Образовательный портал

Приемы быстрого счета

Аннотация
 
Можно ли представить мир без чисел? Давайте вспомним, что мы с вами делаем изо дня в день: без чисел не сделаешь  покупки в магазине, ни времени не узнаешь, ни номера телефона не наберешь. А  другие достижения современности! Они попросту были бы невозможны, если бы не наука о числах. Отвечая на вопрос «сколько?», мы почти всегда называем то или иное число. Число - одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения.
Во все времена математика была и остается одним из основных предметов, изучаемых  в школе, потому что математические знания необходимы всем людям. Не каждый школьник, обучаясь в школе, знает, какую профессию он выберет в будущем, но каждый понимает, что математика необходима для решения многих жизненных задач: расчеты в магазине, оплата за коммунальные услуги, расчет семейного бюджета и т. д. Кроме того, всем школьникам необходимо сдавать экзамены в 9 - м классе и в 11 - м классе, а для этого, обучаясь с 1 - го класса, необходимо качественно осваивать математику и прежде всего, нужно научиться считать.
Но в нашем современном мире бытует  мнение, что сейчас человеку не надо самому уметь считать, а особенно уметь считать быстро. Для этого существуют компьютеры, калькуляторы и другие гаджеты. Сейчас, на этапе стремительного развития информатики и вычислительной техники, современные школьники не хотят утруждать себя использованием приемов быстрого счета  в уме.
Польза быстрых устных вычислений огромна:
1) Применяя законы арифметических действий к различным вычислениям, можно повторить, закрепить, усвоить их не механически, а сознательно.
2) При устных вычислениях развиваются логическое мышление, внимание, сосредоточенность, смекалка, самостоятельность, гибкость ума.
3) Устный счет содействует тренировке памяти.
4) В то время как письменные вычисления однообразны и шаблонны, в устных вычислениях нет готового шаблона и приемы вычислений разнообразны, что способствует развитию чрезвычайно полезных качеств человека.
Актуальность нашего исследования состоит в том, чтобы:

• показать как быстро, рационально и без использования различных гаджетов научиться в жизни использовать те математические знания, которые  мы приобретаем в стенах школы;
• показать не только то, что сам процесс выполнения действия может быть важным, необходимым для получения дальнейшего математического образования,  но и очень интересным занятием.

Цель исследования: изучение  различных  приемов   быстрого счета.
В соответствии с поставленной целью были определены задачи:

• подобрать  и изучить приемы быстрого счета, которые можно использовать, для упрощения  вычислений;
• показать необходимость их применения;
• доказать результативность использования различных видов быстрого счета для повышения познавательного интереса к урокам математики;
• развивать логическое и творческое мышление.
• провести исследования  с учащимися пятых, шестых и седьмых классов на применение  приемов    быстрого счета.
• составить памятку для учащихся 5 – 7  классов по рациональному  использованию  приемов быстрого счета.

Гипотеза исследования: применение приемов быстрого счета облегчает вычисления, повышает вычислительную культуру  учащихся,  быстроту  решения практических задач.
Объект исследования: приемы быстрого счета.
Предмет исследования: характеристики приемов и способов  быстрого счета, помогающие выбрать наиболее эффективный и быстрый метод решения.
При выполнении работы были использованы следующие приемы и методы:

• опрос (анкетирование);
• анализ (статистическая обработка данных);
• работа с источниками информации;
•  практическая работа;
•  наблюдения.

Практическая ценность работы: данная работа относится к прикладным исследованиям, т. к. в ней показывается роль применения приемов быстрого счета для практической деятельности.
Структура работы: данная работа включает в себя теоретическую часть (анализ собранной информации по теме) и практическую часть (проведение исследования по теме).
 
