Образовательный портал

 

ПРАВИТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

КОМИТЕТ ПО НАРОДНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ

ГБОУНПО

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ЛИЦЕЙ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

 

 

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ:

«ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ.

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА»

 

 

                                                                               ПРЕПОДАВАТЕЛЬ

                                                                               ПЕРШИКОВА

                                                                               МАРИАННА СТЕПАНОВНА

 

СОГЛАСОВАНО:

ПРОТОКОЛ МК

ОТ «___»______ 2012г

 

 

 

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2011-2012 УЧ. ГОД

 

 

 

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАБОТА

 

ТЕМА:Создание электронной базы данных по преподаванию алгебры на

II курсе по разделам «Показательная функция. Показательные уравнения

и неравенства», «Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения

и неравенства», «Системы показательных и логарифмических уравнений»

 

     Данная методическая работа может быть использована как опорный конс-

пект по указанным темам для учащихся, которые хотят восполнить пробелы

в знаниях в связи с пропуском занятий, более глубоко усвоить пройденный

материал, ознакомиться с уровнем заданий, предлагаемых для сдачи ЕГЭ.

     К работе прилагается дидактический материал в виде карточек-заданий

для индивидуальной работы по материалам для сдачи ЕГЭ (базовый уровень)

 

Основные цели предлагаемой работы:

1.     Формирование понятий о показательной функции, о степени с произвольным действительным показателем, о свойстве показатель-

     ной функции, о графике функции, о симметрии относительно оси

     координат

2.  Формирование умения решать показательное уравнение различными

      методами: уравниванием оснований, уравниванием показателей, выне-

      сением общего множителя за скобки, введением новой переменной.

3.   Овладение умением решать показательные неравенства различными

методами.

4.    Овладение навыками решения системы показательных уравнений.

5.    Формирование представлений о логарифме, об основании логарифма,

        о логарифмировании, о десятичном логарифме, о  натуральном лога-

        рифме, о формуле перехода от логарифма по одному основанию к

        логарифму по другому основанию.

6.     Формирование умения применять свойства логарифмов: логарифм

        произведения, логарифм частного, логарифм степени при упрощении

        выражений, содержащих логарифм.

7.     Формирование понятий  о логарифмической функции, ее графике

        и свойствах.

8.     Овладение приемами нахождения области определения логарифми-

        ческой функции.

9.     Овладение умением решать логарифмическое уравнение, переходя

        к равносильному логарифмическому уравнению, применяя метод

        потенцирования, метод введения новой переменной, метод логариф-

        мирования.

10.   Овладение навыками решения логарифмического неравенства.

 

 

 

Показательная функция, ее график и свойства.

 

      у=а^х, где а>0; а≠1; х - любое, называется показательной функцией.

      Схематический график показательной функции выглядит следующим

образом:

   1. у=а^х, если а>1                                                2. у=а^х, если 0<а<1

                       

 

Свойства функции.

 

   1. ООФ   х є(-∞; ∞)

   2. Область изменения значения функции  у є(0; ∞), т.е. а^х>0 всегда, при

    любом «х»

   3. Eсли  х = 0, то а^х =а⁰=1 Все графики проходят через точку (0;1)

   4. у=а^х, если а>1 – возрастающая, если а<1 – убывающая

   5. Если а>1 и х→∞, то  а^х→∞

       Если х→-∞, то а^х→0

  Если 0<а<1 и х→∞;  а^х→0; х→-∞;  а^х→∞

 

   Выполнить упражнения: Алимов, 10-11.  упр.№ 195, 196, 199, стр.74

   Образец решения:

   №195(2)

   Сравнить числа 0,3² и 1; т.к. 1=0,3⁰, то сравним 0,3² и 0,3⁰, т.к. основание

а= 0,3<1, то функция убывающая, следовательно  0,3² <0,3⁰

   №196(2)

   Сравнить с 1  (3,5)^0,1;  т.к. 1=(3,5)⁰, то сравним (3,5)^0,1 и (3,5)⁰, т.к. а=3,5>1,то функция возрастающая, следовательно (3,5)^0,1> (3,5)⁰, т.е. (3,5)^0,1>1

   №199(2)

   Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция  у=(1/7)^-х

Решение (1/7)^-х=7^х, следовательно у=(1/7)^-х  - возрастающая

 

Показательные уравнения

 

     Определение: Уравнение, содержащее неизвестное только в показателе

степени, называется показательным.

     Существуют три способа решения показательных уравнений. Решение

уравнений всеми способами сводится к решению уравнения а^f(x)=а^g(x), где

а>1 и а≠1. Так как основания равны, то равны и показатели степеней, т.е.

f(х)=g(х).

   Iспособ решения.Уравнивание оснований обеих частей уравнения.

   Примеры с решением.

   1. 2^х=32;  2^х=2⁵;  х=5  Ответ: х=5

   2. 49^х=1/7;  7^2х=7^-1;  2х=-1;  х=-1/2  Ответ: х=-1/2

   №208, 209, 210

   Образец решения:

    №210(2)

    2∙4^х=64;  2¹∙2^2х=2⁶;  2^1+2х=2⁶;  1+2х=6;  2х=6-1;  2х=5;  х=5/2  Ответ: х=2,5

 

   IIспособ решения.Вынесение общего множителя за скобку.

   Примеры с решением.

