Решение тригонометрических уравнений разных видов

ГБОУ школа № 217 Красносельского района Санкт - Петербурга имени Н.А. Алексеева

Учитель: Сийдра Надежда Владимировна, ГБОУ СОШ №217.

Тема: Обобщающий урок по теме: «Решение тригонометрических уравнений разных видов»

Тип урока: урок повторения и закрепления пройденного материала.

Методы обучения: словесный, наглядный. практический (частично- поисковый, метод самостоятельной работы).

Средства обучения: ИКТ.

Формы работы: индивидуальная работа в парах, коллективная.

Триединая цель урока:

Образовательная:

- систематизировать и обобщить знания учащихся по теме: « Решение тригонометрических уравнений разных видов».

Развивающая:

- способствовать формированию умений определять тип уравнения, анализировать ход решения, составлять модель решения, умение определять и согласовывать результаты решения уравнения с О.Д.З.

- способствовать развитию умений и навыков применять тригонометрические формулы к решению уравнений и грамотно ориентироваться в методах их решения.

Воспитательная:

- способствовать воспитанию интереса, активности, мобильности, умению работать в паре и коллективе.

Задачи урока:

- выявить уровень подготовки учащихся по тригонометрии, систематизировать полученные знания.

- помочь учащимся в развитии творческих способностей личности.

- обучить приемам рационального труда.

- научить учащихся составлять модель решения уравнения.

- продолжить воспитание у учащихся уважительного отношения друг к другу, чувства ответственности.

Содержание этапов урока	Виды и формы работы
1. Организационный момент.	1. Приветствие учащихся. 2.Обьявление темы урока. 3. Постановка целей урока и знакомство учащихся с планом урока.
2. Обобщение и коррекция опорных знаний по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений»	Устная работа по определению О.Д.З., формул нахождения значений аргумента.
3. Деятельность учащихся по самостоятельному применению знаний и умений при решении простейших уравнений	Решение задач (работа устно)
4. Деятельность учащихся по самостоятельному применению знаний и умений при решении уравнений разных видов с проведением среза качества знаний учащихся по теме (работа в парах и коллективно)	Решение задач (работа в тетрадях и на проверочных листах)
5. Деятельность учащихся по самостоятельному применению знаний и умений при решении уравнения комбинированного типа	Решение уравнения
6. Подведение итогов урока.	1. Рефлексия урока учащимися и учителем 2. Выставление оценок
7.Домашнее задание	Индивидуально каждому ученику (uztest.ru)

Ход урока.

I. Организационный момент.

II. Устная работа: Все устные и письменные задания проецируются на экран.

1. С чего начинаем решение любого уравнения?

2. В каких из данных уравнений О.Д.З. является множество всех действительных чисел :

а). sin(x -) = - 1/2

б). tg5x= б). 5x +к

x + , к

в). cos( + 2x) =

г). 4ctgx= 1 г). x . к

- В каких уравнениях О.Д.З. аргумента сужается и почему?

Найдите её.

3. Решить уравнения:

а). cos = 0

+, к Z

x= +к

Ответ: x= +к, к Z

Что значит угол равен ? В каких единицах измеряется угол?

б). sin = 0

Ответ: x= 2к, к Z

Что значит 2к?

В каких единицах выражен угол?

в). tg = 1

= + πк

Ответ:x= + 4πк, к Z

4. на каких промежутках определены аркфункции:

arcsina =α - α

arccosa = α 0 α

arctga = α --α

arcctg= α 0α

5. Вспомним основные простейшие уравнения и формулы их решения:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx= a

Какие ограничения существуют для аргументов и почему??

Существуют ли ограничения для a, чтобы уравнения имели решения ?

6. Решитьустно

4sinxcosx = 2

2sin2x = 2

sin2x = 1

2x = + 2πк

Ответ: x= + πк, кz

cos² - sin² = 1

cosx = 1

Ответ: x= πк

II. В тетрадях.

От простейших тригонометрических уравнений перейдем к уравнениям, сводящимся к квадратным:

a).

3tg²x + 5tgx -2 = 0

Пустьtgx = t

3t² + 5t – 2 =0

D = 25+24=49

tgx =

x = arctg+πn, n Z

Ответ: x = arctg+πn, n Z,

x= -arctg2 + πк, к Z

t₁ = =

t₂ = =

tgx = -2

x = -arctg2 + πк, к Z

О.Д.З.

x +πк

к Z

б). Как решаются уравнения вида sin²x= a, cos²x= a, 0a1? Здесь можно применить особый прием- формулу понижения степени, чтобы не согласовывать в конце решения множества корней.

Самостоятельно решаем на листах: /работаем в парах, оценки выставляются двоим. поэтому вы отвечаете друг за друга/

1 вариант

7sin²x + 8cosx – 8 = 0

sin²x=

2 вариант

6sin²x + 7cosx – 7 = 0

cos²x=

На выбор решаем по одному уравнению.

IV. Однородные тригонометрические уравнения относительно sinxи cosx.

asinx + bcosx = 0, a asin²x + bcos²x = 0, a

Какой прием используем?

Почему можно разделить на cosx и на cos²xне происходит потери или приобретения корней, т.е. получаем равносильные? /Т.к. если cosx= 0, то следует из уравнения . что и sinx= 0, т.к. a0, но они одновременно не могут быть равны 0 на основе основного тригонометрического тождества, т.е. получаем равносильное/.

Решить в тетрадях и на доске:

cosx+sinx= 0

+tgx= 0

tgx= -

x= -+πк, к Z

Ответ: -+πк, к Z

На листах:

1вариант

4sin²x-5sinxcosx-6cos²x=0

2 вариант

3sin²x+sinxcosx-2cos²x=0

V. Уравнения на вынесение общего множителя. Это один из наиболее применяемых методов при решениии тригонометрических уравнений. В тетрадях:

sin2x-sinx= 0

2sinxcosx+ sinx= 0

sinx(2cosx+ ) = 0

sinx= 0

x= n, n Z

2cosx+ = 0

cosx= -

x= + 2πк, к Z

Ответ: + 2πк, к Z

На листах:

1вариант

cosx =сtgxcosx

2 вариант

sinx = tgxsinx

VI. Линейное уравнение относительно sinxи cosx.

asinx+bcosx= c, где а0, b0.

Два способа решения:

1. Применяя формулы двойного угла и основное тригонометрическое тождество, его можно свести к квадратному уравнению относительно tg . При c= 0 является однородным и сводится к уравнению tg=-