 
Основная часть
 
§1. Старинные способы быстрого умножения
В прошлые времена было много способов счета. Искусство счета развивалось с развитием человечества. В те времена, когда человек лишь собирал в лесу плоды и охотился, ему для счета хватало руки. Пальцы всегда при нас.
Рука человека – первая «счетная машина». Мальчик, выгоняя  стадо коз, загибал пальцы, а когда загонял их обратно, то опять пересчитывал по пальцам и сравнивал, все ли пальцы он загнул. Пальцы были первыми условными знаками обозначения чисел. Так родилась идея использовать пальцы для обозначения чисел. Когда пальцы на одной руке кончались, переходили на другую, а если на двух руках не хватало, переходили на ноги. Поэтому, если в те времена кто-то хвалился, что у него «две руки и одна нога кур», это означало, что у него пятнадцать кур, а если это называлось «весь человек», то есть две руки и две ноги, это означало двадцать.
Когда в пересчете участвовало много животных, то пальцы кончались, и возник вопрос, как обозначить десятки. Тогда обратились к зарубкам, камешкам.
В древние времена, когда человек хотел показать, сколькими животными он владел, он клал в большой мешок столько камешков, сколько у него было животных. Чем больше животных, тем больше камешков. Отсюда и произошло слово «калькулятор», «калькулюс» по-латински означает «камень»!
В России сохранилось выражение: «Заруби себе на носу». Оно говорит о том, что для запоминания чего-либо важного следует сделать зарубку. Слово «нос» в данном случае произведено от слова «носить». В старые времена многие люди носили при себе для зарубок небольшие палочки. Называли их «нос», а чтобы запомнить нужное число, делали на «носу» соответствующее число зарубок – меток.
Перуанские инки вели счет животных и урожая, завязывая узелки на ремешках или шнурках разной длины и цвета. Эти узелки назывались кипу. У некоторых богатеев скапливалось по несколько метров этой веревочной «счетной книги», попробуй, вспомни через год, что означают 4 узелочка на шнурочке! Поэтому того, кто завязывал узелки, называли вспоминателем. Веревочные счеты с узелками были в ходу и в России, а также во многих странах Европы. До сих пор иногда завязывают узелки на носовых платках на память.
Первые способы быстрого счета тоже берут начало из давних времен.

1. Русский крестьянский способ умножения

Пример 1 14х38=532		Пример 2 16х29=464		Пример3 6х215=1290
14	38	16	29	6	215
7	76	8	58	3	430
3	152	4	116	1	860
1	304	2	232	860+430=1290
304+152+76=532		1	464

Принцип крестьянского способа умножения:

• Записать числа на одной строчке, провести между ними вертикальную черту.
• Числа левого столбика делим на 2 (если при делении возникает остаток – отбрасываем его).
• Числа правого столбика умножаем на 2.
• Запись заканчивается тогда, когда в левом столбике появится 1.
• Если все числа в левом столбике четные, то ответом будет последнее число правого столбика.
• Если в левом столбике и четные и нечетные числа, то вычеркиваем те строчки, в которых слева стоят четные числа.
• Далее оставшиеся справа числа складываем – это результат.
  1. Старинный способ умножение на 9 на пальцах

Для того, чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, достаточно просто посмотреть  на руки. Надо загнуть  палец, который соответствует умножаемому числу  (например 9 x 4 - загнуть четвертый палец), посчитать  пальцы до загнутого пальца  (в случае 9 x 4 – это 3), затем посчитайте после загнутого пальца (в случае 9х4 – это 6 ). Ответ – 36.
Умножение методом Ферроля.
Для умножения двух чисел сначала:

• перемножают единицы множителей;
• для получения десятков, умножают десятки одного на единицы другого и наоборот;
• результаты складывают;
• для получения сотен перемножают десятки.

Методом Ферроля легко перемножать устно двухзначные числа от 10 до 20.
Например: 17 х14=238
а) 7х4=28, пишем 8 (2 запоминаем);
б) 1х4+7х1+2 =13, пишем 3 (1 запоминаем);
в) 1х1+1=2, пишем 2. Конечный ответ: 238
 

1. Итальянский способ умножения. «Метод решетки»

В Италии, а также во многих странах Востока, этот способ приобрел большую известность.
Использование приема:
Найдем произведение чисел 56 и 32.

• Горизонтально запишем число  56, вертикально 32.   Проводим диагонали.

	5	6
3	1              5	1                 8
2	1        0	1           2

• На пересечениях этих диагоналей  находим произведения чисел.

• Складываем числа по диагоналям.

Получаем  результат: 1792
§2. Анализ литературных источников.
За простыми действиями сложения, вычитания, умножения и деления скрываются тайны истории математики. Случайно услышанные слова «умножение решеткой», «способ сдвига», «умножение пирамидой», «шахматным способом» заинтриговали. Мне захотелось узнать эти и другие способы вычислений, а также сравнить их с сегодняшними.
2.1. Работать над темой исследования мы начали с обзора и анализа различных литературных источников. Одним из самых известных математиков, который занимался приемами быстрого счета еще в 1941 году,  был Яков Исидорович Перельман. В его  книге «Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета» описывались наиболее простые и легко усваиваемые приемы быстрого устного счета. Автор сетовал, что «в настоящее время в продаже нет руководств, содержащих наставления к быстрому выполнению счетных операций в уме. Поэтому полезным собрать в краткой брошюре некоторые из них»[1].  Приемы, разработанные автором, были  рассчитаны на «средние способности» учеников  и, по его мнению,  их можно было применять в повседневной жизни.
В книге собраны  различные приемы умножения и деления на однозначные и  двузначные числа. Например:

