и называются параболами. При этом показывается, что график функции может быть получен из графика функции растяжением или сжатием от оси вдоль оси график функции при строится симметрией относительно оси графика функции
При построении графика функции записанной в виде показывается, что он может быть получен из графика с помощью сдвигов (параллельных переносов) вдоль координатных осей и поэтому также является параболой.
При изучении квадратичной функции существенно расширяется по сравнению с линейной функцией круг функциональных свойств.
Так как областью определения квадратичной функции (как и линейной) является множество всех действительных чисел, то о ней пока в явном виде не говорится. Но уже множество значений различных квадратичных функций может быть разным, но всегда числовым лучом.
Не говорится также в явном виде о четности функции это свойство показывается на симметрии ее графика относительно оси
В явном виде рассматриваются свойства возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства, нули функции, наибольшее и наименьшее значения.
Итогом рассмотрения квадратичной функции и ее свойств является простой алгоритм построения графика этой функции, который в дальнейшем используется при решении квадратных неравенств.
Более детальное исследование квадратичной функции в зависимости от знака дискриминанта проводится в необязательном для изучения § 43.
При изучении данного материала учащиеся знакомятся на конкретных примерах с линейными преобразованиями графика функции, то есть с построением графика функции на основе преобразования графика функции
Далее рассматриваются квадратные неравенства и задачи с параметрами, решаемые с помощью построения графика квадратичной функции.
Учебники «Алгебра», Ю.Н. Макарычев и др.
Изучение квадратичной функции начинается в 7 классе с изучения функции на основе зависимости площади квадрата от его стороны. Построение графика идет по точкам, график называется параболой. Описываются основные свойства.
В 8 классе работа с квадратичной функцией продолжается во второй главе «Квадратные корни». Учащимся даются понятия: квадратный корень, арифметический квадратный корень, вводится обозначение арифметического квадратного корня и понятие подкоренного выражения.
Авторы подводят учащихся к решению уравнения , где – произвольное число. Говорится, что если , то уравнение не имеет корней, а вот если , то уравнение имеет два корня. Проверяется наличие корней графическим методом, используя квадратичную функцию.
В 9 классе дается общее определение квадратичной функции, рассматривается частный случай – функция график которого строится по точкам и называется параболой. Формулируются основные свойства функции при и и .
Графики функций и получают с помощью параллельных переносов. Построение графика функции идет по алгоритму.
После этого авторы обращают внимание на решение квадратных уравнений и систем уравнений (в частности, графический метод), опираясь на свойства квадратичной функции. Задачам с параметрами уделяется мало внимания.
Учебники «Алгебра», А.Г. Мордкович.
Изучение квадратичной функции начинается в 7 классе с рассмотрения частного случая функции . Составляется таблица значений и , построение графика идет по точкам, описываются геометрические свойства параболы и свойства функции . Дается совет – вырезать шаблон параболы и использовать его при построении графика функции.
Показывается графический способ решений уравнений. Система упражнений направлена на построение графика квадратичной функции и определению по нему ее свойств.
В 8 классе продолжается изучение квадратичной функции. Рассматривается функция свойства и график. Итогом изучения является вывод: от величины коэффициента зависит «скорость устремления» ветвей параболы вверх или, по-другому, «степень крутизны» параболы; график функции симметричен графику функции относительно оси абсцисс.
Далее идет изучение алгоритмов построения графиков , если известен график функции .
Дается определение функции , изучаются свойства, алгоритм построения. Говорится что, график любой квадратичной функции можно получить из параболы параллельным переносом. Для доказательства этого факта используется метод выделения полного квадрата.
Система упражнений состоит из заданий на определение свойств квадратичной функции по ее графику. Также большое внимание уделено преобразованиям графика функций. Имеется достаточно много систем уравнений для графического их решения. Делается акцент на решение задач с параметрами.

