Формирование знаний о логическом строении математики
Лямина Юлия Николаевна
Большое количество новых программ и учебников по предмету «математика» («Алгебра», «Геометрия») открывают возможность сознательного овладения учащимися знаниями о логическом строении математики. Понять логику повествования в любом предмете, безусловно, важно. Не случайно одним из пунктов учебного пособия по математики многие авторы ставят пункт о логическом строении. Содержание этого пункта используется учителями, многие, особенно заинтересованные учащиеся, читают этот параграф самостоятельно. Это играет положительную роль в деле активизации познавательной активности учащихся в изучении предмета в конкретном классе и в целом в общем курсе школьной (и не только) математики.Практика работы по разным учебным пособиям вносит свои коррективы в новый учебник по геометрии для 7-9х классов. В различных источниках упоминается, что зачастую учащиеся, приходящие в 7 класс общеобразовательной школы, не имеют подготовки, достаточной для изучения курса геометрии 7-9, в котором значительно усилена роль дедукции.
Систематический курс геометрии строится следующим образом:
- Перечисляются основные, принимаемые без определений понятия
- При их помощи даются определения других геометрических понятий
- Формулируются аксиомы
- На основе аксиом и определений доказываются теоремы
В практике обучения, особенно до 7 класса эти требования редко соблюдаются в полной мере. Однако ознакомление с ними оказывается полезным для школьников 6 и даже 5 класса, поскольку дает и учителю и ученику ясные ориентиры достижения необходимого уровня логического мышления, которого требует построение курса планиметрии. Благодаря ознакомлению со всеми ориентирами логической программы, многим учителям удается подвести большинство учащихся к началам стереометрии с необходимой «логической базой».
Соответствующий современным требованиям состав знаний учащихся о логическом строении математики не может замыкаться рамками формальной логики и аксиоматического построения курса.
Знания (этот термин используется в его обобщенном понимании) о логическом построении курса математики, которые желательно сформировать в свете современных задач школьного обучения, состоят из следующих логических и познавательных компонентов:
- Знания об основных мыслительных операциях (анализ, синтез, сравнение, систематизация, абстрагирование, обобщение и др.)
- Знания о видах понятий, суждений, умозаключений и их взаимной связи
- Знания о логическом строении математики при изложении «готовых», то есть открытых и изученных ранее, разделов математической теории (выбор основных понятии и аксиом, определение всех других понятий и доказательство теорем)
- Знания основных положений, характеризующих становление логического мышления учащихся
- Знание отдельных этапов и всей структуры познавательной деятельности исследовательского содержания и естественнонаучного характера.
Интуитивно ясно, что логическое строение математики описывается структурой «понятие – суждение - умозаключение». Указанный интуитивный уровень достижим не только в 5 и 6, но и уже в начальных классах благодаря тому, что смысл перечисленных логических понятий и их взаимная связь достаточно близки к их житейскому значению.
Имена существительные, известные из курса грамматики, - это аналоги понятий. Из слов составляются предложения, аналогично из понятий составляются суждения (утверждения). Близость логики к грамматике подчеркивается даже совпадением терминов: в курсах алгебры и геометрии говорится о предложении с переменной, которое при замене переменной ее значением обращается в высказывание истинное или ложное. Цепочки суждений (предложений), приводящие к верному результату, образуют умозаключения.
С истинными и ложными высказываниями в математики мы сталкиваемся при решении уравнений и неравенств. Истинное высказывание получается при подстановке верного значения переменной, ложное – при подстановке неверного. Проведение такого рассуждения помогает учащимся не только лучше осознать смысл термина «предложение» (суждение, утверждение), но и раскрывает глубокие межпредметные логические взаимосвязи. В русском и иностранном языке, например, также присутствуют логические конструкции, схемы. В математике в такие схемы вписываются числа, знаки действий и т.п., а в языке – буквы, слова, словосочетания и т.п.
