Обыкновенные дроби: история возникновения, понятие, применение и свойства
Кожевникова Наталья Михайловна
Острая необходимость в дробях возникла у человечества с древнейших времён. Появление обыкновенных дробей учёные связывают с практическими потребностями человечества. Например, при делёжке добычи, при решении математических задач, в которых нужно было делить целые числа на части, а также при измерении длины, ширины, площади и объёма, времени и т.д. Многие ученые придерживаются мнения, что дробные числа возникли именно в процессе измерения [5].
В дальнейшем люди стали нуждаться в точных результатах измерения. В связи с этим в обиходе людей начали употребляться такие понятия, как треть, четверть, половина и т.д. С тех пор многие народы начали использовать понятие дроби и различные варианты их написания, до тех пор, пока не пришли к их современному написанию.
Несколько столетий назад тема «Обыкновенные дроби» в учебниках по арифметике не считалась обязательной для изучения. Данный раздел даже размещали в конце учебника, показывая тем самым, что дроби в то время не представляли большого интереса среди населения. Однако, уже в Средние века ситуация резко изменилась. В это время дроби начинают приобретать широкую известность [1].
Учёные древности считали, что дробные числа не должны рассматриваться в школьном курсе математики. Они считали, что в математике могут рассматриваться только целые числа. Ещё Платон писал: «Если ты хочешь делить единицу, математики тебя просто высмеют и не позволят тебе этого сделать». Однако человеческий опыт показал обратное. Египтяне использовали только элементарные дроби. У этих дробей в числителе всегда стояла единица. В математике данные дроби принято называть единичными или основными. Необходимость в дробях у египтян возникла в связи с высоким развитием архитектуры. Ведь для того, чтобы строить пирамиды, дворцы, сфинксы и храмы, им приходилось вычислять площади, длины, объёмы и т.д. Чтобы их вычислить, им нужно было знать арифметику, и, в частности, дроби.
Большинство греков не признавали дроби, считая, что они могут использоваться лишь в логистике. Древние греки прекрасно оперировали с дробями, но числами они их не признавали. Они считали, что в математике не место дробным числам. Математика, по их мнению, должна заниматься только изучением целых чисел. В Древней Греции помимо основных дробей, которыми пользовались египтяне, использовались и обыкновенные дроби [5].
В Древней Индии уже была создана современная система записи обыкновенных дробей. Индийские дроби отличаются от дробей других народов тем, что числитель у них располагается внизу, а знаменатель находился вверху. Кроме того, у индийцев в дробях не было черты дроби [1].
Записывать дроби, как сейчас их записывают в математике, начали арабы. У арабов было несколько способов записи обыкновенных дробей:
1. Они записывали дроби как индийцы, т.е. писали числитель под знаменателем. Черта дроби появилась только в Средние века.
2. Также арабы пользовались теми же дробями, что и египтяне, и греки.
В первых русских учебниках по математике дроби первоначально называли долями. Само слово дробь на Руси появилось в восьмом веке. В России большой вклад в изучение понятия дроби внёс Магницкий. Он написал учебник по математике, в котором раскрыл такие понятия, как знаменатель, числитель, черта дроби, а также он рассматривает такие понятия, как обыкновенная дробь, правильные и неправильные дроби, смешанные числа и т.д. [1]. На сегодняшний день считается, что дробные числа появились в глубокой древности, задолго до возникновения греческой цивилизации.
Обыкновенная дробь – это дробь вида m/n, где m и n – это натуральные числа, например, 12/15, 17/8.
В математике обыкновенные дроби записывают с помощью двух чисел и черты дроби. Числом n обозначают знаменатель дроби, а числом m обозначают её числитель. Знаменатель дроби показывает, на сколько равных частей разделили нечто целое, а числитель – сколько таких частей взяли. Черта дроби обозначает знак деления. [4].
Обыкновенные дроби могут быть неправильными и правильными. "Неправильной считается дробь вида n/m, в которой числитель больше знаменателя или равен ему" [2, с. 151]. Например, дроби 9/2, 3/3, 11/7 являются неправильными, т.к. их числитель больше знаменателя или равен ему. "Правильной дробью считается дробь вида m/n, в которой числитель меньше знаменателя" [2, с. 151]. Например, дроби 2/3, 7/13, 176/391 являются правильными, т.к. их числитель меньше знаменателя.
"Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби (или в виде натурального числа, если дробь m/n такова, что m кратно n; например: 24/6=4)" [4, с. 25].
В математике принято сумму натурального числа и правильной дроби записывать без знака сложения. Например, вместо 7+3/4 пишут 7 ¾ и т.д. Такую запись называют смешанной дробью. Смешанная дробь – это такая дробь, которую можно записать в виде целого числа и правильной дроби [4].
