Сценарий урока по геометрии в 8 классе
Решение задач по теме: «Площадь треугольника»
Петухова Ирина Юрьевна
Цель урока: доказать теорему о площади треугольника, рассмотреть следствия из этой теоремы и первичное применение теоремы к решению задач. Задачи урока:
1) научиться применять теорему о площади треугольника для решения задач;
2) развивать внимание, память, логическое мышление; активизировать мыслительную деятельность, умение анализировать, обобщать и рассуждать;
3) воспитание трудолюбия, усердия в достижении цели, интерес к предмету.
Оборудование урока: доска, учебник геометрии «Геометрия 7-9» Л.С.Атанасян.
Тип урока: изучение нового материала.
Планируемые результаты
Предметные:
- ученик научится находить площадь треугольника;
- ученик получит возможность применять знания при решении задач с практическим содержанием.
- ученик получит возможность контролировать процесс и результат учебной и математической деятельности;
- ученик научится определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии с известными правилами;
- ученик получит возможность научиться элементам волевой саморегуляции, мобилизации сил к преодолению препятствий[3]
Учитель. Здравствуйте, я рада вас видеть. Проверьте свою готовность к уроку: тетрадь, учебник, ручка, карандаш, линейка и, конечно же, хорошее настроение. Перед тем, как начать работать, нарисуйте, пожалуйста, в тетради смайлик, передающий ваше настроение в начале нашего урока, посмотрим изменится ли оно к концу урока.
А теперь начнем. Чем мы занимались на прошлом уроке?
Уч-ся. Вывели формулу площади параллелограмма. Решали задачи на применение формулы.
Учитель. Площади каких фигур мы уже умеем находить?
Уч-ся. Прямоугольника, квадрата, параллелограмма. S=a*b, S=a2, S=a*h.
Учитель: Выдает наиболее подготовленным учащимся решить самостоятельно задачу №1 практического содержания, связанную с площадью прямоугольника. Задача 1. «Пол комнаты, имеющий форму прямоугольника со сторонами 5,5 м и 6 м, нужно покрыть паркетом прямоугольной формы. Длина каждой дощечки паркета равна 30 см, а ширина – 5см. Сколько потребуется таких дощечек для покрытия пола?»
В это время с остальными устно выполним несколько заданий: Задача 2. Площадь квадрата равна 25 см2. Найдите его сторону и выразите её в мм, дм. [1]
Уч-ся: Сторона: 5 см или 50 мм или 0,5 дм.
Учитель: Хорошо. Задача 3: Стороны прямоугольника 7 см и 9 см. Найдите его площадь и выразите её в м2.
Уч-ся: Площадь 63 см² или 0,0063 м².
Учитель: Пред решением следующей задачи проверим, что получилось у тех, кто решал индивидуально.
Уч-ся: 2200 штук.
Учитель: Теперь все вместе можем попробовать решить следующую задачу. Задача 4: Найдите площадь прямоугольного треугольника, если один из его катетов 4 см, а другой – 10 см. Как думаете, какая тема нашего урока?[1]
Уч-ся: Площадь прямоугольного треугольника.
Учитель: А если более обобщенно?
Уч-ся: Площадь треугольника.
Учитель: Точно. Запишем в тетрадь и на доску. В конце урока вы напишете небольшой тест по этой теме, так что внимательность на уроке вам только поможет в этом. Вернемся к нашей задаче. Какие есть варианты, что б ответить на вопрос этой задачи? Может быть с помощью палетки?
Уч-ся: Можно разбить на небольшие квадраты.
Учитель: Записывает гипотезы на доску. Какие еще есть варианты?
Уча-ся: Может быть достроить до прямоугольника.
Учитель: Хорошо. У нас есть минимум 3 гипотезы, как выдумаете гипотеза с палетками нам подходит?
Уч-ся: Нет. Это не удобный способ и остаются углы в которые нельзя подставить палетки известного размера.
Учитель: Согласна. А что можно сказать про способ разбиения на квадраты, ведь мы знаем, что площадь многоугольника равна сумме площадей фигур, на которые его можно разбить?
Уч-ся: Остаются треугольники, площадь которых мы не знаем.
Учитель: Тогда остается последний вариант, достроить до прямоугольника. Давайте так и сделаем, посмотрим, как это может нам помочь. Что интересного мы можем здесь заметить?
Уч-ся: У нас получилось 2 равных треугольника.
Учитель: Точно получается, что наша гипотенуза в прямоугольном треугольнике, чем является для прямоугольника?
Уч-ся: Диагональю.
Учитель: Хорошо. И она разбивает наш прямоугольник на 2 равных, чего?
Уч-ся: Треугольника.
