Формирование геометрических представлений
учащихся средней школы при изучении
геометрий Евклида и Лобачевского
Воробьев Никита Александрович
Введение
Безусловно, с развитием математики, как науки, должна развиваться и математика, как школьный предмет. Одно из прорывных достижений в геометрии второй четверти девятнадцатого века – создание Николаем Ивановичем Лобачевским неэвклидовой геометрии, которую позже назовут геометрией Лобачевского.
В наши дни в средней общеобразовательной школе учащиеся проходят курс геометрии Евклида: с 7 по 9 классы изучают планиметрию, а 10–11 классы – стереометрию. При этом многие учащихся слышали и о других, так называемых неэвклидовых геометриях, в частности – геометрии Лобачевского. Зачастую, знакомство с этой наукой заканчивается на ложном утверждении, что она допускает возможность пересечения параллельных прямых. Этот факт удивляет, но, как и все непонятное, воспринимается учащимися на веру. И это также свидетельствует о том, что проблема развития геометрических представлений учащихся остается актуальной и на сегодняшний день. Другой, сопутствующей проблемой, является проблема введения элементов неэвклидовых геометрий в курсе геометрии средней школы.
На основе данных выводов нами была поставлена следующая проблема, составляющая предмет работы. Это исследование роли совместного обучения учащихся геометрии Евклида и основам геометрии Лобачевского с целью развития геометрических представлений учащихся средней школы и разработка на этой основе примерной программы факультативного курса по геометрии Лобачевского и методики ее изучения.
Таким образом, в этой работе будет изучена роль совместного обучения учащихся геометрии Евклида и основам геометрии Лобачевского для развития геометрических представлений учащихся средней школы и разработана примерная программа факультативного курса по геометрии Лобачевского в средней школе.
Актуальность темы обусловлена тем, что изучение основ геометрии Лобачевского учащимися средней школы расширит их запас геометрических представлений и разовьет геометрическое мышление.
Объект работы – процесс обучения математике (дисциплине “геометрия”) учащихся средней школы.
Целью работы является разработка примерной программы факультативного курса по геометрии Лобачевского в средней школе.
В соответствие с поставленной целью необходимо решить следующие задачи:
- Изучить роль совместного обучения геометрии Евклида и основам геометрии Лобачевского учащихся средней школы;
- Подобрать теоремы геометрии Евклида, которые возможно сопоставить с соответствующими теоремами геометрия Лобачевского;
- Выбрать аксиоматику для школьного курса геометрии и изложить её на современной основе;
- Определить число уроков и подобрать темы для примерной программы факультативного курса по геометрии Лобачевского.
Значение изучения элементов неэвклидовых геометрий (на примере геометрии Лобачевского) для развития геометрических представлений учащихся средней школы
Традиционный курс школьной геометрии ориентирует учащихся на одну из привычных интерпретаций геометрии Евклида, когда под точкой подразумевается "то, часть чего есть ничто", под линией – "длина без ширины", под прямой – "такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам" [1].Этими образами ограничиваются первоначальные геометрические представления учащихся. Однако уровень развития современной науки и техники и требования самой науки математики ставят перед школой задачу развития разносторонних геометрических представлений учащихся.
Важную роль в этом играет ознакомление учащихся с элементами неевклидовых геометрий. В условиях средней школы возможно осуществить совместное изучение основ евклидовой геометрии с элементами неевклидовых геометрий (на примере геометрии Лобачевского).
Важнейшими моментами в процессе обучения геометрии выделены следующие:
1. Ознакомление учащихся с аксиоматическим методом
а) Знакомство с аксиоматическим методом и через него с геометриями Евклида и Лобачевского раскрывает широкие возможности для формирования у учащихся разносторонних геометрических представлений, так как каждой (полной) системе аксиом могут удовлетворять различные интерпретации, подчас весьма интересные и поучительные. Например, модель А. Пуанкаре в верхней полуплоскости планиметрии Лобачевского [1].