Арифметические действия над обыкновенными дробями
"Сложение обыкновенных дробей выполняют:
а) Если знаменатели дробей одинаковы, то числители складывают, а знаменатель оставляют тем же.
б) Если знаменатели дробей различны, то дроби приводят к общему знаменателю, а затем используют правило а).
Вычитание обыкновенных дробей выполняют так:
а) Если знаменатели одинаковы, то a/b - c/b=(a-c)/b
б) Если знаменатели различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем используют правило а)" [4, с. 29].
Умножение обыкновенных дробей осуществляется следующим образом: перемножают отдельно числители, отдельно знаменатели.
Деление обыкновенных дробей осуществляют следующим образом: a/b * c/d=ad/bc
Человек сталкивается с обыкновенными дробями повсюду. Большинство людей думает, что обыкновенные дроби встречаются только в математике, но на самом деле это не так. Куда бы мы не пошли, где бы мы не находились, нас везде будут окружать обыкновенные дроби. Мы сталкиваемся с ними на работе, учёбе, дома, на улице, в банках, аптеках и т.д. Дроби встречаются не только в повседневной жизни людей, но и в их профессиональной деятельности.
В повседневной жизни обыкновенные дроби используются:
1) При делении целого числа.
2) При нумерации домов.
3) В медицине. Например, когда врач назначает больному принимать ½ таблетки три раза в день.
4) При измерениях.
5) В кулинарии. Например, по рецепту нужно добавить ⅓ чайной ложки соды или ½ ложки соли.
6) В строительстве и т.д.
В профессиональной сфере обыкновенные дроби используются:
1) В танцах и музыке.
2) В спорте. Например, теннисистка Мария Шарапова пробилась в ½ финала турнира в Мадриде.
3) В математике, географии, биологии, химии, физике и т.д. [3].
Таким образом, можно сделать вывод о том, что понятие дроби появилось ещё в глубокой древности, как одна из практических потребностей общества. На сегодняшний день обыкновенная дробь – это дробь вида m/n, обладающая свойствами. Обыкновенные дроби окружают нас повсюду. Обыкновенные дроби используются не только в повседневной жизни, но и в профессиональной деятельности человека.
Список литературы:
В дальнейшем люди стали нуждаться в точных результатах измерения. В связи с этим в обиходе людей начали употребляться такие понятия, как треть, четверть, половина и т.д. С тех пор многие народы начали использовать понятие дроби и различные варианты их написания, до тех пор, пока не пришли к их современному написанию.
Несколько столетий назад тема «Обыкновенные дроби» в учебниках по арифметике не считалась обязательной для изучения. Данный раздел даже размещали в конце учебника, показывая тем самым, что дроби в то время не представляли большого интереса среди населения. Однако, уже в Средние века ситуация резко изменилась. В это время дроби начинают приобретать широкую известность [1].
Учёные древности считали, что дробные числа не должны рассматриваться в школьном курсе математики. Они считали, что в математике могут рассматриваться только целые числа. Ещё Платон писал: «Если ты хочешь делить единицу, математики тебя просто высмеют и не позволят тебе этого сделать». Однако человеческий опыт показал обратное. Египтяне использовали только элементарные дроби. У этих дробей в числителе всегда стояла единица. В математике данные дроби принято называть единичными или основными. Необходимость в дробях у египтян возникла в связи с высоким развитием архитектуры. Ведь для того, чтобы строить пирамиды, дворцы, сфинксы и храмы, им приходилось вычислять площади, длины, объёмы и т.д. Чтобы их вычислить, им нужно было знать арифметику, и, в частности, дроби.
Большинство греков не признавали дроби, считая, что они могут использоваться лишь в логистике. Древние греки прекрасно оперировали с дробями, но числами они их не признавали. Они считали, что в математике не место дробным числам. Математика, по их мнению, должна заниматься только изучением целых чисел. В Древней Греции помимо основных дробей, которыми пользовались египтяне, использовались и обыкновенные дроби [5].
В Древней Индии уже была создана современная система записи обыкновенных дробей. Индийские дроби отличаются от дробей других народов тем, что числитель у них располагается внизу, а знаменатель находился вверху. Кроме того, у индийцев в дробях не было черты дроби [1].
Записывать дроби, как сейчас их записывают в математике, начали арабы. У арабов было несколько способов записи обыкновенных дробей:
1. Они записывали дроби как индийцы, т.е. писали числитель под знаменателем. Черта дроби появилась только в Средние века.
2. Также арабы пользовались теми же дробями, что и египтяне, и греки.