Учитель: Значит какие у нас есть теперь варианты как найти площадь одного из таких треугольников?
Уч-ся: Надо найти площадь прямоугольника и поделить ее на 2.
Учитель: И что же у нас получится?
Уч-ся: 20.
Учитель: Хорошо. А чем же две стороны прямоугольника будут являться в нашем треугольнике?
Уч-ся: Катетами.
Учитель: Точно. Тогда давайте попробуем сформулировать формулу площади в общем виде для прямоугольного треугольника.
Уч-ся: Произведение катетов деленное на 2.
Учитель: Скажите, а чем еще будут являться 2 катета по отношению друг к другу? Какой еще элемент в треугольнике мы знаем, который образует угол 90?
Уч-ся: Высота.
Учитель: Тогда как бы мы могли перефразировать нашу формулу площади?
Уч-ся: Произведение высоты на основание, деленное на 2.
Учитель: А это справедливо только для прямоугольного треугольника или для всех? Как вы думаете?
Уч-ся: Нет.
Уч-ся: Да.
Учитель: Давайте попробуем тогда решить следующую задачу: Вычислите площадь произвольного остроугольного треугольника. Какие у вас есть предложения как это сделать?
Уч-ся: Надо провести высоту.
Учитель: Давайте так и сделаем. И введем некоторые цифры. Как теперь можем посчитать площадь нашего треугольника?
Уч-ся: Мы получили 2 прямоугольных треугольника, можем посчитать их площади, а потом их сложить.
Учитель: И что мы получим?
Уч-ся: Площадь одного треугольника 6, а другого 3, значит площадь искомого треугольника 9.
Учитель: А можем посчитать еще каким-то способом? Если учесть во внимание формулу, которую мы сформулировали для прямоугольного треугольника.
Уч-ся: Если умножить высоту на сторону и разделить на 2.
Учитель: Верно. Значит для остроугольного треугольника наша формула работает?
Уч-ся: Да.
Учитель: В каком треугольнике нам осталось проверить?
Уч-ся: Тупоугольный.
Учитель: Давайте попробуем найти площадь тупоугольного треугольника. Кто мог бы нарисовать рисунок?
Ученик выходит к доске рисует рисунок.
Учитель: Что нужно нам провести еще в этом треугольнике?
Уч-ся: Высоту.
Учитель: Что мы получили на рисунке?
Уч-ся: Два прямоугольных треугольника, площади, которых мы можем сложить и получить площадь искомого.
Учитель: Давайте так и сделаем. Сторона одна 5, одна 6,а одну сторону высота разбивает на отрезки 4 и 5.
Уч-ся: Высота равна 3 по теореме Пифагора, а площади 6 и 7, 5, а вся площадь искомого треугольника 13, 5.
Учитель: Скажите, а нам все эти данные понадобились?
Уч-ся: Можно было обойтись без размеров одной из сторон.
Учитель: Любой?
Уч-ся: К которой не проведена высота.
Учитель: Да. Скажите, а наша формула, которую мы сформулировали, здесь тоже работает?
Уч-ся: Да.
Учитель: Значит, наша формула площадь равна половине произведения высоты на основание, верна для всех треугольников. А давайте попробуем наш треугольник начертить по-другому и взять высоту из вершины острого угла. Если бы мы решали через два прямоугольных треугольника, что б нам надо было бы сделать, что б найти площадь треугольника ABC?
Уч-ся: Надо было бы найти площади треугольников AHB и AHC и из площади одного вычесть другого.
Учитель: А если бы мы применили формулу, которую мы узнали сегодня?
Уч-ся: ½*AH*CB.
Учитель: Хорошо. Давайте теперь запишем вместе доказательство. С чего начнем?
Уч-ся: Дан треугольник ABC.
Учитель: Дано: ∆АВС; AB=a –основание, CH=h – высота, S – площадь треугольника. Доказать, что мы хотим доказать?
Уч-ся: Что площадь равна половине произведения высоты на основание.
Учитель: Доказать: S =АВ*СН или S =a*h . Доказательство… С чего начнем наше доказательство? С чего мы начинали с самого начала?
Уч-ся: С прямоугольного треугольника.
Учитель: А что мы с ним делали?
Уч-ся: Достраивали до квадрата.
Учитель: Раз мы доказываем для любого треугольника, давайте достроим до параллелограмма ABCD. На доске: 1. Достроим треугольник АВС до параллелограмма АCDВ. Что дальше?
Уч-ся: У нас есть два равных треугольника.
Учитель: Почему они равны?
Уч-ся: По трем сторонам.
Учитель: Давайте это запишем и поясним, почему они равны по трем сторонам. Кто мне поможет?
Уч-ся: AC=BD, AB=CD по свойству параллелограмма, CB- общая сторона.
