Место математической логики в гуманитарном образовании
The place of Mathematical logic in humanitarian education
Соколова Жанна Владимировна,
канд. ф.-м наук, доцент каф. Высшей математики
СПбГЭУ, Санкт-Петербург, Россия
Сорокина Ольга Андреевна,
ст. преп. каф. Высшей математики
СПбГЭУ, Санкт-Петербург, Россия
канд. ф.-м наук, доцент каф. Высшей математики
СПбГЭУ, Санкт-Петербург, Россия
Сорокина Ольга Андреевна,
ст. преп. каф. Высшей математики
СПбГЭУ, Санкт-Петербург, Россия
Ключевые слова: логика; математическая логика; квантовая логика; междисциплинарные исследования; гуманитарное образование.
Key words: logic; mathematical logic; quantum logic; interdisciplinary studies; humanitarian education.
Аннотация: В статье исследуется вопрос о месте и роли изучения математической логики в гуманитарном образовании. Приводятся краткие сведения из истории логики и математической логики. Освещаются факты применения логической науки в различных сферах деятельности, анализируется современное состояние и даются прогнозы развития. Формулируются аргументы, подтверждающие важность изучения логики и математической логики в гуманитарном образовании.
Annotation: In this article the problem of studying of mathematical logic in humanitarian education is investigated. Authors also give examples as from the history of this subject as from the experience of application of the logic apparatus in different spheres. They give arguments proving the importance of studying logic and mathematical logic in humanitarian and economical education.
Курс математической логики включен в программу экономических вузов для подготовки студентов по специальности «информационная безопасность». Студентам, обучающимся по данной специальности знакомство с математической логикой необходимо перед изучением теории алгоритмов, без знания которой невозможно излагать основы шифрования, проблемы искусственного интеллекта и т.д.
Нам же кажется целесообразным преподавание математической логики в гуманитарных ВУЗах студентам широкого спектра специальностей. Естественно, изложение для этих студентов должно отличаться от традиционного изложения аналогичного курса на математических факультетах и в технических вузах [1], [2], [3]. Теория логического вывода, формально–аксиоматическое построение наук и возникающие при этом проблемы (теорема Геделя о неполноте), подробное изучение рекурсивных функций и другие подобные вопросы, важные в образовании математика, являются достаточно трудными и, пожалуй, избыточными для студентов гуманитарных вузов. С другой стороны, знакомство с математической логикой им необходимо по целому ряду причин:
- Человек, овладевший логикой, мыслит более чётко, его аргументация более убедительна, он реже заблуждается и совершает ошибки.
- Логическое мышление не является врождённым, его можно и нужно развивать различными способами. Систематическое изучение науки логики – один из наиболее эффективных способов развития логического абстрактного мышления.
- Студентам логика поможет в процессе овладения ими многообразной информации, с которой они встретятся при изучении различных наук. Логика поможет им отделить главное от второстепенного, поможет критически воспринимать материал из разных источников, поможет подобрать формы доказательства своих истинных суждений и формы опровержения ложных.
- Знание формальной логики помогает предвидеть события и лучшим способом планировать деятельность, максимально предусматривать возможные последствия, выдвигать различные гипотезы.
Первоначально логика зародилась и развивалась в рамках философии – единой науки, которая объединяла всю совокупность знаний об объективном мире и о самом человеке и его мышлении [4].
Впервые систематическое изложение «традиционной» формальной логики дал Аристотель. В основе логики Аристотеля лежит теория дедукции, но в ней содержатся и элементы математической (символической) логики и зачатки исчисления высказываний
Математическая логика, как таковая, появляется в XIX в. Но её основоположником считается немецкий философ и математик Г. Лейбниц (1646 – 1716). Он пытался построить универсальный язык, на котором можно было бы формализовать различные рассуждения и все «споры заменить вычислениями». Он хотел всякому понятию дать числовую характеристику и установить такие правила оперирования с этими числами, которые позволяли бы не только доказывать вообще все истины, доступные логическому доказательству, но и открывать новые. Лейбниц хотел построить арифметизированное логическое исчисление в виде некоторой вычисляющей машины (алгоритма). Но сделать это ему не удалось.
Интенсивное развитие математическая логика получила в работах Д. Буля, Э. Шрёдера, С. Джевонса и др. Английский логик Джордж Буль (1815-1864) разработал алгебру логики – один из разделов математической логики. Он перенёс на логику законы и правила алгебраических действий.
В XX веке на базе математической логики была разработана теория алгоритмов. В разработку этой теории внесли существенный вклад английский математик А. Тьюринг, американский математик Э. Пост и отечественный математик А. А. Марков.
Начиная с конца 1930-х годов идеи и методы математической логики используются и за пределами логики и математики. Во-первых, это конструирование и эксплуатация различных автоматических устройств, в том числе вычислительных машин. Сверх того, что особенно важно, идеи математической логики – в первую очередь теории алгоритмов, но также и всей науки в целом – и свойственный ей стиль мышления оказали и продолжают оказывать очень большое влияние на те своеобразные области деятельности, содержанием которых является автоматическая переработка информации (информатика) и автоматизация процессов управления (кибернетика).
