Роль задач в изучении геометрии
Пучкова Наталья Викторовна
Процесс обучения, являясь составной частью целостного педагогического процесса, в современной школе должен быть направлен на формирование всесторонне и гармонически развитой личности.Обобщённый опыт обучения школьников основам наук, в частности математики, показывает, что для обеспечения единого подхода к учащимся, к выбору методов и средств учебной работы учитель должен придерживаться положений, носящих универсальный характер.
В связи с этим в дидактике разработаны принципы, которые рассматриваются как важнейшие требования к организации процесса обучения, его содержанию, формам и методам.
В методической литературе выделяется следующая система общих принципов дидактики:
научности;
сознательности, активности, самостоятельности;
систематичности и последовательности;
доступности;
наглядности;
индивидуального подхода;
прочности знаний. Но если рассматривать методику обучения математике, то среди частных дидактических принципов следует выделить принцип обучения через задачи.
Данная статья представляет собой попытку показать, что принцип обучения через задачи является одним из наиболее важных, в свете реализации требований ФГОС.
Идея использования этого принципа не нова. Ещё в конце 19 века известный русский методист С.И. Шохор-Троцкий выступил как изобретатель «методы целесообразных задач». Под этой «методой» он понимал построение курса математики из систематически подобранных задач. В 1908г. в Москве вышла его книга, посвящённая этой проблеме, «Геометрия на задачах». Усвоение математики, по мысли Шохор-Троцкого, должно происходить не с помощью зазубривания книжных истин или объяснений учителя, а посредством более или менее самостоятельной работы ученика над искусно подобранными задачами.
Практического применения идеи С.И. Шохор-Троцкого в то время не получили, но сейчас эта тема весьма актуальна: необходимо повышать эффективность уроков математики, добиваться развития познавательных интересов учащихся, способствовать приобретению ими навыков самообразования.
Осознанное использование на уроках принципа обучения через задачи возможно только тогда, когда учитель чётко представляет значение и роль задач в процессе обучения, развития, воспитания, поскольку эти процессы взаимосвязаны между собой. Необходимо знать различные методы решения задач, способы организации обучения решению математических задач. В качестве примера можно привести опыт передовых педагогов, который в большинстве своём носит элементы проблемного обучения и подтверждает тесную взаимосвязь проблемности урока и принципа обучения через задачи.
Вместе с тем следует иметь в виду, что дидактические принципы, выражая определённые закономерности обучения, не являются раз и навсегда установленными. Они постоянно углубляются, видоизменяются, в соответствии с задачами, которые ставит перед школой современное общество.
Данная работа является попыткой проанализировать использование принципа обучения через задачи в процессе преподавания геометрии.
Примерно половина уроков математики в средней школе отводится на решение задач. Таким образом, обучение математике, в частности геометрии, осуществляется и при решении задач. Обучая, мы преследуем три основные цели: знать, понимать, уметь применять. Обучение математике невозможно разделить на теорию и практику: решая задачи, мы усваиваем теорию. Ошибаются и те, кто считает решение задач самостоятельной целью: задачи это средство обучения, цель не в ответе, а в процессе решения. Выделим и рассмотрим несколько видов задач, условно классифицировав их по дидактическим целям, поставленным перед этими задачами.
1. Задачи и овладение математическими символами.
С помощью задач можно добиться более осознанного овладения математическими символами. Ведь одной из целей обучения математике является освоение математического языка, а следовательно и математической символики. На начальных этапах изучения геометрии это особенно важно, так как необходимо научить школьников правильному употреблению геометрических символов. Обучаем, раскрывая роль и назначение символов при решении задач. Правильное применение символики при записи решений и условий задач имеет существенное значение в обучении школьников использовать её.
Часто символьная запись используется при формулировке краткой записи условия задачи. Например, задача:
Отрезок ВС параллелен плоскости β. Из точки В к плоскости β опущен перпендикуляр ВА. Через точку С проведён отрезок CD параллельно ВА до пересечения с плоскостью β в точке D. Определить вид четырёхугольника ABCD.
Рис.1 (см. приложение)
Символьная запись акцентирует внимание учащихся на важных моментах в условии задачи, позволяет перевести её текст на математический язык.
Необходимо следить за грамотностью применения символов. Например:
Таблица 1. (см. приложение)
2. Задачи, предшествующие изучению нового материала.
Изучение теории – один из наиболее трудных, с методической точки зрения, вопросов преподавания математики. Дело в том, что обычная методика объяснения нового теоретического материала имеет существенные недостатки, связанные прежде всего с
пассивностью обучаемых, деятельность которых часто сводится к слушанию учителя и переписыванию с доски. Повысить активность учащихся при изучении теории можно попытаться с помощью специально подобранных задач. Такие задачи должны подготавливать учащихся к доказательству теорем, актуализировать уже пройденный, но необходимый для усвоения нового, материал.
Например, при организации усвоения теорем задачи играют не последнюю роль.
Важными моментами в работе с теоремой являются: 1) ознакомление с фактом, отражённым в теореме; 2) усвоение формулировки теоремы; 3) ознакомление с методом доказательства; 4) доказательство теоремы; 5) применение теоремы.
Каждый из этих этапов может быть осуществлён с помощью задач. Например, теорема:
В любом треугольнике против большей стороны, лежит больший угол.
Этап знакомства с формулировкой теоремы можно осуществить посредством выполнения задач на построение треугольников, измерения величин их углов и длин сторон. А затем соотнесение зависимостей между сторонами треугольников и величинами противолежащих им углов. Задача:
Измерить с помощью транспортира и линейки углы и стороны данных треугольников. Записать полученные значения. Какая зависимость существует между длинами сторон и величинами противолежащих им углов данных треугольников?
