Экономико-математические модели
в преподавании курса математики
в преподавании курса математики
Новикова Ирина Валентиновна
Преподаватель первой категории СПбГБПОУ
«Реставрационно-художественный колледж»
Адрес электронной почты защищен от спам-ботов. Для просмотра адреса в вашем браузере должен быть включен Javascript.
Преподаватель первой категории СПбГБПОУ
«Реставрационно-художественный колледж»
Адрес электронной почты защищен от спам-ботов. Для просмотра адреса в вашем браузере должен быть включен Javascript.
Economic and mathematical models in teaching mathematics
Novikova Irina Valentinovna
Teacher of the first category of SPbGBPOU
"Restoration and Art College"
Адрес электронной почты защищен от спам-ботов. Для просмотра адреса в вашем браузере должен быть включен Javascript.
Аннотация
Teacher of the first category of SPbGBPOU
"Restoration and Art College"
Адрес электронной почты защищен от спам-ботов. Для просмотра адреса в вашем браузере должен быть включен Javascript.
Статья посвящена достаточно актуальной проблеме взаимосвязи между математикой и прикладными экономическими задачами, которые расширяют кругозор обучаемых и абстрактное мышление, способствуют практическому применению знаний из курса математики, а в дальнейшем помогают более эффективно решать профессиональные задачи.
Ключевые слова
Экономико-математическая модель, методы оптимизации, эффективное использование ресурсов, численные методы, абстрагирование, обучение.
Annotation
The article is devoted to a rather actual issue of the relationship between mathematics and applied economic problems, which expand the horizons of students and their abstract thinking, contribute to the practical application of knowledge from the mathematics course, and in the future help to solve professional problems more effectively.
- О преподавании математики и экономики в школьном курсе математики и в СПО
Многие задачи экономики предполагают наличие достаточно четкого понимания терминологии, взаимосвязи понятий, определенного уровня абстрагирования, а порой и применения методов дифференциального и интегрального исчисления. Одним из ключевых понятий, связывающих между собой экономику и математику, является экономико-математическая модель, а практическое применение данного понятия дает возможность решать достаточно сложные задачи, являющиеся по сути математическими.
Гораздо нагляднее в школьном курсе обучения дается связь между математическими формулами и практическими заданиями в курсе физики, где проводятся измерения масс, размерных показателей тел, свойства описываются с помощью законов физики. Ученики постепенно привыкают рассматривать изучаемые объекты с разных сторон, применяя к ним различные физические законы (например, металлический шар может изучаться как материальная точка, объект с определенной массой, но при этом является проводником электрического тока, способен расширяться, нагреваться и т.п.). Также именно в курсе физики учащиеся впервые начинают применять дифференциальное и интегральное исчисление, функциональные зависимости между физическими величинами, изучают и применяют на лабораторных работах основные понятия теории погрешностей. Именно через физику многие понятия для школьников становятся более понятными (скажем, известна аналогия производной функции и мгновенной скорости, интеграла как площади или объема некоторой фигуры)[1].
Экономика в связи с математикой как инструментарием ничем по сути не отличается от физики. Только понятия из экономики носят несколько иной характер, относятся к производству, взаимоотношениям людей в обществе, товарно-денежным отношениям, и т.п. Тем не менее, на наш взгляд, решению практических экономических задач в курсе математики в СПО и средней школе уделяется недостаточное внимание. В отличие от «более абстрактной» физики, в курсе преподавания экономики рассматриваются только наиболее простые математические модели, которые не позволяют понять сущность изучаемых явлений и процессов. При этом для экономической теории характерно, как и для физики, наличие большого количества сложных обозначений, как и для физики (например, TR (от англ. Total Revenue) – валовая выручка, ПНЗ – предельная норма замещения). По аналогии с физическими изотермами или изобарами, в экономике есть, например, изокванты (кривые постоянного объема выпуска продукции при различном сочетании производственных ресурсов). Иными словами, экономика рассматривается в обучении школьников и учащихся СПО явно недостаточно, хотя именно экономика является нашей постоянной сферой практической деятельности и жизни.
Экономика в связи с математикой как инструментарием ничем по сути не отличается от физики. Только понятия из экономики носят несколько иной характер, относятся к производству, взаимоотношениям людей в обществе, товарно-денежным отношениям, и т.п. Тем не менее, на наш взгляд, решению практических экономических задач в курсе математики в СПО и средней школе уделяется недостаточное внимание. В отличие от «более абстрактной» физики, в курсе преподавания экономики рассматриваются только наиболее простые математические модели, которые не позволяют понять сущность изучаемых явлений и процессов. При этом для экономической теории характерно, как и для физики, наличие большого количества сложных обозначений, как и для физики (например, TR (от англ. Total Revenue) – валовая выручка, ПНЗ – предельная норма замещения). По аналогии с физическими изотермами или изобарами, в экономике есть, например, изокванты (кривые постоянного объема выпуска продукции при различном сочетании производственных ресурсов). Иными словами, экономика рассматривается в обучении школьников и учащихся СПО явно недостаточно, хотя именно экономика является нашей постоянной сферой практической деятельности и жизни.
- Основные виды экономико-математических моделей
Условно среди основных видов экономико-математических моделей можно выделить следующее:
- Модели «прямых вычислений», которые предполагают непосредственное применение системы уравнений и, в некоторых случаях, неравенств, и вычисление на этой основе недостающих значений результатных параметров.
