Примерные образцы заданий для математической игры, "Математический бой"
1. 5 одинаковых яблок и 3 одинаковые груши весят столько же, сколько 4 таких же яблока и 4 такие же груши. Что легче: яблоко или груша? Ответ объясните. .
2. На какие цифры надо заменить звездочки в записи девятизначного числа 32*35717*, чтобы оно без остатка разделилось на 72?
3. Найдите семь таких идущих подряд целых чисел, что сумма трех первых равна сумме четырех последних.
4. На доске написано число 98. Каждую минуту число стирают, и записывают вместо него произведение его цифр, увеличенное на 15. Какое число окажется на доске через час?
5.Петя, Катя, и Саша пошли на бал - маскарад. Во время раздачи призов королева бала попросила каждого из них сказать, мальчик он или девочка. В ответ дважды прозвучало «Я - мальчик» и один раз: «Я - девочка». Потом оказалось, что два из этих ответов верны, а один - нет. Назовите полное имя Саши. Ответ обоснуйте.
6. Среди четырех внешне одинаковых монет одна - фальшивая. Настоящая весит 5 г., а фальшивая – не 5 г., но неизвестно, легче она или тяжелее настоящей. Кроме того, имеется одна пятиграммовая гиря. Как при помощи двух взвешиваний на чашечках весах найти фальшивую монету и узнать, легче она или тяжелее, чем настоящая.
7. Как разрезать квадрат со стороной 6 м на четыре одинаковые фигуры, периметр каждой из которых равен 16м? 20м? 1999м?
8. Двое игроков по очереди выставляют в запись *х +* = *х + * вместо звездочек по одному из чисел 1,2,3,4, (в любом порядке, но без повторений). Когда все пропуски заполняются, полученное уравнение решается. Если его корень - положительное число, выигрывает тот, кто ходит первым. иначе - второй. Кто выигрывает при правильной игре?
9. В автобусе без кондуктора ехали 60 пассажиров. Билет стоит 1 рубль, а у пассажиров были только монеты в 2 и 5 рублей. Тем не менее, они сумели заплатить за проезд, и каждый получил сдачу. Каким наименьшим числом монет они могли обойтись?
10. Точка Д - середина стороны АС треугольника АВС, а точка Е на его стороне ВС такова, что углы ВЕА и СЕД равны. Найти отношение АЕ : ДЕ.
11. Назовем тройку простых чисел отличной, если произведение этих чисел в пять раз больше их суммы. Найдите все отличные тройки.
12. Выпишем подряд все натуральные числа от 31 до 319 и обозначим получившееся огромное число через А. Число В получим, выписав подряд все натуральные числа от 320 до 999. Сколько цифр в десятичной записи произведения А • В?
13. Пусть О1, О2 и О3 - центры трех разных окружностей, пересекающиеся в одной точке, а А1 ,А2 и А:, -другие точки попарного пересечения этих окружностей. Обязательно ли треугольники О1О2О3 и А1А2А3 равны?
14. Числа а, в и с (а ≠ 0, с ≠ 0) таковы, что для любого числа х из отрезка [-1; 1] выполняется неравенство |ах2+вх+с|≤1. Докажите, что для любого числа х из отрезка [-1; 1] выполняется неравенство | сх2+вх+а | ≤2.
15.На числовой прямой выбрать два набора открытых интервалов - А и В. Набор А состоит из 1999 интервалов, причем любые два из них пересекаются. Докажите, что если любой интервал из набора А целиком содержит по крайней мере два не пересекающихся интервала из набора В, то найдется интервал из набора В, который целиком содержится по крайней мере в 1000 интервалов из набора А.