• Умножение на 5 и на 25;
• Умножение на 11/2, на 1 1/4, на 21/2, на¾;
• Умножение на 15, на 125, на 75;
• Умножение на 9 и на 11;
• Деление на 5, на 11/2,на 15;
• Возвышение в квадрат;
• Вычисления по формуле (а + b) (а – b) = а² — b²

Я.И.Перельман призывал тех, кто будет пользоваться его «книжечкой»  помнить, что успешное овладение ее указаниями предполагает не механическое, а вполне сознательное распоряжение приемами и, кроме того, более или менее продолжительную тренировку. Зато, усвоив рекомендуемые приемы, можно будет выполнять быстрые расчеты в уме с безошибочностью письменных вычислений.
Многие из этих приемов нам известны из школьного курса математики. В конце же своей книги Я.И.Перельман, обращаясь к читателю, писал: «В нашей книжечке указаны только простейшие, наиболее удобоприменимые способы устного выполнения действий умножения, деления и возвышения в квадрат. Практикуясь в сознательном пользовании ими, вдумчивый читатель выработает для себя ряд еще и других приемов, облегчающих вычислительную работу»[2]. Эта фраза дала нам стимул для дальнейшего изучения темы нашего исследования.
2.2.Следующим  источником, который нас очень заинтересовал  и побудил  продолжать начатую работу, стала книга английского математика Билла Хэндли «Считайте в уме как компьютер»[3], автора учебников по устному счету. В этой книге предлагаются простые и эффективные методы, позволяющие с быстротой молнии выполнять в уме  такие вычисления, как умножение, деление, сложение и вычитание чисел, операции с дробями, извлечение квадратных и кубических корней.
Ведь всем известно, что надо знать назубок таблицу умножения. А если забыл, то мы знаем только один способ нахождения нужного результата: замена умножения сложением. Б.Хйндли предлагает абсолютно неизвестные, а потому очень интересные современному школьнику способы умножения.
 
Умножение чисел до 10
Пример:   7 × 8 =
                          ⃝      ⃝

• Нарисуем кружки под каждым из двух перемножаемых чисел.
• Рассмотрим первый из множителей.  Сколько ему не  достает  до числа  10? Ответ:3. Впишем 3 в кружок под числом 7.
• Сколько не достает до числа 10 второму множителю? Ответ:2. Впишем его под числом 8.

                                     7 × 8 =
                         3 ⃝    2 ⃝

• Теперь выполним вычитание накрест.  Вычтем любое из чисел в кружках  из числа, расположенного над ним накрест.  (8 – 3 = 5 или 7 – 2 = 5). Это первая цифра произведения.
• Перемножим числа в кружках. (3×2=6). Это вторая цифра произведения.

Ответ:56
Основной метод счета, используемый автором – опорное число.В книге можно получит информацию о том, как с помощью опорных чисел умножать, делить и проверять свои вычисления.
Например:

• перемножение чисел над и под опорным числом;
• умножение с помощью двух опорных чисел;
• сложение;
• вычитание;
• возведение в квадрат;
• прямое деление;
• прямое умножение
• деление посредством сложения и т.д.

Некоторые из описанных автором методов мы  представили в Приложении 1 к данной работе.
Как признается сам автор, на написание данной книги его вдохновили методы из работы Яакова Трахтенберга, с которыми он ознакомился еще в детстве. Однако, приемы,  предложенные в книге Б. Хэндли,  отличаются от системы быстрого счета по Трахтенбергу.
                  
2.3. Яаков  Трахтенберг- еврейско-русский математик, который, находясь в заключении в Освенциме, фашистском концлагере во время Второй мировой войны, разработал систему быстрого счета. Занимался он этим, чтобы сохранить рассудок. Четыре мучительно долгих года, проведенных за колючей проволокой, Яаков посвятил разработке и совершенствованию своей математической системы. Когда арифметика начала казаться ему слишком уж “простой”, он перешел к алгебре.
Система Трахтенберга позволяет умножать большие числа на небольшие.Приведем один из примеров:
Рассмотрим умножение чисел на 11 по методу Трахтенберга.
Пример: 421 умножить на 11.

• Напишите последнюю цифру числа 421 в качестве правой цифры результата

421*11
1

• Каждая последующая цифра числа 421 складывается со своим правым соседом и записывается в результат: 1+2=3. Перед единицей записываем результат 3.