   1. 2^х-2^х-2=3;  2^х-2^х∙2^-2=3;  2^х(1-1/4)=3;  2^х∙3/4=3;  2^х=3∙4/3=4;  2^х=2²;  х=2

      Ответ: х=2

   2. 2^х+1+3∙2^х-1-5∙2^х+6=0

    2^х∙2¹+3∙2^х∙2^-1-5∙2^х=-6

    2^х(2+3/2-5)=-6

    2^х(-3/2)=-6

    2^х=-6∙-2/3=4;  -2∙-2=4;  2^х=2²;  х=2  Ответ: х=2

   Выполнить упражнения: Алимов, упр.№ 211, 218, стр.77

   Образец решения:

   №218(2)

   3^2у-1+3^2у-2-3^2у-4=315

   3^2у∙3^-1+3^2у∙3^-2-3^2у∙3^-4=315

   3^2у(1/3+1/9-1/81)=315

   3^2у∙35/81=315

   3^2у=315∙81/35

   3^2у=9∙81

   3^2у=3²⁺⁴

   3^2у=3⁶

   2у=6

   у=3

      Ответ: у=3

 

 

IIIспособ решения. Приведение к квадратному уравнению.

а^2х+а^х+b=0 Такое уравнение решается методом введения новой перемен-

ной t.

а^х=t; тогда t²+t+b=0. Находим t₁и t₂; затем в подстановку подставляем

найденные t₁и t₂;

а^х= t₁, находим х₁;       а^х= t₂, находим х₂

Примеры с решением.

   1. 3^х+2+9^х+1-810=0

      3^х+2+3^2х+2-810=0

      3^х∙3²+3^2х∙3²-810=0

      3^х=t

      9t+9t²-810=0;  9t²+9t-810=0 | : 9

      t²+t-90=0;  t₁=9;  t₂=-10;

      3^х=9;  3^х=3²;  х=2

      3^х=-10  решений нет, т.к. 3^х>0 всегда, при любом х.

      Ответ: х=2.

   2. 5^х+125∙5^-х=30

      5^х+125/5^х=30 | ∙ 5^х

      5^2х+125-30∙5^х=0

      5^х=t

      t²-30t+125=0

      t₁=25

      t₂=5

      5^х=25;  5^х=5²;  х=2;

      5^х=5;  х=1

      Ответ: х=1;  х=2.

   3. 3^2х-3^х=702

      3^х=t

      t²-t-702=0;  t₁=27;  t₂=-26;

      3^х=27;  3^х=3³;  х=3

      3^х=-26  решений нет, т.к. 3^х>0;

     Ответ: х=3.

   Уравнения по IIIспособу решения повышенной сложности.

   4. Аа^х+Ва^х/2∙b^х/2+Сb^х=0

      Решается делением, например, на а^х≠0 (или на b^х≠0)

      А(а/b)^х+В(а/b)^х/2+С=0;  получаем квадратное уравнение, например:

      3∙25^х-5∙10^х+2∙4^х=0

      3∙5^2х-5∙2^х∙5^х+2∙2^2х=0  разделим каждый член уравнения на 2^2х≠0

      3(5/2)^2х-5∙(2^х∙5^х/2^2х)+2=0

      3(5/2)^2х-5∙(5/2)^х+2=0

      (5/2)^х=t

      3t²-5t+2=0;  t_1/2=5±/6

      t₁==1;  t₂==2/3

      (5/2)^х=1;  (5/2)^х =(5/2)⁰;  х₁=0

      (5/2)^х=2/3;  х₂=log_5/22/3

      Ответ: х₁=0; х₂=log_5/22/3.

   5. 7^х-2=3^2-х;   7^х-2=(1/3)^х-2;  разделим обе части на (1/3)^х-2; имеем

      ()^х-2=1;  21^х-2=1;  21^х-2=21⁰;  х-2=0;  х-2

      Ответ: х=2.

   6. 2^8-х+7^3-х=7^4-х+2^3-х∙11

      2^8-х-2^3-х∙11=7^4-х-7^3-х

      2^3-х(2^8-х-3+х-11)= 7^3-х(7^4-х-3+х-1)

      2^3-х(2⁵-11)= 7^3-х(7-1)

      2^3-х∙21=7^3-х∙6

      (2/7)^3-х=6/21;  (2/7)^3-х=2/7;  3-х=1;  -х=-2;  х=2

      Ответ: х=2.

   Выполнить упражнения: Алимов, 10-11, упр.№213, 219(1,2), стр. 77,78

 

Решение показательных неравенств.

 

                                           a^f(x)>a^g(x)

 

 

 

если а>1, то f(x) >g(x)                                    если 0<а<1, то f(x) < g(x)

т.е. знак неравенства                                      т.е. знак неравенства

сохраняется                                                     меняется на противопо-                                                

                                                                          ложный

 

      Показательные неравенства решаются теми же способами, что и

показательные уравнения.

   Примеры с решением.

   1. (1/2)^-2х+5<(1/2)^-5, т.к. основание меньше 1, то -2х+5>-5;  -2х>-10;  х<5;

    Ответ: (-∞; 5).

   2. 3^2х-5<3^5х-6, т.к. а>1, то 2х-5<5х-6;  -3х<-1;  х<1/3

      Ответ: (1/3; ∞).

   3. 1/27≤3^2-х<27

      3^-3≤3^2-х<3³

      -3≤2-х<3  Перенесем (т.е. отнимем 2 от обеих частей неравенства)

      -3-2≤-х<3-2

      -5≤-х-1;  -1<х≤5

      Ответ: (-1;5].

   4. 2^2х-1+2^2х-2+2^2х-3≥448

      2^2х∙2^-1+2^2х∙2^-2+2^2х∙2^-3≥448

      2^2х(1/2+1/4+1/8) ≥448

      2^2х∙≥448

      2^2х∙7/8≥448

      2^2х≥(448∙8)/7

      2^2х≥64∙8

      2^2х≥2⁶∙2³

      2^2х≥2⁹;  2х≥9;  х≥4,5

      Ответ: [4,5; ∞).