1.3 Другие элементарные функции и задачи с параметрами

В школьном курсе математики, кроме линейной и квадратичной функций, изучаются другие элементарные функции: степенная, показательная, логарифмическая и тригонометрические функции.
Учебники «Алгебра», Ш.А. Алимов и др.
Степенная функция изучается в 9 классе. Этой функцией завершается изучение функций, представленных в школьном курсе алгебры. Целью ее изучения является не только знакомство учащихся со степенной функцией, но и расширение известных им сведений о свойствах функций в целом. Так, при изучении степенных функций активно используется понятие области определения функции.
Показывается, как аналитически устанавливается возрастание или убывание функции. Симметричность графиков обобщается в свойствах четности и нечетности функции.
Здесь же рассматриваются новые виды уравнений, содержащих степени или корни.
Детальное изучение функции объясняется ее практическим значением, а также ее особым графиком – гиперболой.
Рассмотренные в этой главе неравенства решаются с применением свойства возрастания или убывания функций.
В учебнике 9 класса предусмотрено первоначальное знакомство с тригонометрическими функциями , и их простейшими свойствами. Дальнейшее изучение идет в 10-11 классах. Показаны область определения и множество значений тригонометрических функций; четность, нечетность и периодичность. Перечислены основные свойства тригонометрических функций, построены графики.
В необязательном для изучения параграфе изучены обратные тригонометрические функции , .
В 10-11 классе продолжается изучение степенной функции , ее свойств и графика. Основные цели изучения – обобщение и систематизация знания учащихся о степенной функции; ознакомление с многообразием свойств и графиков степенной функции в зависимости от значения оснований и показателей степени; ознакомление с понятием равносильности; обучение решению иррациональных уравнений
Рассмотрение свойств степенных функций и их графиков проводится поэтапно в зависимости от того, каким числом является показатель: четным натуральным числом; нечетным натуральным числом; числом, противоположным четному; числом, противоположным нечетному; положительным нецелым числом; отрицательным нецелым числом. Обоснование свойств степени в этой главе не проводится. На примере степенной функции вводится понятие взаимно обратных функций.
Далее идет изучение показательной и логарифмической функций, их свойств и графиков. Изученный материал применяется при решении соответствующих уравнений и неравенств.
Учебники «Алгебра», Ю.Н. Макарычев и др.
В 7 классе рассматриваются частные виды степенной функции и . График функции - парабола. Определены свойства функций. Упражнения для закрепления знаний в основном с использованием графиков функций.
В 8 классе изучаются частные виды степенной функции: , и . Функция вводится через зависимость длины стороны квадрата от его площади. Построение графика функции осуществляется по точкам, сформулированы некоторые свойства функции.
Материал о функциях и дан в разделе «Для тех, кто хочет знать больше». Дано понятие степенной функции, рассмотрены свойства и графики функций и .
Понятие функции вводится через пример. Дано определение функции, рассмотрено свойство обратной пропорциональности: отношение двух произвольных значений аргумента равно обратному отношению соответствующих значений функции. Приведены примеры обратной пропорциональности из повседневной жизни. Выяснены некоторые особенности графика; кривая, являющаяся графиком, названа гиперболой.
В 9 классе изучается степенная функция . Выяснены свойства степенной функции и особенности ее графика при любом натуральном .
В разделе «Для тех, кто хочет знать больше» рассмотрено понятие дробно-линейной функции. Функция отнесена к дробно-линейным функциям. Введено понятие асимптот графика функции. Приведены другие примеры дробно-линейных функций, дана общая формула вида , где – переменная, – произвольные числа. Ограничения: и . Показано, что графиком дробно-линейной функции является гипербола.
Учебники «Алгебра», А.Г. Мордкович.
В 8 классе начинается изучение функции . Данная функция – частный вид степенной функции. Опираясь на геометрическую модель – ветвь параболы – описываются свойства функции. Обращая внимание учащихся на сходство свойств функций и , показаны и принципиальные различия в характере графиков, заметив, что график функции обращен выпуклостью вверх, тогда как график функции , где , обращен выпуклостью вниз. Система упражнений направлена на построение и чтение графиков.
Функция рассматривается как существенный элемент в ряду основных школьных функций, поэтому в системе упражнений предусмотрена работа по традиционным для концепции изучения функций шести направлениям. Построение графика, как обычно, осуществляется по «кусочкам».
Изучение функции идет после изучения функции . Начинается изучение данной функции с построения графика по точкам, график – гипербола. Дано понятие асимптот. Обнаружено «более тонкое» геометрическое свойство: у гиперболы имеется не только центр симметрии, но и оси симметрии. Определены свойства функции при и .
Изучений функций продолжается в 9 классе в главе «Числовые функции». Показаны функции и , их свойства и графики. Функция названа степенной. Перед изучением данных функций даны определения числовой функции, области определения, области значений функций; показаны способы задания функции. В один параграф собраны все свойства функций, изученных в 7-м и 8-и классах, их геометрический смысл. Пополнен запас свойств функций – даны определения четной и нечетной функций, показан алгоритм исследования функций на четность. Изучение степенной функции продолжается в 10-11 классе.
В 10-11 классах исследуются тригонометрические, показательная и логарифмические функции. Теоретический материал об уравнениях и неравенствах с параметрами расположен в конце учебника.