В математике принято начинать изучение основ неэвклидовых геометрий с так называемой абсолютной геометрии - части классической геометрии, независимой от пятого постулата (аксиомы параллельных) евклидовой аксиоматики (то есть в абсолютной геометрии пятый постулат может выполняться, а может и не выполняться). Абсолютная геометрия содержит предложения, общие для евклидовой геометрии и для геометрии Лобачевского.
Учащиеся должки знать, что при замене аксиомы параллельности Евклида на ее отрицание - аксиому параллельности Лобачевского (существует такая прямая a и такая не лежащая на ней точка А, что через точку А проходит не менее двух прямых, не пересекающих прямую a) получим геометрию Лобачевского [1]. А при замене аксиомы параллельности евклидовой геометрия предложением, что если в некоторой плоскости заданы прямая а и не принадлежащая ей точка А (изменяются и аксиомы I , II, III групп [1]), то каждая прямая, проведенная в данной плоскости через точку А, пересекает прямую а, получаем геометрию Римана.
Что касается сути аксиоматического метода, то учащиеся должны понимать, что в современном аксиоматическом методе в вопросе об определениях исходят из того, что следует изначально выделить ряд понятий данной теории, которые не определяются путем сведения их к другим понятиям и через которые все остальные понятия этой теории должны быть определены. Эти понятия называют основными. Хотя основные понятия явно не определяются, это не значит, что они лишены свойств. Информация об их свойствах заложена в аксиомах - утверждениях, принимаемых без доказательств в рамках некоторой аксиоматической теории. При этом никакой иной информации о свойствах основных понятий нет. Можно сказать, что как сама теория, так и основные ее объекты определяются системой аксиом.
Любое утверждение, которое в конечном счете может быть получено логическим выводом из аксиом и определений, называется теоремой.
Сформулируем теперь кратко сущность аксиоматического метода:
1. Перечисляются основные понятия (точка, прямая, плоскость и т.д.);
2. Формулируются аксиомы, в которых сообщаются некоторые свойства основных понятий, необходимые для построения теории (геометрия Евклида основана на прибавлении к абсолютной геометрии аксиомы параллельности Евклида, а геометрия Лобачевского – на прибавлении к абсолютной геометрии аксиомы параллельности Лобачевского);
3. Все понятия, не являющиеся основными, определяются через основные и понятия, ранее введенные;
4. Все предложения, не являющиеся аксиомами, доказываются на основе аксиом, определений и предложений, ранее доказанных.
Следует отметить, что аксиоматический метод построения геометрии, вообще говоря, не исключает возможности использования понятий другой математической теории. Например, в геометрии используются понятия множества, числа, операции над множествами и др. Поэтому при перечислении основных понятий учащимся следует указать те математические теории, которые используются.
Учителю следует также пояснять учащимся об абстрактности аксиоматического метода.
Аксиоматический метод построения геометрии носит весьма абстрактный характер. Это прежде всего проявляется в том, что основным понятиям не приписывается конкретного смысла, требуется лишь, чтобы они удовлетворяли системе аксиом.
Тем не менее сами термины «точка», «прямая», «плоскость», которые служат для описания основных понятий геометрии, указывают на то, что источниками образования этих понятий были пространственные формы реальных тел. Так, понятие точки возникло в результате абстрагирования от размеров тела. Именно если при изучении того или иного вопроса размеры тела не имеют значения и ими можно пренебречь, возникает понятие точки. С этим явлением мы постоянно сталкиваемся в механике, рассматривая перемещения в пространстве тел малых размеров по достаточно большим траекториям. Изучая свойства траектории движения этих тел, мы отвлекаемся от размеров тел и называем их материальными точками. В ряде задач механики можно абстрагироваться и от массы материальной точки. Тогда материальная точка выступает просто как геометрическое понятие «точка».