   5. 3∙9^х-10∙3^х+3<0

      3∙3^2х-10∙3^х+3<0

      3^х=t

      3t²-10t+3<0;  3t²-10t+3=0

      t_1/2=10±/6=10±8/6

      t₁==3;  t₂==1/3

      1/3

      3^-1       3^-1<3^х<3

      -1<х<3

      Ответ: (-1; 3).

 

 

   6. 9^х+3^х-12>0

      3^2х+3^х-12>0

      3^х=t

      t²+t-12>0;  t²+t-12=0                                                                                 t

       t₁=-4;  t₂=3                                                              -4                    3

       t>3;  t<-4

      3^х<-4 решений нет, т.к. 3^х>0

      3^х>3¹;  х>1

      Ответ: (1; ∞).

   Решить самостоятельно: 25^х-2∙5^х<0

   Выполнить упражнения: Алимов, стр.81, №228,229,231,232,233

   Разберем №231(4)

   (2)^6х2+х≤7

   (8/3)^6х2+х≤64/9

   (8/3)^6х2+х≤(8/3)²

   6х²+х≤2

   6х²+х-2≤0

   х_1/2=(-1±)/12=(-1±7)/12

 

 

Решение систем показательных уравнений

   Алимов, стр.84, №240-243

   №240(1)

   2х-у=1                       

   5^х+у=5²

   2х-у=1

   5^х+у=5²

   2х-у=1 

   х+у=2

   3х=3; х=1;       1+у=2; у=1;

   Ответ: (1;1)

   №241(1)

   4^х∙2^у=32

   3^8х+1=3^3у

   2^2х∙2^у=2⁵

   3^8х+1=3^3у

   2х+у=5

   8х+1=3у

   2х+у=5  |∙3

   8х-3у=-1

   6х+3у=15

   8х-3у=-1

   14х=14;  х=1

   2∙1+у=5;  у=5-2=3

   Ответ: (1;3)

 

   242(1)

   2^х+2^у=6

   2^х-2^у=2     произведем сложение

   2∙2^х=8        2²+2^у=6

   2^х=4           2^у=6-4

   2^х=2²          2^у=2¹

   х=2             у=1

   Ответ: (2;1)

243(1)

   5^х-5^у=100

   5^х-1+5^у-1=30

   5^х-5^у=100

   5^х∙5^-1+5^у∙5^-1=30

   5^х-5^у=100

   1/5(5^х+5^у)=30

   5^х-5^у=100

   5^х+5^у=150

 

   2∙5^х=250;  5^х=125;  5^х=5³;  х=3

       5³=100+5^у;  5^у=125-100;  5^у=25;  5^у=5²;  у=2

   Ответ: (3; 2)

 

     К данной методической работе прилагаются карточки-задания в виде

раздаточного материала, соответствующему базовому уровню при сдаче

ЕГЭ по математике, а также диагностическая контрольная работа.

 

Образец контрольной работы №1 по теме:

«Показательная функция»

   Вариант 1.

   1. Решить уравнение:

      а) (16/25)^х+3=(125/64)²

      б) 5^х+1+5^х+5^х-1=155

      в) 3^2х+5=3^х+2+2

   2. Решить неравенство:

      а)2^х2>(1/2)^2х-3

      б) 5^2*+1+4∙5^х>1

   3. Решить систему уравнений:

      2^х+у=32

      3^3у-х=27

 

 

   Вариант 2.

   1. Решить уравнение:

      а) (2/3)^1-2х=(27/8)^-3

      б) 2∙7^х+2+7^х-1=687

      в) 4^2х-3-3∙4^х-2-1=0

   2. Решить неравенство:

      а) 10^х2<10^-3∙(10^3-х)²

      б) 9^х<10∙3^х-9

   3. Решить систему уравнений:

      3^2у-х=1/81

      3^х-у+2=27

 

Диагностическая контрольная работа по теме:

«Показательная функция»

   Вариант 1.

   1. Укажите, какие из перечисленных функций являются возрастающими:

      а) у=0,3^х;  б) у=(1/7)^-х;  в) у=1,3^2х;  г) у=0,7^3х;

   2. Сравнить числа:

      (1/5)^0,2 и (1/5)^1,2

   3. Найдите значение выражения:

      9^1,5-81^0,5-(0,5)^-2

   4. Решите уравнение:

      32^3х-1=

   5. Решите систему уравнений:

      4^х∙2^у=32

      3^8х+1=3^3у

 

   6. Решите показательное неравенство:

      9^х-8∙3^х+1-81≥0

 

Диагностическая контрольная работа по теме:

«Показательная функция»

 

   Вариант 2.

   1. Укажите, какие из перечисленных функций являются убывающими:

      а) у=0,18^х;  б) у=1,69^х;  в) у=(1/2)^-х;  г) у=4^-х;

   2. Сравните числа:

      5^-0,2 и 5^-1,2

   3. Найдите значение выражения:

      25^1,5+(0,25)^-0,5-81^0,75

   4. Решите уравнение:

      0,75^2х-3=(1)^5-х

 

 

   5. Решите систему уравнений:

      3^3х-2у=81

      3^6х∙3^у=27

   6. Решите показательное неравенство:

      49^х-48∙7^х≥49

 

 

 

Логарифмическая функция.

 

Понятие логарифма числа

   Запишем равенство а^с=b, где а-основание степени; а>0;  а≠1, с-показа-

тель степени; с-любое число; b=а^с – степень; b>0 всегда.

Например: 2³=8; 2-основание степени; 3-показатель степени; 8-степень;

Пусть одно из значений а;b;с- неизвестно, тогда могут быть три случая:

      1. Неизвестно основание (обозначим его за «х»). Рассмотренное равенство примет вид: х^с=bили х³=8. Основание степени находим действием  извлечения корня: х= или х=

      2. Неизвестное – степень. Рассмотренное равенство примет вид: а^с=х

или 2³=х;  х=8 Значение «х» находится по определению степени.