В последнее время в рамках этой области знания возникло направление, называемое искусственный интеллект, одной из основных задач которого является разработка моделей представления знаний. Такая модель должна обладать значительными выразительными средствами − иметь достаточно богатый язык представления знаний. Кроме средств описания знаний, модель должна обладать и дедуктивными возможностями – уметь получать следствия из некоторой исходной информации. Этим требованиям в полной мере удовлетворяют логические модели, в основе которых лежит логика предикатов первого порядка − стержень математической логики.
Другой областью использования идей и методов математической логики стала лингвистика (языковедение). В этой науке в первой половине XX в. произошли революционные изменения, связанные с осознанием того факта, что в языке существенна не материальная природа его элементов, а только отношения между ними и эти отношения подчиняются строгим закономерностям, напоминающим математические. Стала очевидной желательность разработки математических методов исследования строения языка. При этом своеобразие языковых явлений делало невозможным, за небольшими исключениями, использование готового математического аппарата, предназначенного для других целей; математический аппарат для лингвистики предстояло создать заново. Это было сделано в 50–60-е годы, когда появилась новая математическая дисциплина – математическая лингвистика, занимающаяся разработкой и изучением математического аппарата для описания естественного языка. Главными источниками идей и методов этой новой науки были математическая логика и абстрактная алгебра. Центральное место в математической лингвистике занимает теория формальных грамматик, родственная теории алгоритмов и имеющая с ней много точек соприкосновения. Математическая логика влияет на современное языковедение не только через математическую лингвистику, но и непосредственно: основные понятия математической логики – предикаты, кванторы, пропозициональные связки вошли в «повседневный обиход» лингвистов; «математико-логический дух» все больше проникает в лингвистические теории и исследования.
Столь важное значение математической логики для лингвистики обусловлено тем, что язык математики, изучением которого занимается математическая логика, представляет собой фрагмент естественного языка, обработанный и развитый специальным образом с целью обеспечить максимальную точность, но все же сохранивший некоторые очень существенные черты естественного языка. Поэтому, когда лингвистике потребовались точные методы, аппарат математической логики мог служить образцом для их создания. Следует сказать, что упомянутые области приложения идеи и методов математической логики имеют много точек соприкосновения: с одной стороны, формальные грамматики, созданные для исследования строения естественных языков, оказались также и удобным средством анализа языков программирования и других формальных языков; с другой – в информатике большое место занимают задачи, связанные с переработкой информации, выраженной на естественном языке, и требующие применения точных методов лингвистики.
В настоящее время в физике развилось направление – квантовая логика. Здесь вначале определяется специальная математическая структура – квантово-логическая решётка – из которой следует математический аппарат квантовой механики: волновая функция и операторы. Любопытно, что здесь логика выступает экспериментальной наукой, так же, как и неэвклидова геометрия. Логические операции, которые мы определили, мы можем проверять экспериментально, наблюдая те или иные физические свойства и отслеживая, удовлетворяют ли эти операции правилам Аристотелевой логики, согласно которой мы мыслим. Например, в квантовой логике нарушается правило дистрибутивности. Это значит, что для элементов А, В и С конъюнкция и дизъюнкция не удовлетворяет правилу: А и (В или С) не равно (А и В) или (А и С). В нашем мышлении дистрибутивность всегда соблюдается, но это не значит, что в каких-нибудь ситуациях она не может быть нарушена. Однако сегодня это направление – квантовая логика – скорее представляет собой теорию решёток, чем исчисление высказываний, как это принято в математической логике. Тем не менее, дискуссия по поводу создания квантового компьютера стимулирует развитие этой науки именно как логики. Наконец, в работах А. А Гриба и Г. Н. Парфёнова были предложены примеры реализации структуры квантовой логики в ситуациях, отличных от микромира, в частности, в теории игр [5], [6].
Резюмируя сказанное, отметим, что изучение логики как строгой математической дисциплины позволяет провести «мостик» между сферой точных и гуманитарных наук. Именно здесь наглядно демонстрируются такие понятия, как логическая точность и неточность высказываний, чёткость, однозначность и другие понятия, столь важные при изложении гуманитарных дисциплин. Именно логика дает возможность осуществления междисциплинарных исследований и открытий, совершаемых на стыке наук.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Уайтхед А., Рассел Б. Основания математики: В 3 т. / Под ред. Г. П. Ярового, Ю. Н. Радаева. — Самара: Самарский университет, 2005—2006, 722 c.
2. Никольская И. Л., Математическая логика, Москва, «Высшая школа» 1981, 127 c.
3. Лихтарников Л.М., Сукачева Т.С. Математическая логика. Курс лекций. Изд.-во «Лань», 2008, 288 c.
4. Маковельский А.О. «История логики», Кучково поле; 2004, 480 c.
5. Гриб А. А., Парфëнов Г. Н., «Может ли игра быть квантовой?», Вопросы квантовой теории поля и статистической физики. 17, Зап. научн. сем. ПОМИ, 291, ПОМИ, СПб., 2002, 131–154.
6. Гриб А. А., Парфëнов Г. Н., «Квантовые логики, игры и равновесия», ТМФ, 169:2 (2011), 259–271; Theoret. and Math. Phys., 169:2 (2011).