Понятие прямой возникает в результате абстракции от физических свойств предметов определенной пространственной формы типа туго натянутой нити, светового луча и т. п. При изучении формы таких предметов на первое место выступает их значительная протяженность в одном направлении (длина) по сравнению с двумя другими (ширина и высота). Аналогично источником понятия «плоскость» служат пространственные формы предметов типа натянутого листа бумаги, поверхности стола и т. д.
В природе тела, пространственные формы которых привели к образованию основных геометрических объектов, находятся в определенных отношениях. Отвлекаясь от конкретной физической природы этих отношений и удерживая лишь отношения между пространственными формами тел, мы с их помощью формулируем систему взаимосвязей между основными объектами и тем самым приходим к системе аксиом. Таким образом, основные понятия геометрии и аксиомы имеют опытное происхождение [1].
Таким образом, знакомство с различными геометриями поможет учащимся правильно понять содержание математики, физики, теории относительности, космологии и других смежных наук. Уже сейчас в средней школе учащиеся знакомятся по физике с теорией относительности, а ее без неевклидовых геометрий представить трудно.
б) При изучении неевклидовых геометрий выделяется абсолютная геометрия и изучается особенности каждой из геометрий.
Для того, чтобы показать учащимся, какова роль аксиом при доказательстве теорем, можно предложить учащимся доказать теорему о том, что в планиметрии Лобачевского сумма углов всякого треугольника меньше 2d (двух прямых). А как следствие, сумма углов всякого четырехугольника меньше 4d.
После доказательства теоремы о сумме внутренних углов четырехугольника мы схематически установим связь между теоремой и аксиомой:
Аксиома параллельности – Сумма внутренних углов треугольника - Сумма внутренних углов четырехугольника.
в) Сопоставлением истинности или ложности утверждений геометрий Евклида и Лобачевского достигается их точная формулировка и "надежность" запоминания.
Например, при доказательстве теоремы об описании окружности вокруг треугольника факт пересечения всех трех перпендикуляров, проходящих через середины сторон треугольника, воспринимается учащимися как "абсолютная истина".
Но в геометрии Лобачевского существуют такие треугольники, около которых нельзя описать окружность. Например, пусть нам дана прямая а и точка А вне прямой а, проведем прямую b параллельно прямой а через точку А (по-Лобачевскому). Из точки А опустим перпендикуляр АD на прямую а. На отрезке АD возьмем произвольную точку С и построим симметричные ей точки С* и С** относительно прямых a и b соответственно. Вокруг треугольника СС*С** нельзя описать окружность.
После ознакомления с этой теоремой (при повторении или на факультативном занятии), учащиеся уточняют ранее доказанное утверждение. Перпендикуляры, проведенные через середины сторон треугольника, всегда пересекаются в одной точке в геометрии Евклида. Это добавление существенно.
Также можно предложить учащимся следующее задание.
Задание. Заполните таблицу, распределив нужные утверждения по соответствующим им столбцам.
| Утверждения, истинные в абсолютной геометрии |
Утверждения, истинные в планиметрии Евклида | Утверждения, истинные в планиметрии Лобачевского | Утверждения, ложные как в планиметрии Евклида, так и в планиметрии Лобачевского |
Список утверждений:
- Через всякую точку плоскости проходит прямая перпендикулярная данной прямой и притом только одна.
- Сумма углов любого треугольника не превосходит π.
- Сумма углов любого треугольника равна π.
- Сумма углов любого треугольника меньше π.
- Сумма углов любого треугольника больше π.
- Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
- Внешний угол любого треугольника больше суммы двух внутренних углов, не смежных с ним.
- Внешний угол треугольника меньше суммы двух внутренних углов, не смежных с ним.
- Внешний угол треугольника не меньше суммы двух внутренних углов, не смежных с ним.
- Через всякую точку на плоскости, не принадлежащую данной прямой, проходит прямая, не пересекающая данную прямую.
- Через всякую точку на плоскости, не принадлежащую данной прямой, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих данную прямую.