      3. Неизвестен показатель степени, в которую надо возвести основание,

чтобы получить данную степень  а^х=b;  2^х=8

   Определение:Показатель степени, в который надо возвести основание,

чтобы получить данное число, называется логарифмом данного числа по

данному основанию и обозначается:

   х=log_аb(а>0; а≠1; b>0);  х=log₂8 (8>0; 2>0)

     Итак, учащийся должен уметь переходить от равенства а^с=bк равенст-

ву log_аb=с и наоборот.

   Пример: Записать показательные равенства в виде логарифмических

      а) 2⁵=32;  log₂32=5

      б) 7^-2=1/49;  log₇1/49=-2

      в) (3/2)^-3=8/27;  log_2/38/27=-3

      г) (0,25)^-0,5=2;  log_0,252=-0,5

   Для самостоятельной работы: Алимов 10-11, стр.92, №266

   Перейти от логарифмической записи к показательной и вычислить:

   №267

         log₂16=4;  log₂64=6; log₂2=1;  log₂1=0

Решить самостоятельно: №268(1,2,3), №269, №270(1,2), №271(1-5), №272,

№273

   Разберем наиболее сложные примеры:

   №268(4)

      log₂1/=х  - обозначим искомый логарифм за «х»; запишем это равенство в виде показательного по определению логарифма  2^х=1/; приведем обе части равенства к одному основанию:

      2^х=1/2^1/4;  2^х=2^-1/4;  х=-1/4

   №270(4)

      log₃1/=х;  3^х=1/;  3^х=3^-1/4;  х=-1/4;

      Найти «х», если log_√2х=8

      Решение: ()⁸=х;  (2^1/2)⁸=х;  2⁴=х;  х=16

 

 

 

Основное логарифмическое тождество

   а^log_а^b=b  (а>0; а≠1; b>0); 

   Примеры:

   №274 Вычислить:

      а) 3^log₃¹⁸=18;  (1/4)^log_1/4¹⁶=16

          10^log₁₀²=2

      б) 9^log₃⁵=(3²)^log₃⁵=5²=25

      в) 3^5log₃²=2⁵=32

      г) 5^log₂₅²

      Обозначим искомое выражение за «х»; тогда основание 5=, тогда

      условие можно записать √25^log₂₅²=25^1/2log₂₅²=(25^log₂₅²)^1/2=2^1/2=

      Ответ:

      д) 81^1/4-1/2log₉⁴=81^1/4/81^1/2log₉⁴=(3⁴)^1/4/9^1/2∙log₉⁴=3/9^log₉⁴=3/4

      (по правилу действия со степенями а^m-n=a^m/aⁿ)

      Ответ: 3/4;

   Решить самостоятельно: Алимов 10-11, упр. 275, 276, 280, 281

 

Свойства логарифмов (теоремы логарифмирования)

   1. Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей

      log_a(b∙c)=log_ab+log_ac

   2. Логарифм частного (деления) равен логарифму числителя минус

логарифм знаменателя:

      log_ab/c=log_ab-log_ac

   3. Логарифм степени равен показателю степени, умноженному на лога-

рифм основания степени:

       log_ab^r=rlog_ab

   Во всех трех теоремах: а>0; а≠1; b>0; с>0; r- любое число.

   Примечание: сумма и разность не логарифмируются

Пример: №291(1); 290(1); 292(1); 293(1); 294(1);

   1. log₂15-log₂15/16=log₂=log₂16=4  (по свойству 2)

   2. log₁₀5+log₁₀2=log₁₀(5∙2)=log₁₀10=1 (по свойству1)

   3. log₁₃=log₁₃=log₁₃13^2/5=2/5log₁₃13=2/5  (по свойству 3)

   4. log₈12-log₈15+log₈20=log₈12/15+ log₈20=log₈(∙20)=log₈16

      Обозначим log₈16=x, тогда 8^х=16;  2^3х=2²;  3х=4;  х=4/3;

      Таким образом  log₈16=4/3  ( по свойствам 1 и 2)

   5. log₃8/log₃16=log₃2³/ log₃2⁴=3log₃2/4log₃2=3/4  (по свойству 3)

   Решить самостоятельно: 290(2-4), 291(2-4), 293(2-4), 294(2-4)

 

Десятичные и натуральные логарифмы

Формула перехода от логарифма по одному основанию

к логарифму по другому основанию.

 

   Определение 1.Логарифмы по основанию 10 называются десятичными

и обозначаются: log₁₀b=lgb

Полезно знать, как вычисляются десятичные логарифмы чисел, изобра-

женных единицей с нулями:

     lg1=0                                           lg0,1=-1

     lg10=1                                         lg0,01=-2

     lg100=2                                       lg0,001=-3

     lg100=3

 

     lg10…0=n                                   lg0,00…01=-n

          n                                                     n

   Определение 2.Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где e-иррациональное число, приближенно

равное 2,7, и обозначается log_eb=lnb

Формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по

другому основанию log_ab=log_cb/log_ca, где b>0;  а>0; а≠1; c>0; с≠1

 

   Упр. №305(1-3)                 Упр. №305(4-6) решить самостоятельно

   Выразить данный логарифм через логарифм с основанием 7.

   log₅3=log₇3/log₇5

   lg6= log₇6/log₇10

   log₂7= log₇7/log₇2=1/log₇2

   Упр. №308

   Дано: log₇2=m

   Найти: log₄₉28

   Решение:

   log₄₉28=log₇28/log₇49= log₇(4∙7)/log₇49= (log₇4+log₇7)/2=(log₇2²+1)/2=

   (2log₇2+1)/2=(2m+1)/2

   Упр. №309 решить самостоятельно.