Рис.2 (см. приложение)
В целях облегчения запоминания громоздких формулировок целесообразно поэлементное усвоение содержания формулировки теоремы. Для этого формулировку «разбиваем» на отдельные части, после чего каждая из частей отрабатывается при выполнении задач. Например, теорема:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Разбиваем формулировку на части:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника
равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника,
то такие треугольники равны.
Предлагаем следующее задание:
Рис.3 (см. приложение)
Выделить на рисунке равные треугольники.
Можно предложить учащимся работу в паре с использованием готового слайда презентации или интерактивной доски.
| I ученик (читает теорему по частям) |
II ученик (называет элементы треугольника и выделяет их ) |
| Если две стороны и угол между ними одного треугольника | AD, DB и <ADB |
| равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника | KC, CL и <KCL |
| то такие треугольники равны | Δ ABD = Δ KLC |
Далее можно предложить несколько задач следующего типа. Задача: какие из данных треугольников равны?
Рис.4 (см. приложение)
Важно постоянно обращать внимание учащихся на соответствие называемых сторон и углов.
С помощью задач часто удаётся ознакомить учащихся с идеей доказательства, иногда и доказать теорему, вовлечь учащихся в доказательство теоремы. Рассмотрим, например, теорему Пифагора.
Формулировку теоремы учащимся заранее не сообщаем, необходимо чтобы они сами пришли к ней. Просто решаем задачу.
Задача: Дан квадрат ABCD с длиной стороны a+b. На его сторонах отмечены точки M, N, P, K так, чтобы каждый раз чередовались отрезки длиной a и b. Найти площадь четырёхугольника MNPK.
Рис.5 ( см. приложение)
Таблица 2 ( см. приложение).
| 1. Соединим последовательно точки M, N, P, K отрезками. На какие фигуры они разбивают квадрат ABCD? | На четыре треугольника: MBN, NCP, PDK, KAM и четырёхугольник MNPK. |
| 2. Что можно сказать о треугольниках? | ABCD – квадрат, значит треугольники будут прямоугольными. Кроме того, по условию задачи выходит, что они равны по двум катетам. |
| 3. Что следует из равенства треугольников? | Равенство соответствующих сторон, углов, площадей. |
| 4. Что можно сказать о четырёхугольнике MNPK? | Из равенства треугольников MBN, NCP, PDK, KAM следует равенство их соответствующих сторон. Тогда стороны четырёхугольника MNPK равны. Можно доказать, пользуясь свойствами углов прямоугольного треугольника, что углы четырёхугольника MNPK равны по 90 ̊. Т.е. MNPK – квадрат. |
| 5. Чему равна площадь квадрата MNPK? | Пусть сторона квадрата MNPK равна c, тогда SMNPK=c2 (1). |
| 6. Но длина стороны квадрата MNPK неизвестна. Как можно иначе определить его площадь? | SMNPK= SABCD - 4∙SMBN=(a + b)2 - 4∙ = a2 + b2. Таким образом, SMNPK = a2 + b2 (2). |
| 7. Сравним выражения (1) и (2). | a2 + b2 = c2 (3). |
| 8. Возвратимся к чертежу и выясним, что представляют собой величины a, b, c. | a, b – катеты прямоугольных треугольников MBN, NCP, PDK, KAM. А c – их гипотенуза. |
| 9. Сделаем отдельно чертёж одного из этих прямоугольных треугольников и выпишем полученное равенство (3) ещё раз. |
(см. приложение)
|
| 10. Прочтите это равенство, используя названия сторон прямоугольного треугольника. | Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. |
Вообще для подготовки к изучению теорем можно предложить задачи не только приводящие к формулировке теоремы, а, например, доказывающие один из промежуточных фактов. Так, перед изучением теоремы Фалеса полезно решить следующую задачу. Задача:
Прямые АМ и BN, BM и CN параллельны, отрезки AB и BC равны. Доказать, что треугольники ABM и BCN равны.
Рис.6 ( см. приложение).
После того, как доказано равенство треугольников, работу с задачей продолжим в ином направлении. Рассмотрим четырёхугольник MBNF.
Таблица 3 (см. приложение).
| 1. Что можно сказать о четырёхугольнике MBNF? | MBNF – параллелограмм ( по условию АМ и BN, BM и CN параллельны ) |
| 2. Какими свойствами обладают его стороны? | BN = MF, BM = FN |
| 3. Сравним стороны треугольников ABM и BCN со сторонами параллелограмма MBNF. | BN = MF = AM, BM = FN = CN |
| 4. Выполним отдельно следующий рисунок (удобно представить его на слайде): (см. приложение) Что мы видим на рисунке? Угол FAC, стороны которого пересекают параллельные прямые BM и CF, причём AB = BC и AM = MF. |
Вполне возможно, что учащиеся сделают (пусть и с помощью учителя) вывод о том, что параллельные прямые отсекают от сторон угла равные отрезки. А затем можно задать вопрос: «А при каком условии это происходит?» и переходим непосредственно к теореме Фалеса.
Следует отметить и такой факт: подготовительные задачи особенно полезны в тех случаях, когда при изучении нового материала используются непривычные для учащихся рассуждения, которыми «с ходу» овладеть довольно трудно. А подготовительные задачи позволяют сформировать у учащихся некоторый опыт в проведении таких рассуждений и тем самым облегчить усвоение теорем.
О задачах можно говорить долго, ценность их на уроках геометрии
велика, особенно если система задач подобрана правильно в соответствии с целью и задачами урока. С помощью задач можно, например, проиллюстрировать приложение изученного материала, проконтролировать уровень усвоения теории.
Математика имеет существенное преимущество перед другими школьными предметами в том, что она с помощью задач на каждом уроке может касаться самых разнообразных явлений природы и окружающей жизни, что позволяет расширять интересы учащихся.