- Через всякую точку на плоскости, не принадлежащую данной прямой, проходит единственная прямая, не пересекающая данную прямую.
- Существует точка и прямая, не содержащая данную точку, любая прямая, проходящая через которую, пересекает данную прямую.
- Множество точек, равноудаленных от данной точки, называется окружностью с центром в данной точке.
- Множество точек равноудаленных от двух данных прямых есть ось симметрии этих прямых.
- Средняя линия треугольника равна половине основания.
- Множеством точек, равноудаленных от данной прямой, является объединение двух прямых.
- Существует треугольник, серединные перпендикуляры которого не пересекаются.
- Любые три точки равноудаленные от данной прямой не принадлежат одной прямой.
|
Утверждения, истинные в абсолютной геометрии |
Утверждения, истинные в планиметрии Евклида |
Утверждения, истинные в планиметрии Лобачевского | Утверждения, ложные как в планиметрии Евклида, так и в планиметрии Лобачевского |
| Внешний угол треугольника не меньше суммы двух внутренних углов, не смежных с ним. | Сумма углов любого треугольника равна π. | Внешний угол любого треугольника больше суммы двух внутренних углов, не смежных с ним. | Существует точка и прямая, не содержащая данную точку, любая прямая, проходящая через которую, пересекает данную прямую. |
| Множество точек равноудаленных от двух данных прямых есть ось симметрии этих прямых. | Средняя линия треугольника равна половине основания. | Сумма углов любого треугольника меньше π. | Внешний угол треугольника меньше суммы двух внутренних углов, не смежных с ним. |
| Множество точек, равноудаленных от данной точки, называется окружностью с центром в данной точке. |
Множество точек равноудаленных от данной прямой есть прямая. |
Через всякую точку на плоскости, не принадлежащую данной прямой, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих данную прямую. |
Сумма углов любого треугольника больше π. |
| Через всякую точку на плоскости, не принадлежащую данной прямой, проходит прямая, не пересекающая данную прямую. | Через всякую точку на плоскости, не принадлежащую данной прямой, проходит единственная прямая, не пересекающая данную прямую. | Существует треугольник, серединные перпендикуляры которого не пересекаются. | |
| Через всякую точку плоскости проходит прямая перпендикулярная данной прямой и притом только одна. | Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. | Любые три точки равноудаленные от данной прямой не принадлежат одной прямой. | |
| Сумма углов любого треугольника не превосходит π. |
Таким образом, учитель совместно с учащимися заполняет таблицу теорем геометрии Евклида, которые возможно сопоставить с соответствующими теоремами геометрия Лобачевского.
| В геометрии Евклида | В геометрии Лобачевского |
| Сумма углов любого треугольника равна π. | Сумма углов любого треугольника меньше π. |
| Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. | Внешний угол любого треугольника больше суммы двух внутренних углов, не смежных с ним. |
| Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. | Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, больше половины гипотенузы. |
| Через всякую точку на плоскости, не принадлежащую данной прямой, проходит единственная прямая, не пересекающая данную прямую. | Через всякую точку на плоскости, не принадлежащую данной прямой, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих данную прямую. |
| В любом треугольнике серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке. | Существует треугольник, серединные перпендикуляры которого не пересекаются. |
| Множество точек равноудаленных от данной прямой есть прямая. | Любые три точки равноудаленные от данной прямой не принадлежат одной прямой. |
| Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна 2π. | Сумма внутренних углов любого четырехугольника меньше 2π. |
| Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. | Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника больше суммы квадратов катетов. |
| Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен ее половине. | Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, сверхпараллелен третьей стороне и не равен ее половине. |
| Через три точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно провести окружность. | Через три точки, не лежащие на одной прямой, не всегда можно провести окружность. |
Важно отметить, что в пропедевтическом курсе средней школы не нужно доказывать все теоремы геометрии Лобачевского, сопоставляемые с аналогичными из геометрии Евклида, достаточно показать доказательства наиболее простых и установить взаимосвязь.