В первых русских учебниках по математике дроби первоначально называли долями. Само слово дробь на Руси появилось в восьмом веке. В России большой вклад в изучение понятия дроби внёс Магницкий. Он написал учебник по математике, в котором раскрыл такие понятия, как знаменатель, числитель, черта дроби, а также он рассматривает такие понятия, как обыкновенная дробь, правильные и неправильные дроби, смешанные числа и т.д. [1]. На сегодняшний день считается, что дробные числа появились в глубокой древности, задолго до возникновения греческой цивилизации.
Обыкновенная дробь – это дробь вида m/n, где m и n – это натуральные числа, например, 12/15, 17/8.
В математике обыкновенные дроби записывают с помощью двух чисел и черты дроби. Числом n обозначают знаменатель дроби, а числом m обозначают её числитель. Знаменатель дроби показывает, на сколько равных частей разделили нечто целое, а числитель – сколько таких частей взяли. Черта дроби обозначает знак деления. [4].
Обыкновенные дроби могут быть неправильными и правильными. "Неправильной считается дробь вида n/m, в которой числитель больше знаменателя или равен ему" [2, с. 151]. Например, дроби 9/2, 3/3, 11/7 являются неправильными, т.к. их числитель больше знаменателя или равен ему. "Правильной дробью считается дробь вида m/n, в которой числитель меньше знаменателя" [2, с. 151]. Например, дроби 2/3, 7/13, 176/391 являются правильными, т.к. их числитель меньше знаменателя.
"Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби (или в виде натурального числа, если дробь m/n такова, что m кратно n; например: 24/6=4)" [4, с. 25].
В математике принято сумму натурального числа и правильной дроби записывать без знака сложения. Например, вместо 7+3/4 пишут 7 ¾ и т.д. Такую запись называют смешанной дробью. Смешанная дробь – это такая дробь, которую можно записать в виде целого числа и правильной дроби [4].
Арифметические действия над обыкновенными дробями
"Сложение обыкновенных дробей выполняют:
а) Если знаменатели дробей одинаковы, то числители складывают, а знаменатель оставляют тем же.
б) Если знаменатели дробей различны, то дроби приводят к общему знаменателю, а затем используют правило а).
Вычитание обыкновенных дробей выполняют так:
а) Если знаменатели одинаковы, то a/b - c/b=(a-c)/b
б) Если знаменатели различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем используют правило а)" [4, с. 29].
Умножение обыкновенных дробей осуществляется следующим образом: перемножают отдельно числители, отдельно знаменатели.
Деление обыкновенных дробей осуществляют следующим образом: a/b * c/d=ad/bc
Человек сталкивается с обыкновенными дробями повсюду. Большинство людей думает, что обыкновенные дроби встречаются только в математике, но на самом деле это не так. Куда бы мы не пошли, где бы мы не находились, нас везде будут окружать обыкновенные дроби. Мы сталкиваемся с ними на работе, учёбе, дома, на улице, в банках, аптеках и т.д. Дроби встречаются не только в повседневной жизни людей, но и в их профессиональной деятельности.
В повседневной жизни обыкновенные дроби используются:
1) При делении целого числа.
2) При нумерации домов.
3) В медицине. Например, когда врач назначает больному принимать ½ таблетки три раза в день.
4) При измерениях.
5) В кулинарии. Например, по рецепту нужно добавить ⅓ чайной ложки соды или ½ ложки соли.
6) В строительстве и т.д.
В профессиональной сфере обыкновенные дроби используются:
1) В танцах и музыке.
2) В спорте. Например, теннисистка Мария Шарапова пробилась в ½ финала турнира в Мадриде.
3) В математике, географии, биологии, химии, физике и т.д. [3].
Таким образом, можно сделать вывод о том, что понятие дроби появилось ещё в глубокой древности, как одна из практических потребностей общества. На сегодняшний день обыкновенная дробь – это дробь вида m/n, обладающая свойствами. Обыкновенные дроби окружают нас повсюду. Обыкновенные дроби используются не только в повседневной жизни, но и в профессиональной деятельности человека.
Список литературы:
- Дробь в математике [Электронный ресурс]/ Википедия — интернет-энциклопедия. Режим доступа: https://ru.wikipedia.org — свободный. Дата обращения:30.07.2019.
- Вилёнкин Н.Я. Математика 5-6 классы М.: Просвещение, 2008. – 345с.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988. – 416 с.
- Мордкович А.Г. Математика: Полный справочник / А.Г. Мордкович, В.И. Глизбург, Н.Ю. Лаврентьева. – Москва: АСТ: Астрель, 2014. – 351 с.
- Шидова Н.В. Из истории возникновения дробей // Газета Математика 1999 год № 10 с. 15.