421*11
31

• Применим это действие  еще раз: 2+4=6. Записываем и эту цифру в результате:

421*11
631

• Первая цифра числа 421, то есть 4, становится левой цифрой результата:

421*11
4631
Ответ: 4631.
Многие другие интересные и познавательные способы умножения по методу Я. Трахтенберга представлены нами в Приложении 2 к данной работе.
Система Яакова Трахтенберга популярно и доходчиво описана в изданной в США книге для детей “Мгновенная математика». Ее автором стала журналистка, корреспондент информационного агентства “Ассошиэйтед Пресс” Анна Кутлер. В нашей стране книга, в которой была описана система Трахтенберга, была издана в 1967 году. Авторами ее стали Катлер Энн и  Май-Шейн Рудольф. Книга выдержала большое количество изданий на немецком и английском языках в Швейцарии, Великобритании, США и других странах[4]. 
В истории математики известно около 50 общих способов умножения и деления, отличающихся либо схемой записи, либо самим ходом вычисления. Пожалуй, принятые у нас обычные способы  умножения и деления являются наиболее удобными, но отнюдь не лучшим в применении. В Приложении 3 к данной работе мы рассмотрели основные приемы быстрого счета, с нашей точки зрения, наиболее интересные.
 
§3.  Практическое исследование
Умеете ли вы считать? Такой вопрос мы задали ученикам пятых, шестых и седьмых классов. Вопрос, пожалуй, даже обидный для человека старше трехлетнего возраста.  Естественно, ответом каждого было «да».  Но вопрос – как считать? Можно считать на калькуляторе, можно считать столбиком в тетради, а можно считать устно, используя приемы быстрого счета. Нам захотелось выяснить, а знают ли учащиеся приемы быстрого счета, если нет, то помочь им освоить эти приемы, с этой целью составить для них памятку с рекомендациями по применению приемов  быстрого счета.
Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники другие способы выполнения арифметических действий, кроме умножения, сложения, вычитания столбиком и деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы, было  проведеноанкетирование в трех классах: 5а, 6б и 7а.Ребятам были заданы 5 простых  вопросов.  В опросе приняли участие 72 человека. В таблице показаны результаты анкетирования.

1. Какие Вы знаете способы быстрого счета?

1. Где вам нужен устный счет?

1. Как часто Вы используете приемы быстрого счета?

 

1. Умеют ли Ваши родители считать быстро?

1. Хотели бы Вы научиться быстро считать устно?

Проанализировав результаты, мы сделали выводы, что большинство учеников считает, что умение считать пригодится в жизни и необходимо в школе, особенно при изучении математики, физики, химии, информатики и технологии. Приемы быстрого счета знают несколько учеников и почти все хотели бы научиться быстро считать. (Результаты анкетирования отражены в диаграммах) .
Заключение
Научиться быстро считать не так уж сложно, а хорошему физику и математику просто необходимо владеть основными приемами быстрого счета. Все те способы быстрого счета, которые мы рассмотрели в данной работе,  рассчитаны на ум "обычного" человека и не требуют уникальных способностей. Главное - более или менее продолжительная тренировка.
Описывая старинные способы вычислений  и современные приемы быстрого счета мы попытались показать, что  как и в прошлом, так и в будущем без знания и практического применения математики в жизни не обойтись.
Все рассмотренные нами методы быстрых  вычислений  говорят о многолетнем интересе ученых и простых людей к игре с цифрами. Используя некоторые из этих методов на уроках или дома можно развить скорость вычислений, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.
Таким образом, мы видим, что наша первоначальная гипотеза о том, что  применение приемов быстрого счета облегчает вычисления, повышает вычислительную культуру  учащихся и   быстроту  решения практических задач подтверждается. Цель, обозначенная нами в самом начале  работы над данным проектом, достигнута, поставленные задачи – решены.  
Выводы:

• Знание приемов быстрого счета облегчает выполнения различного рода задач как в школе, на различных предметах, так и в реальной жизни.
• Знание приемов быстрого счета развивает мышление, логику, внимательность, наблюдательность, гибкость ума.
• В школьных учебниках практически нет приемов быстрого счета, поэтому результат нашей работы – составление памятки с указанием  приемов быстрого счета будет полезен всем школьникам.

Нам было очень интересно работать над данной темой исследования.  Пока мы только изучали и анализировали уже известные способы быстрого счета, но кто знает, возможно, в будущем мы сами сможем открыть новые способы и приемы быстрых вычислений.
Список используемых источников
1.Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика.- М.: АСТ – ПРЕСС, 1999. – 368 с.
2. Билл Хэндли. Считайте в уме как компьютер. – Минск.: Попурри,  2006. – 352с.
3. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М.: Современное слово, 1978. – 128с.
4. Катлер Энн и  Май-Шейн Рудольф. Система быстрого счета по Трахтенбергу. , 1967.
5. Перельман Я.И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета. – Л.;,1941. – С.3
6. Перельман Я.И. Занимательная арифметика. – М., Транзиткнига, 2005.
 
 
 
 
 
 
 

You have no rights to post comments