г) Расширяется представление о взаимном расположении прямых.
В некоторых школьных учебниках геометрии Евклида свойства симметричности и транзитивности параллельности прямых не доказываются, а в геометрии Лобачевского доказывается.
Здесь ставится вопрос, почему авторы учебников принимают такое решение? Это объясняется тем, что в геометрии Евклида расстояние между параллельными прямыми постоянно. Поэтому свойства симметричности и транзитивности параллельности прямых в школьных учебниках геометрии принимается без доказательства, опираясь на наглядность.
д) Расширятся стереометрические представления учащихся о параллельности прямых и плоскостей в пространстве.
При изучении стереометрии Лобачевского расширяются общие пространственные представления учащихся путем сопоставления соответствующих представлений геометрий Евклида и Лобачевского. Например, доказываются свойства симметричности и транзитивности параллельности прямых и плоскостей в пространстве Лобачевского и сопоставляется с соответствующими понятиями геометрии Евклида.
После введения понятия орисферы можно объяснить учащимся выполнимость планиметрии Евклида на орисфере (модель евклидовой плоскости в геометрии Лобачевского может быть использована при доказательстве непротиворечивости Евклидовой геометрии в предположении непротиворечивости геометрии Лобачевского). После чего ученики еще раз убедятся, что геометрия Евклида и геометрия Лобачевского имеют тесную связь.
е) Формируется понятие об интерпретациях (моделях) геометрических систем.
При сообщении аксиом геометрии Евклида мы используем интерпретацию, предложенную советским геометром В.Ф. Каганом; в качестве точки брали зернышки или шарики, в качестве прямых - проволоки или цилиндрики, а в качестве плоскости - пластинки.
При изучении вопросов геометрии (планиметрии) Лобачевского учащиеся познакомятся с интерпретацией (моделью) А. Пуанкаре в верхней полуплоскости [1].
Рассмотрим на евклидовой плоскости открытую полуплоскость Л, ограниченную прямой x (будем считать ее горизонтальной). Назовем Л верхней полуплоскостью, а ее границу – x – абсолютом.
Точками плоскости Лобачевского будем называть точки верхней полуплоскости, а прямыми – открытые полуокружности верхней полуплоскости с концами на абсолюте (значит, их центры лежат на x) и лучи этой полуплоскости с началом на x, перпендикулярные прямой x. Эти полуокружности и лучи будем называть также неэвклидовыми прямыми.
Отношение “лежать между” на неэвклидовой прямой отвечает отношению “лежать между” для точек евклидовых полуокружностей и лучей в обычном смысле.
Наконец, определим “расстояние между точками”. Оно определяется по-разному в зависимости от того, расположена точка на полуокружности или на луче. Если точки A и B лежат на полуокружности, то выберем один из концов O этой полуокружности и неэвклидовым расстоянием между точками A и B назовем
г) Расширяется представление о взаимном расположении прямых.
В некоторых школьных учебниках геометрии Евклида свойства симметричности и транзитивности параллельности прямых не доказываются, а в геометрии Лобачевского доказывается.
Здесь ставится вопрос, почему авторы учебников принимают такое решение? Это объясняется тем, что в геометрии Евклида расстояние между параллельными прямыми постоянно. Поэтому свойства симметричности и транзитивности параллельности прямых в школьных учебниках геометрии принимается без доказательства, опираясь на наглядность.
д) Расширятся стереометрические представления учащихся о параллельности прямых и плоскостей в пространстве.
При изучении стереометрии Лобачевского расширяются общие пространственные представления учащихся путем сопоставления соответствующих представлений геометрий Евклида и Лобачевского. Например, доказываются свойства симметричности и транзитивности параллельности прямых и плоскостей в пространстве Лобачевского и сопоставляется с соответствующими понятиями геометрии Евклида.