 

 

 

Образец контрольной работы №2 по теме:

«Свойства логарифмов»

   Вариант 1

   1. Вычислить:

      а) (1/7)^1+2log_1/7³

      б) log₇8/( log₇15-log₇30)

      в) 1/2log₇36-log₇14-3log₇

      г) 1/3log₉log₂8

   2. Сравнить числа:

      3^log_1/3¹⁸  и  17^log_1/3³

   3. Дано: lg3=a;  lg2=b

      Найти: log₅6

 

   Вариант 2  приводится с решением

   1. Вычислить:

      а) (1/4)^{-5 log}₂³⁺¹

      Решение:

      (2^-2)^{-5 log}₂³∙(1/4)¹=2^{10 log}₂³∙1/4=3¹⁰∙=∙3¹⁰

      Ответ:∙3¹⁰

      б) (log₅36-log₅12)/log₅9

      Решение:

      (log₅36-log₅12)/log₅9=log₅/log₅9=log₅3/log₅3²=log₅3/2 log₅3=1/2

      Ответ: 1/2.

      в) 2 log_1/36-1/2 log_1/3400+3 log_1/3

      Решение:

      2 log_1/36-1/2 log_1/3400+3 log_1/3=log_1/36²-log_1/3400^1/2+log⁽⁾=

      log_1/336-log_1/320+log_1/345=log_1/3=log_1/381=-4

      Ответ: -4.

      г) 2 log₃log₂8

      Решение:

      2 log₃log₂8=2 log₃3=2

     Ответ: 2

   2. Сравнить числа:

      2^log_1/2¹¹  и  12^log_1/3³

      Решение:

      (1/2)^log_1/2¹¹  и  12^-1

      1/11  и  1/12;  1/11>1/12

      Ответ: 2^log_1/2¹¹>12^log_1/3³;

   3. Дано: log₂5=a

      Найти: log₄1250

       Решение:

      log₄1250=log₂1250/log₂4=log₂(125∙2∙5)/2=(log₂5³+log₂2+log₂5)/2=

      (3∙a+1+a)/2=(4a+1)/2

      Ответ: (4a+1)/2;

 

Логарифмическая функция, ее график и свойства.

   y=log_ax,  где  а>0; а≠1

Построим таблицу для двух графиков: y=log₂x  y=log_1/2x

x	1/8	1/4	1/2	1	2	4	8
y=log2x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y=log1/2x	3	2	1	0	-1	-2	-3

 

 

Построим эти графики в одной системе координат:

 

Свойства функции:

 

1. ООФ  х ε (0;∞)
2. Область изменения значения функции  yε (-∞;∞)
3. Логарифм единицы по любому основанию равен 0; loga1=0; Все графики проходят через точку с координатами (1;0).
4. logaa=1
a>1	0
5. y=logax - возрастающая	5. y=logax - убывающая
6. Логарифмы чисел больше единицы – положительны; если х>1, то logax>0	6. Логарифмы чисел больше единицы – отрицательны; если х>1, то logax<0
7. Логарифмы чисел меньше единицы – отрицательны; если 0<х<1, то logax<0	7. Логарифмы чисел меньше единицы – положительны; если 0<х<1, то logax>0

 

Теорема, используемая при решении логарифмических уравнений

и неравенств:

Если log_ax₁=log_ax₂, где а>0; а≠1, х₁>0, х₂>0, то х₁=х₂

 

Решить упражнения: №318, 319, 320, 321  стр.103

 

Логарифмические уравнения.

   Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма, называет-

ся логарифмическим.

   При решении логарифмических уравнений необходимо выполнять сле-

дующие положения:

   1. Если равны логарифмы при одном основании, то равны и выражения,

стоящие под знаком логарифма, то есть если log_af(x)=log_ag(x), то f(x)=g(x).

   2. При решении уравнений необходимо учитывать область определения

уравнения  и следует следить за ее изменением в процессе решения урав-

нения. При расширении области определения посторонние значения мож-

но отбросить в результате проверки. При сужении области определения

обнаружить потерянные корни не всегда возможно, поэтому не следует допускать сужение области определения. 

 

Способы решения логарифмических уравнений.

I.По определению логарифма

   1. log_x-1(x²-5x+10)=2

      Перейдем от логарифмической записи к показательной:

      (х-1)²=х²-5х+10

      х²-2х+1-х²+5х-10=0

      3х=9;  х=3;

      Проверка:

      Левая часть: log_3-1(3²-5∙3+10)=log₂4=2;  2=2;

      Ответ: х=3

   2. log₂(x²+4x+3)=3

      Перейдем от логарифмической записи к показательной:

      2³= x²+4x+3;  x²+4x+3-8=0;  x²+4x-5=0;  х₁=1;  х₂=-5;

      Проверка:

      х=1   левая часть log₂(1+4+3)=log₂8=3

      x=-5 левая часть log₂(25-20+3)=log₂8=3

      Ответ: х=1;  х=-5

   3. 1/3 log₃(2x+1)=1

      ОДЗ  2х+1>0;  2х>-1;  х>-1/2

      log₃(2x+1)=3;  по определению логарифма 3³=2х+1;  2х+1=27;  2х=26

      x=13;  ответ подходит по ОДЗ, следовательно х=13

      Ответ: х=13;

II. Сведение к квадратному уравнению

      log₂²x-3log₂x-10=0

      ОДЗ х>0

      Примем  log₂x=t, тогда t²-3t-10=0;  t₁=5;  t₂=-2

      log₂x=5,  откуда 2⁵=х;  х₁=32

      log₂x=-2, откуда 2^-2=1/4;  х₂=1/4

      Оба корня подходят по ОДЗ

      Ответ: х₁=32;  х₂=1/4;

III. Метод потенцирования: переход от равенства, содержащего, логариф-

   мы, к равенству не содержащему их.