Начиная с 6 класса наряду с прямыми предложениями систематически рассматриваются и обратные. Проверка справедливости обратного предложения может превратиться в один из наиболее эффективных приемов создания проблемной ситуации, активизирующих умственную и практическую деятельность учащихся. Например, для истинного предложения «Если углы смежные, то их сумма равна 180 градусам», можно попросить сформулировать обратное и выяснить будет оно истинным или ложным. Если высказывание ложное, следует привести контрпример (пример, опровергающий высказывание – начертить два угла, не являющихся смежными, но их сумма ровна 180 градусам).
Более сложные познавательные ситуации возникают в тех случаях, когда обратное предложение оказывается истинным. Опыт, рассмотрение частных случаев приводит к предположению о его возможной истинности. После этого учитель с помощью учащихся приводит необходимые логические рассуждения. Если эти рассуждения недоступны по своей сложности для понимания учащихся, то доказательство опускается. Полезно тогда предложить учащимся провести контрольный опыт, рассмотреть еще один произвольный частный случай, параметры которого устанавливаются самими учащимися.
Учебный материал школьного курса математики предоставляет большие возможности для применения учащимися как индуктивных, так и дедуктивных умозаключений. В курсе математики встречаются доказательства различной сложности. Учащиеся должны понимать, что каким бы сложным и длинным не было дедуктивное доказательство определенной теоремы (свойства), его всегда можно разделить на части. Это достигается тщательным анализом каждого доказательства и практикуемой время от времени подробной символической записью всей этой логической цепочки. Важно, чтобы усилия, направленные на осознание логической структуры доказательства теоремы, приводили к новым познавательным результатам.
Формирование знаний о логическом строении математики.
Большое количество новых программ и учебников по предмету «математика» («Алгебра», «Геометрия») открывают возможность сознательного овладения учащимися знаниями о логическом строении математики. Понять логику повествования в любом предмете, безусловно, важно. Не случайно одним из пунктов учебного пособия по математики многие авторы ставят пункт о логическом строении. Содержание этого пункта используется учителями, многие, особенно заинтересованные учащиеся, читают этот параграф самостоятельно. Это играет положительную роль в деле активизации познавательной активности учащихся в изучении предмета в конкретном классе и в целом в общем курсе школьной (и не только) математики.
Практика работы по разным учебным пособиям вносит свои коррективы в новый учебник по геометрии для 7-9х классов. В различных источниках упоминается, что зачастую учащиеся, приходящие в 7 класс общеобразовательной школы, не имеют подготовки, достаточной для изучения курса геометрии 7-9, в котором значительно усилена роль дедукции.
Систематический курс геометрии строится следующим образом:
- Перечисляются основные, принимаемые без определений понятия
- При их помощи даются определения других геометрических понятий
- Формулируются аксиомы
- На основе аксиом и определений доказываются теоремы
В практике обучения, особенно до 7 класса эти требования редко соблюдаются в полной мере. Однако ознакомление с ними оказывается полезным для школьников 6 и даже 5 класса, поскольку дает и учителю и ученику ясные ориентиры достижения необходимого уровня логического мышления, которого требует построение курса планиметрии. Благодаря ознакомлению со всеми ориентирами логической программы, многим учителям удается подвести большинство учащихся к началам стереометрии с необходимой «логической базой».
Соответствующий современным требованиям состав знаний учащихся о логическом строении математики не может замыкаться рамками формальной логики и аксиоматического построения курса.
Знания (этот термин используется в его обобщенном понимании) о логическом построении курса математики, которые желательно сформировать в свете современных задач школьного обучения, состоят из следующих логических и познавательных компонентов:
- Знания об основных мыслительных операциях (анализ, синтез, сравнение, систематизация, абстрагирование, обобщение и др.)
- Знания о видах понятий, суждений, умозаключений и их взаимной связи
- Знания о логическом строении математики при изложении «готовых», то есть открытых и изученных ранее, разделов математической теории (выбор основных понятии и аксиом, определение всех других понятий и доказательство теорем)
- Знания основных положений, характеризующих становление логического мышления учащихся
- Знание отдельных этапов и всей структуры познавательной деятельности исследовательского содержания и естественнонаучного характера.
Интуитивно ясно, что логическое строение математики описывается структурой «понятие – суждение - умозаключение». Указанный интуитивный уровень достижим не только в 5 и 6, но и уже в начальных классах благодаря тому, что смысл перечисленных логических понятий и их взаимная связь достаточно близки к их житейскому значению.