После введения понятия орисферы можно объяснить учащимся выполнимость планиметрии Евклида на орисфере (модель евклидовой плоскости в геометрии Лобачевского может быть использована при доказательстве непротиворечивости Евклидовой геометрии в предположении непротиворечивости геометрии Лобачевского). После чего ученики еще раз убедятся, что геометрия Евклида и геометрия Лобачевского имеют тесную связь.
е) Формируется понятие об интерпретациях (моделях) геометрических систем.
При сообщении аксиом геометрии Евклида мы используем интерпретацию, предложенную советским геометром В.Ф. Каганом; в качестве точки брали зернышки или шарики, в качестве прямых - проволоки или цилиндрики, а в качестве плоскости - пластинки.
При изучении вопросов геометрии (планиметрии) Лобачевского учащиеся познакомятся с интерпретацией (моделью) А. Пуанкаре в верхней полуплоскости [1].
Рассмотрим на евклидовой плоскости открытую полуплоскость Л, ограниченную прямой x (будем считать ее горизонтальной). Назовем Л верхней полуплоскостью, а ее границу – x – абсолютом.
Точками плоскости Лобачевского будем называть точки верхней полуплоскости, а прямыми – открытые полуокружности верхней полуплоскости с концами на абсолюте (значит, их центры лежат на x) и лучи этой полуплоскости с началом на x, перпендикулярные прямой x. Эти полуокружности и лучи будем называть также неэвклидовыми прямыми.
Отношение “лежать между” на неэвклидовой прямой отвечает отношению “лежать между” для точек евклидовых полуокружностей и лучей в обычном смысле.
Наконец, определим “расстояние между точками”. Оно определяется по-разному в зависимости от того, расположена точка на полуокружности или на луче. Если точки A и B лежат на полуокружности, то выберем один из концов O этой полуокружности и неэвклидовым расстоянием между точками A и B назовем
где c – некоторое положительное число, a и b – углы, образованные соответственно лучами OA и OB с абсолютом. Если же точки A и B лежат на вертикальном луче с началом в точке O на абсолюте, то неэклидовым расстоянием между ними назовем
Далее нужно убедиться, что при указанном определении основных понятий планиметрии Лобачевского выполняются все ее аксиомы, сформулированные в новых терминах.
При помощи таких интерпретаций достигается интуитивно-наглядное понимание полноты системы аксиом.
2. Знакомство с геометриями Евклида и Лобачевского расширяет представление учащихся о геометрических фигурах, формируются новые геометрические понятия
а) Расширяются представления о кратчайшем расстоянии.
При изучении геометрии Лобачевского учащиеся, соединяя две точки обычной эластичной линейкой на псевдосфере видят, что характер кратчайшей (геодезической) линии зависит от плоскости.
Значит отрезок и прямая линия тоже зависит от плоскости. После этого изображение фигур геометрии Лобачевского на обычной классной доске не вызовет недоумения у учащихся.
б) Расширяется представление об асимптотически сближающихся линиях.
В геометрии Лобачевского расстояние между параллельными прямыми уменьшается в направлении параллельности. Так как эти прямые не пересекаются, у учащихся расширяется представление об асимптотически сближающихся линиях.
в) Расширяются представления об отрезке, угле и треугольнике (многоугольнике).
В геометрии Лобачевского понятия отрезка, угла, треугольника имеют такой же смысл, как и в геометрии Евклида (кроме функциональной зависимости угла и отрезка, соответствующего этому углу). Помимо того, учащиеся узнают, что в геометрии Лобачевского дефект треугольника строго больше нуля, выполняется признак равенства треугольников по трем углам и прочие теоремы.
Из сопоставления этих понятий расширяются представления учащихся об отрезке, угле и треугольнике (многоугольнике).
г) Расширяется представление о геометрических местах точек.