   При выполнении преобразований не забывайте про область определения

   логарифмической функции.

   1. lgx=2-lg5;

      ОДЗ х>0

      lgx=lg100-lg5;  lgx=lg100/5;  lgx=lg20;  х=20;  Сравниваем ответ с  

      ОДЗ

      Ответ: х=20

   2. 2+log₃(x-2)=1/3log₃729 

      ОДЗ  х-2>0;  х>2;

      log₃9+ log₃(x-2)=1/3 log₃729^1/3;  log₃(9∙(х-2))= log₃9

      9(х-2)=9;  х-2=1;  х=3

      Ответ:  х=3;

   3. log₂(7x-4)=2+log₂13

      Преобразуем правую часть.

      Представим число 2 как log₂4, тогда уравнение примет вид:

      log₂(7x-4)=log₂4+log₂13

      ОДЗ  7х-4>0;  7х>4;  х>4/7

      log₂(7x-4)=log₂52

      7х-4=52;  7х=56;  х=8

      Ответ: х=8.

   4. lg(2x²+21x+9)-lg(2x+1)=1

      В таком уравнении легче будет сделать проверку:

      lg(2x²+21x+9)-lg(2x+1)=lg10

      lg(2x²+21x+9)/(2x+1)=lg10

      2x²+21x+9/2x+1=10

      2x²+21x+9=20x+10

      2x²+21x-20x+9-10=0

      2x²+x-1=0;  х₁=1/2;  х₂=-1;

      Проверка:

      х=1/2  левая часть lg(2∙1/4+21∙1/2+9)-lg(2∙1/2+1)=lg(1/2+21/2+9)-lg2=

      lg20-lg2=lg20/2=lg10=1;  1=1

      х=-1   левая часть lg(2∙1-21+9)-lg(-2+1)= Решений нет;

      х=-1   не удовлетворяет данному уравнению, так как в этом случае под

      знаком логарифма получаются отрицательные числа. Итак, данное         

      уравнение имеет один корень.

      Ответ: х=1/2.

IV. Логарифмирование обеих частей уравнения.

   1. x^lgx-3=0.01

      ОДЗ   х>0

      Логарифмируем обе части уравнения по основанию 10: lg(x^lgx-3)=lg0.01

      По третьему свойству логарифмов имеем: (lgx-3)lgx=-2;  lg²x-3lgx+2=0

      lgx=t;  t²-3t+2=0;  t₁=2;  t₂=1;

      lgx=2;  x₁=100;  lgx=1;  х₂=10

      Ответ:  x₁=100;   х₂=10

   2. 100^lg(x+20)=10000

      ОДЗ   х+20>0;   х>-20

      lg(100^lg(x+20))=lg10000

      lg(x+20)∙lg100=4

      lg(x+20)∙2=4

      lg(x+20) =2

      10²=x+20

      100=x+20

      x=80

      Ответ:  x=80.

V. Приведение логарифмов к одному основанию.

   1. log₃x+log₅x=log₃15

      ОДЗ   х>0

      Используем формулу перехода: log_ab=log_cb/log_ca

      Приведем все члены данного уравнения к основанию 3, тогда:

      log₅x=log₃x/log₃5;  имеемlog₃x+log₃x/log₃5=log₃15;

      log₃x∙log₃5+log₃x=log₃5∙log₃15               

      log₃x(log₃5+1)=log₃5∙log₃15

      таккакlog₃3=1, то   log₃x(log₃5+log₃3)=log₃5∙log₃15

      log₃x∙log₃15=log₃5∙log₃15, таккакlog₃15≠0, тоlog₃x=log₃5;  х=5

      Ответ: х=5

   2. log₂(x-1)²-log_1/2(x-1)=9

      ОДЗ   х-1>0;  х>1

      log₂(x-1)²-log₂(x-1)/log₂1/2=9

      2log₂(x-1)-log₂(x-1)/-1=9

      2log₂(x-1)-log₂(x-1)=9

      3log₂(x-1)=9

      log₂(x-1)=3

      2³=x-1;  х-1=8;  х=9

      Ответ: х=9

   3. log₂x-2log_x2=-1

      ОДЗ    х>0

                 х≠1

      log₂x-2log₂2/log₂x =-1

      log₂²x-2∙1=-log₂x

      log₂²x+log₂x-2=0

      log₂x=t

      t²+t-2=0;  t₁=-2;  t₂=1;

      log₂x=-2;  log₂x=1

      х₁=2^-2=1/4;  х₂=2¹=2

      Ответ: х₁=1/4;  х₂=2.

 

Задания для подготовки к контрольной работе по теме:

«Логарифмические уравнения»

   1. log_5-x(2x²-5x+31)=2

   2. 4^log_x⁵+15∙2^log_x⁵=34

   3. 2lgx/lg(8x-7)=1

   4. 100∙x^2lgx=x⁴

   5. 2∙log₄x+2log_x4=5

   6. log₃(2x²+1)-log₃(4x+5)=1

   7. log₂²x-9log₂x=10

   8. log₃²x-4log₃x=12

   9. lg(3x²+7)-lg(3x-2)=1

  10. ln(x+4)-ln(x+3)=ln3

  11. 2log₁₆²x-log₁₆x-1=0

  12. 1-log₅(x+3)=log₅2

 

 

   Решение логарифмических систем уравнений.