К таким моделям относятся задачи расчета окупаемости, рентабельности, прибыли, выручки, затрат, а также дисконтирования[2]. «Прямым расчетом» решается и часть задач, связанных с производственными функциями[3]. Часть экономических параметров может носить дискретный характер, что усложняет решение некоторых задач[4];
- Оптимизационные модели. В данном случае требуется получить максимальное (либо минимальное, в зависимости от постановки задачи) значение некоторого экономического параметра (так называемого критерия оптимальности принимаемых решений или целевой функции) при имеющемся наборе ресурсных ограничений. Для решения таких задач применяются специально разработанные методы оптимизации экономико-математических моделей, которые и позволяют вычислить необходимое сочетание ресурсов, позволяющих привести к оптимуму (максимуму, либо минимуму) целевую функцию модели.
К часто встречающимся задачам оптимизационного типа относятся задачи повышения качества продукции, роста производительности труда, эффективного распределения ограниченных производственных ресурсов, эффективной загрузки персонала и промышленного оборудования, минимизации издержек производства при установленных минимальных объемах выпуска части продукции, транспортные задачи (организация эффективной цепочки логистических поставок), и др.
Часть задач оптимизации может быть решена графическим способом. Для этого на бумаге или в компьютере изображаются некоторые графические зависимости и, следуя определенным установленным правилам, учащиеся самостоятельно определяют необходимое сочетание имеющихся ресурсов задачи.
В ряде случаев, в силу емкости и сложности экономико-математических задач, а также связанных с ними трудоемких методов решения[5], совершенно нецелесообразно в полном виде приводить методы их решения в курсе математики в средней школе и, без необходимости, даже в СПО. Тем не менее, на наш взгляд, можно, более полно используя возможности современной компьютерной техники, показывать решение с помощью компьютеров.
В частности, речь может идти о пакете «Поиск решения», входящем в Microsoft Office, который позволяет очень легко и наглядно, без сложных и трудоемких математических выкладок, «за одно действие» решать достаточно сложные экономико-математические задачи линейного и нелинейного программирования.
Значительные преимущества может давать и применение достаточно удобных, простых в использовании пакетов прикладных программ, таких как Mathsoft Mathcad. Данный пакет позволяет удобно строить двумерные и трехмерные графики, решать задачи преобразования сложных символьных выражений, а также оптимизационные задачи.
Применение современных программных продуктов, на наш взгляд, способно повысить интерес к экономике и математике, резко повысив наглядность сложных вычислений и решения сложных задач, одновременно избавив учащихся от невообразимого объема численных расчетов.
- Выводы. О более тесной взаимосвязи преподавания экономики
и математики
Таким образом, краткое рассмотрение проблем преподавания экономики и математики в средней школе и СПО позволило выявить определенного рода «перекосы» в сторону естествознания, в ущерб экономике.
Вместе с тем, на наш взгляд, было бы более логичным осуществлять разработку учебных программ преподавания комплекса учебных дисциплин на основе единой современной научной парадигмы, где большое внимание уделяется методу аналогии таких дисциплин, как физика, химия и экономика. При этом математике должно уделяться основное внимание как методологии, инструментальной научной дисциплине, находящей широкое применение в различных прикладных науках.
Активное применение наглядных средств обучения, графических и вычислительных возможностей современных компьютерных программ, способствовало бы углублению знаний учащихся в самых разных предметных областях, включая экономику, одновременно давая в руки обучаемых мощный инструментарий для решения сложных прикладных задач.
Список использованных источников:
- Глотова М.И., Приходько О.В. Основы работы в среде MathCAD. Простейшие вычисления: методические рекомендации. Ч.1. – Оренбург: ОГУ, 2013. – 93с.
- Математика для колледжей: учебное пособие для СПО /под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Юрайт, 2019. – 344с.
- Фомин Г.П. Экономико-математические методы и модели в коммерческой деятельности: учебник. – М.: Юрайт, 2013. – 462с.
- Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе. – М.: Юнити-Дана, 2001. – 367с.
- Экономика /под ред. д-ра экон. наук, проф. А.С. Булатова. – М.: Юрист, 2001. – 896с.
[1] Как показывает опыт, никому в школьном курсе обучения не приходит в голову сравнивать между собой скорости или производные функций с так называемыми «предельными» величинами наподобие маржинальных затрат, хотя аналогии и здесь очень наглядные. Аналогично, нормы замещения ресурсов не связываются с относительными, процентными изменениями или отклонениями величин, погрешностями и т.п.
[2] Дисконтирование – это механизм соотнесения стоимости денег, которые затрачиваются либо зарабатываются в разные годы, учета инфляции. Для определения стоимости некоторой суммы денег в будущем производится начисление процентов (по простым, сложным, непрерывным и другим видом процентных ставок), а обратный начислению процесс называется дисконтированием.
[3] Производственная функция – это математическая зависимость между затрачиваемыми производственными ресурсами и результатом производственной деятельности (в частности, это может быть объем производства в единицах, выручка от потенциальной продажи произведенных продуктов, ВВП или национальный доход страны, и т.п.). Для различных условий производственной деятельности разработано несколько «типовых» вариантов производственных функций: Кобба-Дугласа, с постоянными пропорциями, линейная, с постоянной эластичностью замещения ресурсов и др.
[4] Например, в простейших задачах экономики нет смысла более глубокой дискретизации стоимости, нежели 1 копейка или 1 евроцент.
[5] В частности, речь может идти о достаточно объемных многомерных задачах линейного программирования, универсальным методом решения которых является очень трудоемкий, требующий подчас большого количества итераций, симплекс-метод.
