Непозиционные системы счисления
Сорокин Андрей Борисович
учитель информатики и ИКТ ГБОУ гимназия №157
Центрального района г. Санкт-Петербурга
Системы счисления - это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр).Центрального района г. Санкт-Петербурга
Система счисления называется непозиционной - когда значения цифры не зависит от её положения в числе.
Непозиционная система счисления - это такая знаковая система, в которой нет позиций для знаков числа, или принцип "прочтения" числа от позиции не зависит. В ней также существуют свои правила записи или вычислений. Приведем примеры непозиционных систем счисления. Раньше люди нуждались в счете и придумали наиболее простое изобретение - узелки. Непозиционной системой счисления является узелковая. Один предмет (мешок крупы, собака, стог сена и пр.) отсчитывали, например, при покупке или продаже и завязывали узелок на веревочке. В итоге на веревке получалось столько узелков, сколько мешков крупы куплено (как пример). Но также это могли быть насечки на деревянной палочке, на каменной плите и т.д. Такая система счисления стала называться узелковой. У нее существует второе название - унарная, или единичная ("уно" на латыни означает "один"). Становится очевидным, что данная система счисления - непозиционная. Ведь о каких позициях может идти речь, когда позиция всего одна! Как ни странно, в некоторых уголках Земли до сих пор в ходу унарная непозиционная система счисления.
Также к непозиционным системам счисления относятся: римская (для написания чисел используются буквы - латинские символы); древнеегипетская (похожа на римскую, также использовались символы); алфавитная (использовались буквы алфавита); вавилонская (клинопись - использовали прямой и перевернутый "клин"); греческая (также относят к алфавитной).
Единичная система счисления. Необходимость в записи чисел стала возникать у людей еще в древности после того, как они научились считать. Свидетельством этого являются археологические находки в местах стойбищ первобытных людей, которые относятся к периоду палеолита (10-11 тыс. лет до н.э.). Изначально количество предметов изображали, используя определенные знаки: черточки, насечки, кружочки, нанесенные на камни, дерево или глину, а также узлы на веревках. Ученые эту систему записи чисел называют единичной (унарной), поскольку число в ней образовано повторением одного знака, который символизирует единицу. Минусы системы: при написании большого числа необходимо использовать большое количество палочек; возможно легко ошибиться при нанесении палочек. Позже, чтобы облегчить счет, эти знаки люди стали объединять.
Единичная система не совсем удобна, так как записи выглядят очень длинно и их нанесение довольно утомительно, поэтому со временем стали появляться более практичные в использовании системы счисления. Вот некоторые из них[1].
Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления. Данная система счисления появилась около 3000 лет до н.э. в результате того, что жители Древнего Египта придумали свою числовую систему, в которой при обозначении ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. были использованы иероглифы, что было удобным при написании на глиняных дощечках, которые использовались вместо бумаги. Другие числа составлялись из них с помощью сложения. Сначала записывалось число высшего порядка, а затем низшего. Умножали и делили египтяне, последовательно удваивая числа. Каждая цифра могла повторяться до 9 раз.
Римская система счисления. Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum - сто, Demimille - половина тысячи, Мille - тысяча) [2].
При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.
Данная система принципиально ненамного отличается от предыдущей и сохранилась до наших дней. В ее основе находятся знаки: I (один палец) для числа 1; V (раскрытая ладонь) для числа 5; X (две сложенные ладони) для 10; для обозначения чисел 100, 500 и 1000 использовались первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum - сто, Demimille - половина тысячи, Мille - тысяча). При составлении чисел римляне использовали следующие правила:
Алфавитные системы счисления. Данные системы счисления более совершенны. К ним относятся греческая, славянская, финикийская, еврейская и другие. В этих системах числа от 1 до 9, а также количество десятков (от 10 до 90), сотен (от 100 до 900) были обозначены буквами алфавита. В древнегреческой алфавитной системе счисления числа 1,2,...,9 обозначались первыми девятью буквами греческого алфавита, и т.д. Для обозначения чисел 10,20,...,90 применялись следующие 9 букв а для обозначения чисел 100,200,...,900 – последние 9 букв. У славянских народов числовые значения букв устанавливались в соответствии с порядком славянского алфавита, использовавшего изначально глаголицу, а затем кириллицу. Замечание: Алфавитная система использовалась и в древней Руси. До конца XVII века в качестве цифр использовались 27 букв кириллицы.
Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления. Данная система счисления появилась около 3000 лет до н.э. в результате того, что жители Древнего Египта придумали свою числовую систему, в которой при обозначении ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. были использованы иероглифы, что было удобным при написании на глиняных дощечках, которые использовались вместо бумаги. Другие числа составлялись из них с помощью сложения. Сначала записывалось число высшего порядка, а затем низшего. Умножали и делили египтяне, последовательно удваивая числа. Каждая цифра могла повторяться до 9 раз.
Римская система счисления. Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum - сто, Demimille - половина тысячи, Мille - тысяча) [2].
При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.
Данная система принципиально ненамного отличается от предыдущей и сохранилась до наших дней. В ее основе находятся знаки: I (один палец) для числа 1; V (раскрытая ладонь) для числа 5; X (две сложенные ладони) для 10; для обозначения чисел 100, 500 и 1000 использовались первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum - сто, Demimille - половина тысячи, Мille - тысяча). При составлении чисел римляне использовали следующие правила:
- Число равно сумме значений, расположенных подряд нескольких одинаковых
- Число равно разности значений двух «цифр», если слева от большей стоит меньшая. В этом случае от значения большей отнимается значение меньшей. Вместе они образуют группу второго вида. При этом левая «цифра» может быть меньше правой максимально на 1 порядок: перед L(50) и C(100) из «младших» может стоять только Х Х(10), перед D(500) и M(1000) - только C(100), перед V(5)–I(1).
- Число равно сумме значений групп и «цифр», не вошедших в группы 1 или 2 вида.
Алфавитные системы счисления. Данные системы счисления более совершенны. К ним относятся греческая, славянская, финикийская, еврейская и другие. В этих системах числа от 1 до 9, а также количество десятков (от 10 до 90), сотен (от 100 до 900) были обозначены буквами алфавита. В древнегреческой алфавитной системе счисления числа 1,2,...,9 обозначались первыми девятью буквами греческого алфавита, и т.д. Для обозначения чисел 10,20,...,90 применялись следующие 9 букв а для обозначения чисел 100,200,...,900 – последние 9 букв. У славянских народов числовые значения букв устанавливались в соответствии с порядком славянского алфавита, использовавшего изначально глаголицу, а затем кириллицу. Замечание: Алфавитная система использовалась и в древней Руси. До конца XVII века в качестве цифр использовались 27 букв кириллицы.
Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:
- Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.
- Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.
- Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.