   №342(1)

     lgx-lgy=2

     x-10y=900

     lgx/y=lg100

     x-10y=900

     х>0;  y>0;

     x/y=100

     x=900+10y

     =100

     900+10y=100y

     90y=900

     y=10

     x=900+10∙10

     x=1000

     Ответ: (1000; 10)

 

   №342(2)

     log₃x+log₃y=2

     x²y-2y+9=0

     log₃xy=log₃9

     x²y-2y+9=0

     ОДЗ   х>0;  y>0

     xy=9

     x²y-2y+9=0

     x=9/y

     (9/y)²∙y-2y+9=0

     81/y-2y+9=0

     81-2y²+9y=0

     2y²-9y-81=0

     y_1,2=9±27/4

     y₁=36/4=9

     y₂== не удовлетворяет ОДЗ

     x₁=9/9=1

     Ответ: (1; 9)

 

Решить самостоятельно: Дорофеев (11 класс) 4.146, 4.148, 4.150;

 

Логарифмические неравенства.

   Решение логарифмических неравенств основано на использовании свойства монотонности логарифмической функции.

   Если  log_af(x)>log_ag(x), то:

 

     а>1                                                     0<а<1

     f(x)>g(x)                                            f(x)

     знак неравенства                              знак неравенства

     сохраняется                                      меняется на противоположный

    

   Итак, решение логарифмических неравенств сводится к решению

таких систем неравенств:

      f(x)>g(x)                 или                      f(x)

      f(x)>0                                                  f(x)>0                                                

      g(x)>0                                                 g(x)>0 

 

   Примеры:

   Алимов №355(2)

   1. log₈(4-2x)≥2 

      log₈(4-2x)≥log₈64

     4-2x≥64                                      

     4-2x>0 

     -2x≥60

     -2x>-4 

     x≤-30

     x<2

      x≤-30 

      Ответ: (-∞; -30]

   Алимов №355(6)

   2. log_2/3(2-5x)<-2

      log_2/3(2-5x)2/39/4, так как 0<а<1, то знак неравенства меняем на

      противоположный.

     2-5х>9/4

     2-5х>0

     -5х>9/4-2

     -5х>-2

     -5х>0,25

     -5х>-2

     х<-0,05

     х<0,4

      Ответ: х<-0,05 или (-∞; -0,05)

   Алимов357(1)

   3. log₁₅(x-3)+log₁₅(x-5)<1

      log₁₅((x-3)∙(x-5))1515

     (x-3)∙(x-5)<15                             

     x-3>0                                          

     x-5>0                                           

     x-3>0                                          

     x-5>0                                           

     x>3                                             

     x>5                                             

     x>5

Решаем первое неравенство:

х²-3х-5х+15<15                          

х²-8х+15-15<0

 

x

8

0

х²-8х<0

х²-8х=0

х(х-8)=0

х₁=0;  х₂=8

 

    Наносим на одну числовую прямую все корни:

 

                                                                      

                                                                           

                                                                                             x

      0                          5                         8                       

      Ответ: (5; 8)

   Алимов №361(4)

   4. log_1/2(x²-5x-6)≥-3

       log_1/2(x²-5x-6)≥log_1/28

     x²-5x-6≤8

     x²-5x-6>0

      Решаем первое неравенство:

      x²-5x-6≤8

      x²-5x-6-8≤0

      x²-5x-14≤0                                                                                    

      x²-5x-14=0                                                        -2               7         x

      х₁=7;  х₂=-2

      Решаем второе неравенство:

      x²-5x-6>0

      x²-5x-6=0                                                           -1                 6        x

      х₁=6;  х₂=-1

      Ищем общее решение:

 

                                                                                                    x

                     -2           -1             6                          7

      Ответ: [-2; -1);  (6; 7]

   5. Решить неравенство:

      log3(x-3)/x+3>0

      log₃(x-3)/x+3>log₃1

      основание а=3>1, следовательно:

 

     (x-3)/x+3>1

     (x-3)/x+3>0

    

      Решаем первое неравенство:

     -1>0

      (х-3-х-3)/х+3>0

      -6/(х+3)>0

      Так как в числителе число отрицательное, то, чтобы дробь была

      положительной, надо чтобы знаменатель был тоже отрицательным,

      то есть  х+3<0;  х<-3;

    

      Решаем второе неравенство:

      x-3/x+3>0

      1) х-3=0;   х₁=3

      2) х+3=0;  х₂=-3

      3)                                                  Решаем методом интервалов

                +            —           +

                      -3                3           x

 

 

      4) Наносим все корни на одну числовую ось:

 

 

                                                                                                      x

                                   -3                 3

    Ответ: (-∞; -3).

        6. Решить неравенство:

       log_1/3(3x+1)/(x-2)>-1

       log_1/3(3x+1)/(x-2)>log_1/33

       так как  а=1/3<1, то

       (3x+1)/(x-2)<3

       (3x+1)/(x-2)>0

       Решаем первое неравенство:

       -3<0;  (3х+1-3х+6)/(х-2)<0;  7/(х-2)<0;  х<2;

       Решаем второе неравенство:

       (3x+1)/(x-2)>0;  3х+1=0;  х=-1/3;  х-2=0;  х=2

 

 

                 +      —          +

                   -1/3               2           x

 

 

       Находим общее решение:

 

 

 

                 

 

 

                                     -1/3             2

       Ответ: (-∞; -1/3).

 

       В качестве упражнений для самостоятельной работы решить следующие

логарифмические неравенства:

       а) log₂(x²+6-5x)>1

       б) log_1/3(3x-2)<1/81

       в) log_0,5(х²-4)/(x+10)<-1

       г) lg(3x-2)

       д) log_1/3(x-2)-log₃(12-x)≥-2

       е) log_1/8(10-x)-log₆(x-3)≥-1

       ж) log_1/3(2x-9)> log_1/3(x-2)

        з) log_0,5 (2x-1)/(x+1)>1

        При решении не забудьте про область определения и характер монотонности функции.  