Имена существительные, известные из курса грамматики, - это аналоги понятий. Из слов составляются предложения, аналогично из понятий составляются суждения (утверждения). Близость логики к грамматике подчеркивается даже совпадением терминов: в курсах алгебры и геометрии говорится о предложении с переменной, которое при замене переменной ее значением обращается в высказывание истинное или ложное. Цепочки суждений (предложений), приводящие к верному результату, образуют умозаключения.
С истинными и ложными высказываниями в математики мы сталкиваемся при решении уравнений и неравенств. Истинное высказывание получается при подстановке верного значения переменной, ложное – при подстановке неверного. Проведение такого рассуждения помогает учащимся не только лучше осознать смысл термина «предложение» (суждение, утверждение), но и раскрывает глубокие межпредметные логические взаимосвязи. В русском и иностранном языке, например, также присутствуют логические конструкции, схемы. В математике в такие схемы вписываются числа, знаки действий и т.п., а в языке – буквы, слова, словосочетания и т.п.
Начиная с 6 класса наряду с прямыми предложениями систематически рассматриваются и обратные. Проверка справедливости обратного предложения может превратиться в один из наиболее эффективных приемов создания проблемной ситуации, активизирующих умственную и практическую деятельность учащихся. Например, для истинного предложения «Если углы смежные, то их сумма равна 180 градусам», можно попросить сформулировать обратное и выяснить будет оно истинным или ложным. Если высказывание ложное, следует привести контрпример (пример, опровергающий высказывание – начертить два угла, не являющихся смежными, но их сумма ровна 180 градусам).
Более сложные познавательные ситуации возникают в тех случаях, когда обратное предложение оказывается истинным. Опыт, рассмотрение частных случаев приводит к предположению о его возможной истинности. После этого учитель с помощью учащихся приводит необходимые логические рассуждения. Если эти рассуждения недоступны по своей сложности для понимания учащихся, то доказательство опускается. Полезно тогда предложить учащимся провести контрольный опыт, рассмотреть еще один произвольный частный случай, параметры которого устанавливаются самими учащимися.
Учебный материал школьного курса математики предоставляет большие возможности для применения учащимися как индуктивных, так и дедуктивных умозаключений. В курсе математики встречаются доказательства различной сложности. Учащиеся должны понимать, что каким бы сложным и длинным не было дедуктивное доказательство определенной теоремы (свойства), его всегда можно разделить на части. Это достигается тщательным анализом каждого доказательства и практикуемой время от времени подробной символической записью всей этой логической цепочки. Важно, чтобы усилия, направленные на осознание логической структуры доказательства теоремы, приводили к новым познавательным результатам.
Формирование знаний о логическом строении математики.
Большое количество новых программ и учебников по предмету «математика» («Алгебра», «Геометрия») открывают возможность сознательного овладения учащимися знаниями о логическом строении математики. Понять логику повествования в любом предмете, безусловно, важно. Не случайно одним из пунктов учебного пособия по математики многие авторы ставят пункт о логическом строении. Содержание этого пункта используется учителями, многие, особенно заинтересованные учащиеся, читают этот параграф самостоятельно. Это играет положительную роль в деле активизации познавательной активности учащихся в изучении предмета в конкретном классе и в целом в общем курсе школьной (и не только) математики.
Практика работы по разным учебным пособиям вносит свои коррективы в новый учебник по геометрии для 7-9х классов. В различных источниках упоминается, что зачастую учащиеся, приходящие в 7 класс общеобразовательной школы, не имеют подготовки, достаточной для изучения курса геометрии 7-9, в котором значительно усилена роль дедукции.
Систематический курс геометрии строится следующим образом:
- Перечисляются основные, принимаемые без определений понятия
- При их помощи даются определения других геометрических понятий
- Формулируются аксиомы
- На основе аксиом и определений доказываются теоремы
В практике обучения, особенно до 7 класса эти требования редко соблюдаются в полной мере. Однако ознакомление с ними оказывается полезным для школьников 6 и даже 5 класса, поскольку дает и учителю и ученику ясные ориентиры достижения необходимого уровня логического мышления, которого требует построение курса планиметрии. Благодаря ознакомлению со всеми ориентирами логической программы, многим учителям удается подвести большинство учащихся к началам стереометрии с необходимой «логической базой».