2 МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ
Изучение конкретных функций в основной школе обычно проводится по следующей методической схеме:

Анализ конкретных задач или примеров из реальной жизни, науки, техники, приводящих к данной функции.
Определение рассматриваемой функции, ее запись с помощью формулы, исследование параметров, входящих в эту формулу.
Построение графика функции. Установление влияния параметров на характер графического изображения функции.
Исследование свойств функции, исходя из ее графика или из формулы.
Обучение учащихся истолкованию свойств функции на трех языках: графическом, словесном, символическом.

В старших классах методическая схема выглядит по-другому:

Определение рассматриваемой функции, ее запись с помощью формулы, исследование параметров, входящих в эту формулу.
Примеры из реальной жизни, науки, техники, приводящие к данной функции.
Исследование свойств функции.
Построение графика функции. Установление влияния параметров на характер графического изображения функции.
Применение свойств функций для решения уравнений и неравенств.

2.1 Методика изучения линейной функции и ее графика
Пропедевтикой изучения линейной функции и ее графика является изучение в 6 классе прямой и обратной пропорциональности, координатной плоскости. К началу изучения линейной функции и ее графика учащиеся должны уметь распознавать прямо пропорциональную и обратно пропорциональную зависимости, пользуясь их определениями; выражать зависимость между величинами в виде формул; строить прямоугольную систему координат; определять координаты точек на координатной плоскость; строить точки на координатной плоскости с заданными координатами; строить простейшие графики по заданным условиям на координатной плоскости и интерпретировать данные графика на вербальном уровне.
Кроме этого, к началу изучений линейной функции целесообразно ввести понятие уравнения с параметра, рассмотреть простейшие способы решения таких задач и систематически отрабатывать данный материал.
Примеры.

Укажите постоянные и переменные величины, входящие в уравнения.

1) 2) 3)
4) 5) 6)

Решите уравнение при всех значениях параметра.

1) 2)
3) 4)

При каком значении параметра уравнение обращается в тождество?
Найдите все значения параметра, при каждом из которых уравнение не имеет решения.

1) 2)
и т.д.
В 7 классе необходимо опереться на эти знания и сделать некоторые обобщения. Рассматривая уже знакомые конкретные примеры:
( – длина пути при равномерном движении);
( – длина окружности);
( – масса вещества),
выясняется, что если считать две величины переменной, а одну постоянной, то во всех этих случаях зависимость между переменными величинами можно выразить формулой , где каждое заданное значение числа определяет некоторую функцию .
Затем формулируется четкое определение:
Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида , где – независимая переменная, - не равное нулю число.
Показывается, что число в формуле называется коэффициентом прямой пропорциональности, а само название функции связано со следующей пропорцией:

Для выяснения вида графика прямой пропорциональности необходимо рассмотреть данную функцию при конкретном значении параметра , например, . Для этого необходимо уточнить область определения функции и составить с учащимися таблицу соответственных значений переменных и для некоторых значений аргумента . Например, для функции таблица соответственных значений переменных и может выглядеть таким образом:

	- 2	- 1,5	- 1	- 0,5	0	0,5	1	1,5	2
	- 4	- 3	- 2	-1	0	1	2	3	4

Далее необходимо в координатной плоскости отметить точки, координаты которых помещены в таблице (рисунок 1), обратив внимание на то, что точки принадлежат некоторой прямой, проходящей через начало координат и что для построения данной прямой достаточно найти координаты одной точки (рисунок 2).

Рисунок 1

Рисунок 2

Проделав ряд упражнений на построение графиков функции вида при различных значениях постоянной (параметра ), необходимо выяснить, геометрическое значение параметра: при график прямой пропорциональности расположен в первой и третьей координатных четвертях, а при – во второй и четвертой (рисунки 3 и 4).

Рисунок 3

Рисунок 4

Для выяснения геометрического значения параметра можно предложить учащимся лабораторную работу: подобрать функции, заданные формулами:

Затем заполнить таблицу значений функции при с шагом 0,5. Учащиеся заполняют каждый свою таблицу и отмечают в координатной плоскости точки, координаты которых помещены в таблице и делают вывод о геометрическом значении параметра.
Продолжая изучение прямой пропорциональности, надо рассмотреть ряд задач на умение строить график данной функции и решение задач с использованием понятия прямой пропорциональности.
Примеры.