Понятие геометрического места точек сопоставляется и иллюстрируется в геометриях Евклида и Лобачевского. Например, в геометрии Лобачевского, кроме геометрических мест точек абсолютной геометрии как окружность, сфера, биссектриса угла, перпендикуляр к отрезку и т.д., существуют такие геометрические места как эквидистанта, орицикл, эквидистантная поверхность и т.д., которые имеют место только в геометрии Лобачевского. В геометрии Лобачевского эквидистантой или гиперциклом, называется геометрическое место точек, удалённых от данной прямой на данное расстояние (в Евклидовой геометрии эквидистанта прямой есть прямая).
д) Расширяется представление о подобных фигурах.
Устанавливается, что в геометрии Лобачевского подобные, но не равные фигуры не существуют. Это объясняется тем, что в геометрии Лобачевского отрезок и угол находятся в функциональной зависимости, значит число признаков равенства таких фигур как треугольник, четырехугольник увеличивается.
е) Формируется представление о различных пространствах.
Выполнение всех геометрических операций в привычном евклидовом пространстве ограничивает представления учащихся о пространстве. Ознакомление с геометрией Лобачевского развивает представление учащихся о пространстве и открывает широкий путь для ознакомления с многомерными пространствами.
3. При совместном изучении евклидовой и неэвклидовых геометрий формируются такие важные понятия как расстояние, величина, измерение величин
а) Расширяется представление об измерении расстояний.
При сопоставлении понятия равенства отрезков, сложения и вычитания отрезков в разных геометриях развиваются общие представления об измерении расстояний.
б) Расширяется представление о площади.
В геометрии Евклида теоремы о площадях фигур связаны с аксиомой параллельности. Поэтому эти теоремы не выполняются в геометрии Лобачевского. Вводятся формулы о площадях в геометрии Лобачевского. Расширяется представление об единице измерения - учащиеся узнают, что единица измерения в геометрии Лобачевского постоянная. Ознакомление учащихся с понятием площади в различных геометрических системах способствует расширению их представлений о площадях фигур.
4. Знакомство с евклидовыми и неэвклидовыми геометриями формирует у учащихся понятие о методах решения задач
При знакомстве с неэвклидовыми геометриями:
а) Учащиеся узнают о новых методах решения задач на построение (на моделях и в интерпретациях).
При решении таких задач абсолютной геометрии, как проведение перпендикуляра через середину отрезка, деление отрезка и угла на две равные части, построение треугольников по трем элементам и др.
В геометрии Лобачевского решаются задачи на построение угла, треугольника, прямых равного наклона на эквидистанту и др. на псевдосфере и также в интерпретациях Бельтрами-Клейна, Пуанкаре и т.д.
б) Учащиеся узнают о новых методах решения задач на доказательство и на вычисление, решаются задачи такого рода и по неэвклидовым геометриям.
Например, по геометрии Лобачевского решаются такие задачи на вычисление, как определение суммы внутренних углов треугольника, четырехугольника, вычисление суммы внешних углов различных треугольников и четырехугольников, вычисление длины отрезков, площади треугольников и т.д. на псевдосфере. Так же решаются задачи и на доказательство.
5. При изучении неэвклидовых геометрий укрепляется связь геометрии со смежными предметами
Ознакомление с неэвклидовыми геометриями дает возможность связывать геометрию со смежными предметами, что тоже развивает геометрические представления учащихся.
а) Расширяется представление о приближающихся линиях.
На алгебре и основах математического анализа при изучении кривых второго порядка (параболы и гиперболы) учащиеся знакомятся с асимптотически приближающимися линиями. Но они не очень-то верят, что они не пересекаются. После ознакомления с аксиомой параллельности Лобачевского они убеждаются в существовании асимптотически приближающихся линий.
б) Расширяется представление о монотонных функциях, о функциональной зависимости между геометрическими величинами. При прохождении геометрии Лобачевского учащиеся видят, что стороны геометрических фигур функционально связываются с углами.
в) Расширяется представление о связях геометрии со смежными предметами, такими как физика, химия, астрономии и географии.