Учитель: (Записывает это на доске). Если треугольники равны то, что можно сказать про площади?
Уч-ся: Они тоже равны. Тогда площадь одного треугольника равна половине площади параллелограмма. А площадь параллелограмма находим как CH*AB.
Учитель: Давайте так и запишем: 2. ∆АСВ=∆DВС (по трем сторонам). Следовательно S∆АСВ=S∆DВС, Следовательно S∆АСВ=SABCD, значит S∆АСВ=AB*CH=a*h. Ч.т.д. Давайте, немножко порешаем устно задачи на эту формулу площади. [2]
Уч-ся. 7,5; 5; 5; 4; 6
Учитель: Мы с вами уже хорошо обговорили, вытекающее отсюда следствие по поводу прямоугольного треугольника. Давайте еще раз его повторим.
Уч-ся: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведению катетов.
Учитель: Хорошо, ели у кого-то это еще не записано в тетради, запишите, пожалуйста. Далее начертите, пожалуйста, в своих тетрадях два различных треугольника АВС и А1В1С1 с равными высотами ВН и В1Н1. Измерьте основания ваших треугольников. Вычислите площади треугольников S и S1. Найдите отношения площадей ваших треугольников. Сравните с отношением оснований и сделайте вывод.
Уч-ся: Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
Учитель: И это следствие давайте запишем в тетрадь. Повторю для тех, кто не успел записать этот вывод. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания. Давайте решим еще одну задачу: Стороны АВ и ВС треугольника АВС равны соответственно 16 см и 22 см, а высота, проведенная к стороне АВ, равна 11 см. Найдите высоту, проведенную к стороне ВС. Попросим решить кого-нибудь у доски. [2]
Уч-ся: SАВС =
SАВС = Следовательно, =88; АМ=8 (см).
Учитель: Теперь обещанный тест.
1 вариант
- По какой формуле вычисляется площадь треугольника?
- На клетчатой бумаге с размером 1 х 1 изображен треугольник. Найдите его площадь.
3. Найдите площадь треугольника изображенного на рисунке.
А) 5 Б) 6,5 В) 10
- Пусть а- основание, h-высота, а S – площадь треугольника. Найдите S, если а = 12 см, h=16 см.
5. Стороны АВ и ВС треугольника АВС равны соответственно 18 см и 24 см, а высота, проведенная к стороне АВ, равна 13 см. Найдите высоту, проведенную к стороне ВС.
А) 9,75 Б)36 В) 117
2 вариант
- Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его … ?
- На клетчатой бумаге с размером 1 х 1 изображен треугольник. Найдите его площадь.
3. Найдите площадь треугольника изображенного на рисунке.
А) 6 Б) 12 В) 15
- Пусть а- основание, h-высота, а S – площадь треугольника. Найдите а, если S = 26 см, h=10 см.
- Стороны АВ и ВС треугольника АВС равны соответственно 14 см и 20 см, а высота, проведенная к стороне АВ, равна 9 см. Найдите высоту, проведенную к стороне ВС.
Учитель: Давайте поменяемся тетрадями с соседом и проверим ответы. 1 Вариант: 1-Б, 2-В, 3-А, 4-Б, 5-А, 2 Вариант: 1-Б, 2-В, 3-Б, 4-А, 5-А. Пожалуйста поставьте на полях цифру с количеством правильных ответов. Хорошо. Давайте запишем домашнее задание, обратите внимание на дополнительное задание, оно для желающих углубить свои знания.:
а) повторить теорему о площади треугольника, попытаться найти другое её доказательство;
б) вывести формулу для вычисления площади равнобедренного прямоугольного треугольника;
в) №468.
Г) Дополнительно для желающих: найти и изучить информацию на тему: «Формула Герона для нахождения площади треугольника, ее запись вывод, применение».
Мы плодотворно поработали на сегодняшнем уроке, давайте подведем итог. Оцените: свою работу на уроке с помощью фраз, которые вы видите на доске:
- Сегодня на уроке я научился ….
-Я получил возможность научиться…
- Я пока еще не умею ….
- Я стал лучше понимать….
-Мне было сложно…
Спасибо за урок, до скорой встречи.[4]
Список литературы:
1.Карпова Е.В. Проблемное обучение на уроках математики: из опыта работы. Инновации в современной науке. Материалы VI Международного осеннего симпозиума. Центр научной мысли: "Издательство "Спутник+", М., 2014.
2.Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И., Геометрия 7-9 классы: Просвящение, М., 2015.
3.Инфоурок. Тесты по геометрии для 8 класса. URL: https://infourok.ru/testi-po-geometrii-dlya-kl-1567096.html
4. Хостинг документов URL:https://pedsovet.org/core/file/get/id/153093