Соответствующий современным требованиям состав знаний учащихся о логическом строении математики не может замыкаться рамками формальной логики и аксиоматического построения курса.
Знания (этот термин используется в его обобщенном понимании) о логическом построении курса математики, которые желательно сформировать в свете современных задач школьного обучения, состоят из следующих логических и познавательных компонентов:
- Знания об основных мыслительных операциях (анализ, синтез, сравнение, систематизация, абстрагирование, обобщение и др.)
- Знания о видах понятий, суждений, умозаключений и их взаимной связи
- Знания о логическом строении математики при изложении «готовых», то есть открытых и изученных ранее, разделов математической теории (выбор основных понятии и аксиом, определение всех других понятий и доказательство теорем)
- Знания основных положений, характеризующих становление логического мышления учащихся
- Знание отдельных этапов и всей структуры познавательной деятельности исследовательского содержания и естественнонаучного характера.
Интуитивно ясно, что логическое строение математики описывается структурой «понятие – суждение - умозаключение». Указанный интуитивный уровень достижим не только в 5 и 6, но и уже в начальных классах благодаря тому, что смысл перечисленных логических понятий и их взаимная связь достаточно близки к их житейскому значению.
Имена существительные, известные из курса грамматики, - это аналоги понятий. Из слов составляются предложения, аналогично из понятий составляются суждения (утверждения). Близость логики к грамматике подчеркивается даже совпадением терминов: в курсах алгебры и геометрии говорится о предложении с переменной, которое при замене переменной ее значением обращается в высказывание истинное или ложное. Цепочки суждений (предложений), приводящие к верному результату, образуют умозаключения.
С истинными и ложными высказываниями в математики мы сталкиваемся при решении уравнений и неравенств. Истинное высказывание получается при подстановке верного значения переменной, ложное – при подстановке неверного. Проведение такого рассуждения помогает учащимся не только лучше осознать смысл термина «предложение» (суждение, утверждение), но и раскрывает глубокие межпредметные логические взаимосвязи. В русском и иностранном языке, например, также присутствуют логические конструкции, схемы. В математике в такие схемы вписываются числа, знаки действий и т.п., а в языке – буквы, слова, словосочетания и т.п.
Начиная с 6 класса наряду с прямыми предложениями систематически рассматриваются и обратные. Проверка справедливости обратного предложения может превратиться в один из наиболее эффективных приемов создания проблемной ситуации, активизирующих умственную и практическую деятельность учащихся. Например, для истинного предложения «Если углы смежные, то их сумма равна 180 градусам», можно попросить сформулировать обратное и выяснить будет оно истинным или ложным. Если высказывание ложное, следует привести контрпример (пример, опровергающий высказывание – начертить два угла, не являющихся смежными, но их сумма ровна 180 градусам).
Более сложные познавательные ситуации возникают в тех случаях, когда обратное предложение оказывается истинным. Опыт, рассмотрение частных случаев приводит к предположению о его возможной истинности. После этого учитель с помощью учащихся приводит необходимые логические рассуждения. Если эти рассуждения недоступны по своей сложности для понимания учащихся, то доказательство опускается. Полезно тогда предложить учащимся провести контрольный опыт, рассмотреть еще один произвольный частный случай, параметры которого устанавливаются самими учащимися.
Учебный материал школьного курса математики предоставляет большие возможности для применения учащимися как индуктивных, так и дедуктивных умозаключений. В курсе математики встречаются доказательства различной сложности. Учащиеся должны понимать, что каким бы сложным и длинным не было дедуктивное доказательство определенной теоремы (свойства), его всегда можно разделить на части. Это достигается тщательным анализом каждого доказательства и практикуемой время от времени подробной символической записью всей этой логической цепочки. Важно, чтобы усилия, направленные на осознание логической структуры доказательства теоремы, приводили к новым познавательным результатам.
