Решение комбинаторных задач на уроках математики

Тивирикина Ирина Александровна,

учитель математики ГБОУ школа № 645
Санкт-Петербурга

Комбинаторика (Комбинаторный анализ) - раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана со многими другими областями математики - алгеброй, геометрией, теорией вероятностей, и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например, в генетике, информатике, статистической физике). Комбинаторика возникла в XVII в. Долгое время казалось, что комбинаторика лежит вне основного русла развития математики и ее приложений. Положение дел резко изменилось после появления быстродействующих вычислительных машин и связанного с этим расцвета конечной математики. Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве». Иногда комбинаторику понимают более широко, включая в неё раздел дискретной математики, включающий, в частности, теорию графов. Мною преподается математика, на уроках которой происходит изучение комбинаторики. Комбинаторика связана с подсчетом числа комбинаций, которые можно составить из данных элементов, наблюдая те или иные условия, поэтому в основе комбинаторики лежат такие простейшие комбинации как сочетания, перестановки, размещения. По математике я со своими учениками рассматриваю эти простейшие комбинации. Данный раздел математики очень важен для учеников в связи с тем, что комбинаторный анализ имеет практическое применение в программировании при вычислениях дискретных конечных математических структур, развивает логику и заставляет думать. Примеры задач на комбинаторику, которые я рассматриваю со своими учениками на занятиях:
Задача № 1. Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального забега на 5-ти беговых дорожках? (задача на перестановки) Решение: Р5 = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 = 120 способов.
Задача № 2. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести девушек на танец? (задача на размещения) Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами, считаются разными .
Задача №3. Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3 человек? (задача на сочетания) Решение: Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, нужно рассмотреть все возможные 3 – элементные подмножества множества, состоящего из 7 человек.
Задача №4. Сколько шестизначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр: 0,1,2,3,4,5, при условии, что в цифрах нет одинаковых цифр? Решение. Число, кратное 5, должно оканчиваться либо на «0», либо на «5». Если последняя цифра – «0», то остальные 5 цифр можно располагать в любом порядке. Следовательно, шестизначных чисел, которые заканчиваются цифрой «0» столько, сколько можно сделать .
Задача №5. В седьмом классе изучают 14 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на субботу, если в этот день должно быть 5 уроков разных? Решение.
Задача №6. 12 рабочих разбиты на три бригады по 4 человека в каждой. Сколько может быть различных составов бригад? Решение.
Задача№7. Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входило два числа? Решение. Число дробей определяется числом размещением
Задача №8. Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти членов? Решение. Для решения задачи необходимо использовать формулу для сочетания элементов, т. к. здесь не имеет значения порядок элементов в выборе. Запишем формулу для сочетаний.
Задача №9. Сколькими способами можно расставить на полке семь книг, если две определенные книги должны стоять рядом. Решение. Книги, которые должны стоять рядом, считаем за одну книгу. Тогда нужно расставит 6 книг по шести местам. Применяем формулу перестановок, получаем Мы учли перестановки шести книг, не учитывая порядок внутри тех книг, которые посчитали за одну. А т. к. две книги по двум местам можно разместить только двумя способами.
Задача №10. «Проказница мартышка, осёл, козёл и косолапый мишка затеяли сыграть квартет». Мишке поручили принести со склада 8 каких-нибудь попавшихся под лапу музыкальных инструментов из имеющихся 13 инструментов. Сколькими способов выбора есть у мишки? Решение. По условию порядок выбора не важен, значит, нам надо найти количество всех выборок 8-ми элементов из 13-ти данных без учета порядка , 13-ти элементов по 8. Ответ: 1287 способов.
Итак, изучение комбинаторики необходимо в наше время, так как знания, приобретенные в ходе её изучения, пригодятся нам и во многих технических науках (информатика, математика).

Литература 1. Спирина, М.С. Дискретная математика: учебник / М.С. Спирина, П.А. Спирина. – Москва, издательский центр «Академия», 2012. 2. Кочетков, Е.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник / Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская, В.В. Соколов. – Москва, ФОРУМ-ИНФРА-М, 2003.

Образовательный портал

Решение комбинаторных задач на уроках математики

Решение комбинаторных задач на уроках математики

Экстернат.РФ

Для обучающихся 8 классов, педагогов, репетиторов. Подробнее...

Сайты

Авторизация

Регистрация

Перевод сайта