 

 

 

   Образец контрольной работы №3 по теме:

«Решение логарифмических уравнений и неравенств»

 

   Вариант №1

   1. Решить логарифмическое уравнение

      а) log₄(2x+3)+log₄(x-1)=2-log₄(5)

      б) log₂x-2log_x2=-1

      в) 1-log₅(x+3)=log₅2

   2. Решить логарифмическое неравенство

      а) log₇>1

      б) log_1/6(x²-3x+2)<-1

      в) log₃(5x-6)32+3

   3. Решить систему уравнений

       x+y=7

       lgx+lgy=1

 

    Вариант №2

   1. Решить логарифмическое уравнение

      а) log₂(2x-1)+log₂(x+5)=log₂52-2

      б) log₃x-6log_x3=1

      в) 2-log₄ (x+3)=log₄(x+3)

   2. Решить логарифмическое неравенство

      а) log₈(x²-4x+3)≤1

      б) log_1/4 ≥-1/2

      в) lgx+2lg2<1/2∙lg49-lg5

   3. Решить систему уравнений

       log₄x+log₄y=1+log₄9

       x+y=20

 

   Для получения удовлетворительной оценки достаточно правильно решить по одному примеру из каждого задания.

 

 

 

Диагностическая контрольная работа по теме

«Логарифмы. Логарифмическая функция»

 

   1. Из перечисленных функций выпишите логарифмические

      а) y=ln(2+x)

      б)   y=x+log_1/216

      в)   y=log₃(x-1)

      г)  y=5^log₅^2x

   2. Выберите из перечисленных функций возрастающие

      а) y=log_0.075x

      б) y=log_√3/2x

      в) y=lgx

      г) y=lnx

   3. Выберите из перечисленных функций убывающие

      а) y=log_0.03x

      б) y=log_√2/2x

      в) y=lgx

      г) y=lnx

      д)y=log_2,5x

   4. Что называется логарифмом числа «b» по основанию «а»

   5. Постройте графики функций f(x)=log_1/2xи g(x)=-1. Найдите точки

их пересечения и определите при каких «х» график функции y=f(x) ле-

жит ниже графика функции y=g(x).

   6. Постройте графики функций f(x)=log₃xи g(x)=2. Определите, при

каких «х» график функции f(x) лежит ниже графика функции g(x).

   7. Постройте графики функций f(x)=log₃xи g(x)=-1. Определите, при

каких «х» график функции y=f(x) лежит ниже графика функции y=g(x).

   8. Упростить и вычислить выражение

      log₂b+log₄b-1/5log₈b приb=1/64

   9. Упростить и вычислить выражение

      2log₁₂₅a+log₅a+1/3log_1/5a приa=125

  10. Упростить и вычислить выражение

      4log₇a+log_1/7a+3log₄₉a приa=1/49

  11. Решить неравенство

      log₆x+log₆(x+2)≤log₆24

  12. Решить неравенство

      log₂x+log₂(x-3)<2

  13. Решить неравенство

      log₂(x-4)+log₂(x+1)≤6

  14. Решить уравнение

      log₄ =2

  15. Прологарифмировать по основанию 5

      А=125∙a³∙b²/

Образцы решения некоторых примеров из ДКР.

 

   1. Ответ: а), в);

   2. Ответ: в), г);

   3. Ответ: а), б);

 

Y

5.                                                               Найти координату точки А

 

 

 

 

 

                            f(x)=y=-1

 

 

	X

 

                                  f(x)=y=log_1/2x

 

         Решение:  log_1/2x=-1;                               x=(1/2)^-1=2               

                                x=2                                 

                                y=-1                                А (2; -1)

      График функции f(x)=log_1/2xлежит ниже графика g(x)=-1 при х>2;

то есть (2; ∞)

      Ответ: А (2; -1)

   8. log₂b+log₄b-1/5log₈b=                                       Все три логарифма

       =log₂b+ log₂b/log₂4-1/5log₂b/log₂8=                 приведем к основанию 2.

       =log₂b+log₂b/2-log₂b/15=

       =log₂1/64+log_2/ 2- log_2/ 15=

       =-6+(-3)-(-6)/15=

       =-6-3+2/5=

       =-9+2/5=-8

      Ответ: -8;

  13. Решить неравенство

      log₂(x-4)+log₂(x+1)≤6

      log₂(x-4)+log₂(x+1)≤log₂64

      log₂((x-4)∙(x+1))≤log₂64

      (x-4)∙(x+1)≤6                                            x²+4x+x-4-6≤0

      x-4>0                                                        x²-3x-10≤0

      x+1>0                                                       x²-3x-10=0

                                                                       x₁=5;  х₂=-2

      х>4

      х>-1                                                                                -2               5

     х>4                                                                              

 

Наносим все три точки на одну прямую

 

 

 

 

                                                                                                           x

                                         -2          4                 5                               

Ответ: (4; 5]

  14. Решить уравнение

      log₄ =2

      4²=

       =16            4+2х=16х-80; 14х=84;  х=6;

      Проверка:

      log₄ =log₄16/1=log₄16=2;  2=2;

      Ответ: х=6;

  15. Пролагарифмировать по основанию 5

      А=125∙a³∙b²/

  Воспользуемся тремя свойствами логарифмов.

      А=125∙a³∙b²/=

      =log₅(125∙a³∙b₂)-log₅ =

      =log₅125+log₅a³+log₅b²-log₅ =

      =3+3log₅a+2log₅b-1/2log₅c

      Ответ: 3+3log₅a+2log₅b-1/2log₅c