Эйлер и Базельская задача
Петрова Анна Антоновна
Задача заключается в нахождении точного значения бесконечной суммы ряда обратных квадратов. История Впервые упоминание этой задачи было обнаружено в работе итальянского математика Пьетро Менголи в 1644 году, но тогда задача не вызвала общего интереса. Позднее многие выдающиеся математики безуспешно пытались найти сумму ряда. В это число вошли и швейцарские ученые, братья Якоб и Иоганн Бернулли. Они были родом из города Базель, отсюда и название «Базельская задача». В течение многих лет братья Бернулли пытались найти решение этой задачи, но они не добились успеха. Якоб Бернулли в своей книге «Арифметические предложения о бесконечных рядах» (1689) писал: «Если кому-либо удастся найти то, что до сих пор не поддавалось нашим усилиям, и если он сообщит это нам, то мы будем очень ему обязаны». Но при жизни Якоба Бернулли решение так и не появилось. Задача долгое время «сопротивлялась» всем попыткам ее решить. Первым успеха добился молодой Леонард Эйлер в 1734 году, который был учеником Иоганна Бернулли. Однако его метод оказался неидеальным и вызвал некоторые возражения у других математиков. Дело в том, что в ходе решения Эйлер допустил очень смелое предположение: он применил правило, которое справедливо для алгебраических уравнений, для уравнений бесконечной степени. Такой метод был недостаточно надежным доказательством, однако у Эйлера были основания верить в своё открытие. Во-первых, числовое значение суммы ряда, которое было вычислено Эйлером раньше, до последнего найденного знака совпадает со значением pi^2/6 . Во-вторых, учёный применял этот метод и для вычисления уже известной на тот момент суммы ряда Лейбница, получив при этом правильное значение. Таким образом, Базельская задача оказалась далеко не тривиальной и заинтересовала многих выдающихся математиков, которые долгое время не могли прийти к её решению. Доказательства представлены в документе.