Построить график функции при:

1) 2) 3)
4) 5)

Построить график функции и указать, внутри каких координатных углов расположен этот график:

1) 2) 3)
4) 5) 6)

Построить график функции и определить угловой коэффициент , если график проходит через точку:

1) 2) 3)

Построить график функции:

1) 2)

Не выполняя построения, показать схематически, как расположен график функции, заданной формулой:

1) 2) 3)
4) 5) 6)

Показать схематически в одной координатной плоскости, как расположены графики функций и , если:

1)
б)

По графику функции определить знак коэффициента (рисунки 5 и 6):

Рисунок 5

Рисунок 6

На рисунках приведены графики некоторых функций. Указать графики прямой пропорциональности и написать формулы этих функций (рисунки 7 - 12):

Рисунок 7	Рисунок 8	Рисунок 9

Рисунок 10	Рисунок 11	Рисунок 12

Переход от функции к функции целесообразно осуществить через ряд частных случаев.
Пример. Ученик купил тетради по 3 р. за штуку и ручку за 5 р. Обозначим число купленных тетрадей буквой , а стоимость покупки (в рублях) буквой . Получим

где – натуральное число.
Пример. На складе было 500 т угля. Ежедневно стали увозить по 30 т угля. Сколько угля будет на складе через 2, 5, 10 дней? Обозначим буквой количество дней, а количество оставшегося угля за . Получим

Обобщая зависимости такого вида, необходимо дать четкое определение линейной функции.
Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида , где - независимая переменная, и – некоторые числа.
Необходимо рассмотреть случай, когда коэффициент может равняться нулю:
, где
В итоге следует вывод: функция - частный случай линейной функции.
Фиксируя значение коэффициента , рассматриваются функции, выражаемые уравнениями: и т.д.
Индуктивное рассуждение приводит к гипотезе: графиком функции является прямая, параллельная прямой, являющейся графиком функции и отсекающая от оси отрезок длиной и для построения необходимо найти координаты двух точек, через которые надо провести прямую.
Далее выявляется роль параметров и в расположении графика линейной функции:

при графиком является прямая, проходящая через начало координат и совпадающая с графиком функции
при графиком является прямая, параллельная графику функции
при графиком является прямая, параллельная оси
при графиком является прямая, совпадающая с осью

Для того чтобы изучить класс линейных функций в совокупности его общих свойств, необходимо поставить новую для учащихся познавательную задачу: исследовать функцию в зависимости от параметров, установить геометрический смысл параметров. Наиболее естественный прием, который может быть применен, состоит в рассмотрении одновременно нескольких функций, у которых один из параметров изменятся, а другой остается постоянным. Простейшая система, реализующая этот прием, состоит из четырех заданий с их последующим анализом и установление связей между ними.

Постройте графики функций:

Основная часть работы начинается после построения графиков. Их нужно сравнить, обращая внимание на особенности графиков в зависимости от числовых значений коэффициентов.

Рисунок 13	Рисунок 14

Рисунок 15	Рисунок 16

Следует обратить внимание на то, что графики на рисунках 13 и 14 образуют с осью абсцисс одинаковые углы, это же имеет место и для графиков на рисунках 15 и 16. Кроме того, графики на рисунках 13 и 14 образуют с осью абсцисс меньшие углы, чем на рисунках 15 и 16. С другой стороны, коэффициенты при переменной в формуле для первой и второй функций одинаковы и меньше, чем соответствующие коэффициенты у третьей и четвертой функций. После этого можно рассмотреть другие примеры, где коэффициент - отрицательный. После этого сформулировать вывод о зависимости рассмотренного угла от коэффициента (рисунок 17), ввести термин «угловой коэффициент» и привести несколько закрепляющих упражнений.

Рисунок 17

Пример. На одном и том же чертеже изображены графики функций Построить на этом же чертеже графики функций объяснить построение.
Полезно задать учащимся для закрепления материала домашнюю работу: построить графики рассмотренной зависимости при различных значениях и Значения и следует задать, например:

В классе нужно рассмотреть хотя бы часть этих графиков, построив их на доске, используя цветные мелки.
После ознакомления учащихся с функциями и и их графиками чрезвычайно полезно рассмотреть какую-либо задачу, которая привела бы учеников к пониманию уравнения с одним неизвестным как равенства значений двух функций от одного и того же аргумента, например: определить, при какой высоте прямоугольник с основанием, равным 3 м, имеет площадь, численно равную периметру его. Элементарные рассуждения приводят к тому, что в этом случае периметр прямоугольника выразится м, а площадь м². Так как эти выражения по условию должны быть численно равны, то можно составить уравнение которое легко решается Вместе с этим каждое из выражений можно рассматривать как функцию: и Для каждой из них можно построить график. Если графики перенести на одну координатную сетку, то они пересекутся. Абсцисса точки пересечения дает то значение функции при которой рассматриваемые функции и равны (рисунок 18).
В конце изучения темы полезно повторить все свойства линейной функции и с помощью учащихся составить таблицу (таблица 1)

Таблица 1 – Свойства линейной функции

Свойства функции






	сохраняет постоянное </

Образовательный портал